Страница 160, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

308 Для числового набора 1, 2, 2, 0, 4, 3 найдите:

а) сумму модулей всех отклонений;

б) сумму квадратов всех отклонений.

Для решения задачи первым делом необходимо найти среднее арифметическое (среднее значение) указанного числового набора. Исходный набор чисел: 1, 2, 2, 0, 4, 3.

Сумма всех чисел в наборе составляет: $1 + 2 + 2 + 0 + 4 + 3 = 12$.

Количество чисел в наборе равно 6.

Среднее арифметическое ($\bar{x}$) вычисляется как отношение суммы к количеству: $\bar{x} = \frac{12}{6} = 2$.

Далее, для каждого числа в наборе найдем его отклонение от среднего арифметического. Отклонение — это разность между числом и средним значением ($x_i - \bar{x}$).

• Отклонение для 1: $1 - 2 = -1$
• Отклонение для 2: $2 - 2 = 0$
• Отклонение для 2: $2 - 2 = 0$
• Отклонение для 0: $0 - 2 = -2$
• Отклонение для 4: $4 - 2 = 2$
• Отклонение для 3: $3 - 2 = 1$

а) сумму модулей всех отклонений;

Сумма модулей (абсолютных величин) найденных отклонений равна:

$|-1| + |0| + |0| + |-2| + |2| + |1| = 1 + 0 + 0 + 2 + 2 + 1 = 6$.

Ответ: 6.

б) сумму квадратов всех отклонений.

Сумма квадратов найденных отклонений равна:

$(-1)^2 + 0^2 + 0^2 + (-2)^2 + 2^2 + 1^2 = 1 + 0 + 0 + 4 + 4 + 1 = 10$.

Ответ: 10.

309 Для данного числового набора найдите абсолютные отклонения чисел:

а) 1, 5, 3, 5, 2;

б) 8,4, 4,5, 6,7, 4,4.

а)

Чтобы найти абсолютные отклонения чисел в наборе, сначала нужно вычислить их среднее арифметическое. Среднее арифметическое $(\bar{x})$ — это сумма всех чисел, деленная на их количество.

Для набора 1, 5, 3, 5, 2:

$\bar{x} = \frac{1 + 5 + 3 + 5 + 2}{5} = \frac{16}{5} = 3,2$

Теперь найдем абсолютное отклонение для каждого числа. Абсолютное отклонение — это модуль разности между числом и средним арифметическим: $|x_i - \bar{x}|$.

$|1 - 3,2| = |-2,2| = 2,2$
$|5 - 3,2| = |1,8| = 1,8$
$|3 - 3,2| = |-0,2| = 0,2$
$|5 - 3,2| = |1,8| = 1,8$
$|2 - 3,2| = |-1,2| = 1,2$

Ответ: 2,2; 1,8; 0,2; 1,8; 1,2.

б)

Для набора 8,4; 4,5; 6,7; 4,4:

Сначала вычисляем среднее арифметическое:

$\bar{x} = \frac{8,4 + 4,5 + 6,7 + 4,4}{4} = \frac{24}{4} = 6$

Затем вычисляем абсолютные отклонения:

$|8,4 - 6| = |2,4| = 2,4$
$|4,5 - 6| = |-1,5| = 1,5$
$|6,7 - 6| = |0,7| = 0,7$
$|4,4 - 6| = |-1,6| = 1,6$

Ответ: 2,4; 1,5; 0,7; 1,6.

310 Дан числовой набор. Найдите в этом наборе два числа, которые имеют одинаковое абсолютное отклонение от среднего арифметического.

а) 3, 6, 4, 1, 8, 2;

б) 12, 9, 8, 11, 2, 4, 3.

а)

Дан числовой набор: 3, 6, 4, 1, 8, 2.
1. Сначала найдем среднее арифметическое этого набора. Для этого сложим все числа и разделим на их количество.
Сумма чисел: $3 + 6 + 4 + 1 + 8 + 2 = 24$.
Количество чисел: 6.
Среднее арифметическое $M = \frac{24}{6} = 4$.
2. Теперь найдем абсолютное отклонение каждого числа от среднего арифметического. Абсолютное отклонение числа $x$ от среднего $M$ вычисляется по формуле $|x - M|$.
Для числа 3: $|3 - 4| = |-1| = 1$.
Для числа 6: $|6 - 4| = |2| = 2$.
Для числа 4: $|4 - 4| = |0| = 0$.
Для числа 1: $|1 - 4| = |-3| = 3$.
Для числа 8: $|8 - 4| = |4| = 4$.
Для числа 2: $|2 - 4| = |-2| = 2$.
3. Сравнив полученные отклонения, видим, что у чисел 6 и 2 одинаковое абсолютное отклонение, равное 2.

Ответ: 6 и 2.

б)

Дан числовой набор: 12, 9, 8, 11, 2, 4, 3.
1. Найдем среднее арифметическое набора.
Сумма чисел: $12 + 9 + 8 + 11 + 2 + 4 + 3 = 49$.
Количество чисел: 7.
Среднее арифметическое $M = \frac{49}{7} = 7$.
2. Найдем абсолютное отклонение каждого числа от среднего арифметического ($|x - M|$).
Для числа 12: $|12 - 7| = |5| = 5$.
Для числа 9: $|9 - 7| = |2| = 2$.
Для числа 8: $|8 - 7| = |1| = 1$.
Для числа 11: $|11 - 7| = |4| = 4$.
Для числа 2: $|2 - 7| = |-5| = 5$.
Для числа 4: $|4 - 7| = |-3| = 3$.
Для числа 3: $|3 - 7| = |-4| = 4$.
3. Сравнив полученные отклонения, видим, что в наборе есть две пары чисел с одинаковыми абсолютными отклонениями:
- Числа 12 и 2 имеют одинаковое абсолютное отклонение, равное 5.
- Числа 11 и 3 имеют одинаковое абсолютное отклонение, равное 4.
Любая из этих пар является правильным ответом.

Ответ: 12 и 2 (или 11 и 3).

311 Докажите свойство отклонений от среднего арифметического. Пусть дан набор чисел $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$, и их среднее арифметическое равно $\overline{x}$. Покажите, что сумма всех отклонений равна нулю:

$(x_1 - \overline{x})+(x_2 - \overline{x})+(x_3 - \overline{x})+ ... +(x_n - \overline{x}) = 0.$

Для доказательства этого свойства необходимо выполнить несколько алгебраических преобразований, исходя из определения среднего арифметического.

По определению, среднее арифметическое $\bar{x}$ для набора чисел $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$ вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n}{n}$

Умножим обе части этого равенства на $n$, чтобы выразить сумму всех чисел:

$n \cdot \bar{x} = x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n$

Теперь рассмотрим сумму всех отклонений, которую нам нужно доказать равной нулю:

$(x_1 - \bar{x}) + (x_2 - \bar{x}) + (x_3 - \bar{x}) + ... + (x_n - \bar{x})$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые. Сначала сгруппируем все числа $x_i$, а затем все средние арифметические $\bar{x}$:

$(x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n) - (\underbrace{\bar{x} + \bar{x} + \bar{x} + ... + \bar{x}}_{n \text{ слагаемых}})$

Сумма в первой скобке, как мы установили ранее, равна $n \cdot \bar{x}$. Сумма во второй скобке представляет собой $\bar{x}$, сложенное само с собой $n$ раз, что также равно $n \cdot \bar{x}$.

Подставим эти значения в выражение:

$n \cdot \bar{x} - n \cdot \bar{x} = 0$

Таким образом, мы доказали, что сумма всех отклонений от среднего арифметического всегда равна нулю.

Ответ: Равенство $(x_1 - \bar{x}) + (x_2 - \bar{x}) + (x_3 - \bar{x}) + ... + (x_n - \bar{x}) = 0$ доказано.