Номер 311, страница 160, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

311 Докажите свойство отклонений от среднего арифметического. Пусть дан набор чисел $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$, и их среднее арифметическое равно $\overline{x}$. Покажите, что сумма всех отклонений равна нулю:

$(x_1 - \overline{x})+(x_2 - \overline{x})+(x_3 - \overline{x})+ ... +(x_n - \overline{x}) = 0.$

Для доказательства этого свойства необходимо выполнить несколько алгебраических преобразований, исходя из определения среднего арифметического.

По определению, среднее арифметическое $\bar{x}$ для набора чисел $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$ вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n}{n}$

Умножим обе части этого равенства на $n$, чтобы выразить сумму всех чисел:

$n \cdot \bar{x} = x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n$

Теперь рассмотрим сумму всех отклонений, которую нам нужно доказать равной нулю:

$(x_1 - \bar{x}) + (x_2 - \bar{x}) + (x_3 - \bar{x}) + ... + (x_n - \bar{x})$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые. Сначала сгруппируем все числа $x_i$, а затем все средние арифметические $\bar{x}$:

$(x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n) - (\underbrace{\bar{x} + \bar{x} + \bar{x} + ... + \bar{x}}_{n \text{ слагаемых}})$

Сумма в первой скобке, как мы установили ранее, равна $n \cdot \bar{x}$. Сумма во второй скобке представляет собой $\bar{x}$, сложенное само с собой $n$ раз, что также равно $n \cdot \bar{x}$.

Подставим эти значения в выражение:

$n \cdot \bar{x} - n \cdot \bar{x} = 0$

Таким образом, мы доказали, что сумма всех отклонений от среднего арифметического всегда равна нулю.

Ответ: Равенство $(x_1 - \bar{x}) + (x_2 - \bar{x}) + (x_3 - \bar{x}) + ... + (x_n - \bar{x}) = 0$ доказано.