Страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Почему размах не всегда является подходящей характеристикой для описания рассеивания значений в наборе данных?

Размах не всегда является подходящей характеристикой для описания рассеивания значений в наборе данных, в первую очередь, из-за его крайней чувствительности к выбросам (экстремальным значениям).

Размах — это самая простая мера рассеивания, которая вычисляется как разность между максимальным и минимальным значениями в выборке: $Размах = X_{max} - X_{min}$.

Основная проблема заключается в том, что для его расчета используются только два крайних значения, а вся остальная информация о распределении данных внутри выборки полностью игнорируется. Это приводит к двум главным недостаткам:

1. Искажение из-за выбросов. Если в наборе данных присутствует хотя бы одно аномально большое или аномально малое значение (выброс), размах может значительно увеличиться и создать ложное впечатление о сильном рассеивании данных, даже если большинство значений сгруппированы очень плотно.
Пример: Рассмотрим два набора данных о зарплатах в тысячах рублей:
- Набор A: {40, 45, 50, 55, 60}. Здесь $X_{max} = 60$, $X_{min} = 40$. Размах = $60 - 40 = 20$. Это адекватно отражает разброс зарплат.
- Набор Б: {40, 45, 50, 55, 200}. Здесь $X_{max} = 200$, $X_{min} = 40$. Размах = $200 - 40 = 160$. Появление всего одного сотрудника с очень высокой зарплатой (возможно, директора) привело к огромному размаху, который не характеризует типичное рассеивание зарплат для основной группы сотрудников.

2. Игнорирование структуры данных. Размах не дает никакой информации о том, как распределены данные между минимумом и максимумом. Два набора данных могут иметь одинаковый размах, но совершенно разную структуру.
Пример:
- Набор В: {1, 2, 3, 8, 9, 10}. Размах = $10 - 1 = 9$. Значения распределены в двух группах.
- Набор Г: {1, 5, 5, 6, 6, 10}. Размах = $10 - 1 = 9$. Большинство значений сконцентрировано в центре.
Несмотря на одинаковый размах, характер рассеивания в наборах В и Г сильно отличается, чего размах показать не может.

Из-за этих недостатков для более надежного анализа рассеивания часто используют другие характеристики, такие как межквартильный размах (устойчивый к выбросам) или стандартное отклонение и дисперсия (которые учитывают каждое значение в наборе данных).

Ответ: Размах не всегда является подходящей характеристикой, так как он зависит только от двух крайних значений (минимального и максимального) и полностью игнорирует распределение остальных данных. Это делает его крайне чувствительным к выбросам (аномальным значениям), которые могут сильно исказить реальную картину рассеивания данных.

2 Дайте определение дисперсии.

Дисперсия (от лат. dispersio — рассеяние) в теории вероятностей и статистике — это мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Иными словами, дисперсия показывает, насколько сильно значения случайной величины отклоняются от её среднего значения. Чем больше дисперсия, тем больше изменчивость или разброс данных.

Формально, дисперсия случайной величины $X$ — это математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от её математического ожидания $M(X)$. Обозначается как $D(X)$ или $Var(X)$.

Математическое определение дисперсии:
$D(X) = M[(X - M(X))^2]$

В зависимости от типа случайной величины, эта формула раскрывается по-разному:

• Для дискретной случайной величины, принимающей значения $x_1, x_2, \ldots, x_n$ с вероятностями $p_1, p_2, \ldots, p_n$, её математическое ожидание равно $M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$. Тогда дисперсия вычисляется как:
  $D(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - M(X))^2 p_i$
• Для непрерывной случайной величины с функцией плотности вероятности $f(x)$, её математическое ожидание равно $M(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$. Тогда дисперсия вычисляется как:
  $D(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - M(X))^2 f(x) dx$

Для практических расчетов часто используется более удобная формула, которая выводится из основного определения:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$
Эта формула гласит, что дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом её математического ожидания.

В статистике при работе с выборкой данных (набором наблюдений $x_1, x_2, \ldots, x_n$) используется выборочная дисперсия, которая является оценкой истинной (генеральной) дисперсии совокупности, из которой была взята выборка. Существует два её вида:

• Смещённая выборочная дисперсия: $s_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$, где $\bar{x}$ — выборочное среднее.
• Несмещённая (исправленная) выборочная дисперсия: $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$. Она даёт более точную оценку генеральной дисперсии, особенно для малых выборок. Деление на $n-1$ вместо $n$ называется поправкой Бесселя.

Основные свойства дисперсии:

• Дисперсия всегда неотрицательна: $D(X) \ge 0$.
• Дисперсия постоянной величины равна нулю: $D(C) = 0$.
• Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии в квадрате: $D(C \cdot X) = C^2 \cdot D(X)$, где $C$ — константа.
• Если $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий: $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$.

Так как дисперсия измеряется в квадратных единицах исходной величины (например, если рост измеряется в метрах, то дисперсия будет в квадратных метрах), для более наглядной интерпретации разброса используют среднеквадратическое отклонение (или стандартное отклонение), которое равно квадратному корню из дисперсии: $\sigma = \sqrt{D(X)}$. Оно имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

Ответ: Дисперсия (обозначается $D(X)$ или $Var(X)$) — это ключевая характеристика в теории вероятностей и статистике, которая количественно описывает степень разброса или изменчивости значений случайной величины относительно её математического ожидания. Она вычисляется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: $D(X) = M[(X - M(X))^2]$. Чем выше значение дисперсии, тем дальше в среднем значения величины отстоят от центра распределения.

3 Даны два набора из трёх чисел: 1, 2, 3 и 2, 4, 6. Без вычислений определите, у какого из этих наборов дисперсия меньше.

Дисперсия является мерой разброса значений в наборе данных относительно их среднего значения. Чем больше разброс (т.е. чем дальше числа находятся от среднего), тем больше дисперсия. Задачу можно решить, сравнив "кучность" расположения чисел в каждом наборе.

1. Первый набор: 1, 2, 3
Эти числа представляют собой арифметическую прогрессию. Их среднее арифметическое равно центральному числу, то есть 2. Крайние числа (1 и 3) отклоняются от среднего на 1.

2. Второй набор: 2, 4, 6
Эти числа также образуют арифметическую прогрессию. Их среднее арифметическое равно 4. Крайние числа (2 и 6) отклоняются от среднего на 2.

Поскольку отклонения чисел от среднего значения в первом наборе ($1$) меньше, чем во втором наборе ($2$), это означает, что данные в первом наборе сгруппированы плотнее. Следовательно, дисперсия первого набора меньше.

Ответ: Дисперсия меньше у набора чисел 1, 2, 3.

4 Как дисперсия средних месячных температур в некоторой местности характеризует климат этой местности?

Дисперсия средних месячных температур является статистической мерой, которая показывает, насколько сильно значения средних температур для каждого из 12 месяцев года отклоняются от среднегодовой температуры. Иными словами, она количественно характеризует разброс или изменчивость температур в течение года.

Если обозначить среднюю температуру для $i$-го месяца как $T_i$, а среднегодовую температуру как $\bar{T}$, то дисперсия $D$ вычисляется по формуле:

$D = \frac{\sum_{i=1}^{12} (T_i - \bar{T})^2}{12}$

Эта величина напрямую характеризует климат местности, а именно его континентальность:

• Высокая дисперсия означает, что среднемесячные температуры сильно колеблются в течение года. Это соответствует большой годовой амплитуде температур — разнице между самым теплым и самым холодным месяцем. Такой климат характеризуется жарким летом и холодной зимой, что является отличительной чертой континентального климата. Он формируется вдали от влияния океанов.
• Низкая дисперсия свидетельствует о том, что среднемесячные температуры в течение года меняются незначительно и близки к среднегодовому значению. Годовая амплитуда температур мала. Это характерно для климата с мягкой зимой и нежарким летом, который называется морским (океаническим). Большие водные массы (моря и океаны) сглаживают температурные колебания. Также очень низкая дисперсия свойственна экваториальному климату, где температура практически постоянна круглый год.

Таким образом, дисперсия средних месячных температур является количественным показателем степени континентальности климата. Чем больше ее значение, тем более континентальным является климат, и наоборот.

Ответ: Дисперсия средних месячных температур характеризует степень континентальности климата. Высокое значение дисперсии указывает на большие годовые колебания температуры (жаркое лето и холодная зима), что свойственно континентальному климату. Низкое значение дисперсии свидетельствует о малых годовых колебаниях температуры, что характерно для морского или экваториального климата.

5 Может ли дисперсия числового набора быть отрицательной?

Нет, дисперсия числового набора не может быть отрицательной. Это утверждение следует непосредственно из определения и формулы расчета дисперсии.

Дисперсия является мерой разброса или изменчивости данных. Она показывает, насколько в среднем значения в наборе отклоняются от их среднего арифметического.

Для расчета дисперсии ($D$ или $\sigma^2$) набора чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ с объемом $n$ выполняются следующие шаги:

Сначала вычисляется среднее арифметическое значение $\bar{x}$ (математическое ожидание):

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

Затем вычисляется сама дисперсия как среднее значение квадратов отклонений каждого элемента набора от среднего арифметического:

$D = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

Проанализируем эту формулу, чтобы понять, почему результат не может быть отрицательным:

1. Для каждого элемента $x_i$ вычисляется его отклонение от среднего: $(x_i - \bar{x})$. Это значение может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

2. Каждое такое отклонение возводится в квадрат: $(x_i - \bar{x})^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. То есть, для любого $i$ выполняется условие $(x_i - \bar{x})^2 \ge 0$.

3. В числителе формулы находится сумма этих неотрицательных величин: $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$. Сумма неотрицательных чисел также всегда неотрицательна, то есть $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \ge 0$.

4. В знаменателе стоит $n$ — количество элементов в наборе, которое по определению является положительным целым числом ($n > 0$).

Таким образом, дисперсия вычисляется как частное от деления неотрицательного числа на положительное. Результат такой операции никогда не может быть отрицательным. Дисперсия всегда больше или равна нулю ($D \ge 0$).

Дисперсия равна нулю в единственном случае: когда все элементы числового набора равны между собой. В этой ситуации разброс данных отсутствует, каждое значение совпадает со средним, все отклонения равны нулю, и, следовательно, дисперсия тоже равна нулю.

Ответ: Нет, дисперсия числового набора не может быть отрицательной, поскольку она по определению является средним значением квадратов отклонений, а квадрат любого действительного числа — величина неотрицательная.

312 Для данных числовых наборов составьте таблицу отклонений от среднего и квадратов отклонений от среднего и найдите дисперсию:

а) -1, 0, 4;

б) 2, 3, 7;

в) -3, 1, 2, 4;

г) 2, 6, 7, 5;

д) -2, -1, 1, 2, 5;

е) -1, -3, -2, 3, 3.

а) Для числового набора -1, 0, 4.

1. Найдем среднее арифметическое $(\bar{x})$. Количество элементов в наборе $n=3$.

$\bar{x} = \frac{-1 + 0 + 4}{3} = \frac{3}{3} = 1$

2. Составим таблицу отклонений от среднего и квадратов отклонений.

3. Найдем дисперсию ($\sigma^2$) как среднее арифметическое квадратов отклонений.

$\sigma^2 = \frac{4 + 1 + 9}{3} = \frac{14}{3}$

Ответ: дисперсия равна $\frac{14}{3}$.

б) Для числового набора 2, 3, 7.

1. Найдем среднее арифметическое $(\bar{x})$. Количество элементов в наборе $n=3$.

$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 7}{3} = \frac{12}{3} = 4$

2. Составим таблицу отклонений от среднего и квадратов отклонений.

3. Найдем дисперсию ($\sigma^2$) как среднее арифметическое квадратов отклонений.

$\sigma^2 = \frac{4 + 1 + 9}{3} = \frac{14}{3}$

Ответ: дисперсия равна $\frac{14}{3}$.

в) Для числового набора -3, 1, 2, 4.

1. Найдем среднее арифметическое $(\bar{x})$. Количество элементов в наборе $n=4$.

$\bar{x} = \frac{-3 + 1 + 2 + 4}{4} = \frac{4}{4} = 1$

2. Составим таблицу отклонений от среднего и квадратов отклонений.

3. Найдем дисперсию ($\sigma^2$) как среднее арифметическое квадратов отклонений.

$\sigma^2 = \frac{16 + 0 + 1 + 9}{4} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2} = 6.5$

Ответ: дисперсия равна 6,5.

г) Для числового набора 2, 6, 7, 5.

1. Найдем среднее арифметическое $(\bar{x})$. Количество элементов в наборе $n=4$.

$\bar{x} = \frac{2 + 6 + 7 + 5}{4} = \frac{20}{4} = 5$

2. Составим таблицу отклонений от среднего и квадратов отклонений.

3. Найдем дисперсию ($\sigma^2$) как среднее арифметическое квадратов отклонений.

$\sigma^2 = \frac{9 + 1 + 4 + 0}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5$

Ответ: дисперсия равна 3,5.

д) Для числового набора -2, -1, 1, 2, 5.

1. Найдем среднее арифметическое $(\bar{x})$. Количество элементов в наборе $n=5$.

$\bar{x} = \frac{-2 - 1 + 1 + 2 + 5}{5} = \frac{5}{5} = 1$

2. Составим таблицу отклонений от среднего и квадратов отклонений.

3. Найдем дисперсию ($\sigma^2$) как среднее арифметическое квадратов отклонений.

$\sigma^2 = \frac{9 + 4 + 0 + 1 + 16}{5} = \frac{30}{5} = 6$

Ответ: дисперсия равна 6.

е) Для числового набора -1, -3, -2, 3, 3.

1. Найдем среднее арифметическое $(\bar{x})$. Количество элементов в наборе $n=5$.

$\bar{x} = \frac{-1 - 3 - 2 + 3 + 3}{5} = \frac{0}{5} = 0$

2. Составим таблицу отклонений от среднего и квадратов отклонений.

3. Найдем дисперсию ($\sigma^2$) как среднее арифметическое квадратов отклонений.

$\sigma^2 = \frac{1 + 9 + 4 + 9 + 9}{5} = \frac{32}{5} = 6.4$

Ответ: дисперсия равна 6,4.

313 Даны два набора чисел. Отметьте их на числовой прямой. Вычислите дисперсию каждого из этих наборов. Дисперсия какого набора больше?

а) 2, 3, 7 и 1, 2, 3;

б) 2, 3, 4, 7 и 1, 5, 6, 8.

а)

Даны два набора чисел: {2, 3, 7} и {1, 2, 3}.

1. Отметим числа на числовой прямой. Обозначим числа первого набора синими кружками, а числа второго набора — красными квадратами.

2. Вычислим дисперсию для каждого набора. Дисперсия $D$ — это среднее арифметическое квадратов отклонений значений от их среднего. Формула дисперсии: $D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$, где $\bar{x}$ — среднее арифметическое, а $n$ — количество элементов в наборе.

Для первого набора {2, 3, 7}:

Количество элементов $n_1 = 3$.

Среднее арифметическое: $\bar{x}_1 = \frac{2 + 3 + 7}{3} = \frac{12}{3} = 4$.

Дисперсия: $D_1 = \frac{(2-4)^2 + (3-4)^2 + (7-4)^2}{3} = \frac{(-2)^2 + (-1)^2 + 3^2}{3} = \frac{4 + 1 + 9}{3} = \frac{14}{3}$.

Для второго набора {1, 2, 3}:

Количество элементов $n_2 = 3$.

Среднее арифметическое: $\bar{x}_2 = \frac{1 + 2 + 3}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

Дисперсия: $D_2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2}{3} = \frac{1 + 0 + 1}{3} = \frac{2}{3}$.

3. Сравним дисперсии: $D_1 = \frac{14}{3}$ и $D_2 = \frac{2}{3}$.

Так как $\frac{14}{3} > \frac{2}{3}$, дисперсия первого набора больше. Это означает, что числа в первом наборе более разбросаны относительно своего среднего значения.

Ответ: Дисперсия первого набора равна $\frac{14}{3}$, второго — $\frac{2}{3}$. Дисперсия первого набора больше.

б)

Даны два набора чисел: {2, 3, 4, 7} и {1, 5, 6, 8}.

1. Отметим числа на числовой прямой. Обозначим числа первого набора синими кружками, а числа второго набора — красными квадратами.

2. Вычислим дисперсию для каждого набора.

Для первого набора {2, 3, 4, 7}:

Количество элементов $n_1 = 4$.

Среднее арифметическое: $\bar{x}_1 = \frac{2 + 3 + 4 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$.

Дисперсия: $D_1 = \frac{(2-4)^2 + (3-4)^2 + (4-4)^2 + (7-4)^2}{4} = \frac{(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 3^2}{4} = \frac{4 + 1 + 0 + 9}{4} = \frac{14}{4} = 3.5$.

Для второго набора {1, 5, 6, 8}:

Количество элементов $n_2 = 4$.

Среднее арифметическое: $\bar{x}_2 = \frac{1 + 5 + 6 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5$.

Дисперсия: $D_2 = \frac{(1-5)^2 + (5-5)^2 + (6-5)^2 + (8-5)^2}{4} = \frac{(-4)^2 + 0^2 + 1^2 + 3^2}{4} = \frac{16 + 0 + 1 + 9}{4} = \frac{26}{4} = 6.5$.

3. Сравним дисперсии: $D_1 = 3.5$ и $D_2 = 6.5$.

Так как $6.5 > 3.5$, дисперсия второго набора больше. Это означает, что числа во втором наборе более разбросаны относительно своего среднего значения, что также видно на числовой прямой.

Ответ: Дисперсия первого набора равна 3.5, второго — 6.5. Дисперсия второго набора больше.

314 Сумма двадцати чисел равна 96, а сумма их квадратов равна 478. Найдите дисперсию этого числового набора.

Дисперсия ($D$) числового набора вычисляется по формуле:

$D = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$,

где $\bar{x}$ — среднее арифметическое значение чисел набора, а $\overline{x^2}$ — среднее арифметическое их квадратов.

В задаче дан числовой набор, состоящий из $n=20$ чисел.

Сумма этих чисел: $\sum_{i=1}^{20} x_i = 96$.

Сумма их квадратов: $\sum_{i=1}^{20} x_i^2 = 478$.

Найдем среднее арифметическое значение набора ($\bar{x}$):

Среднее арифметическое — это сумма всех элементов, деленная на их количество.

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{20} x_i}{n} = \frac{96}{20} = 4.8$

Найдем среднее арифметическое квадратов чисел ($\overline{x^2}$):

Среднее арифметическое квадратов — это сумма квадратов всех элементов, деленная на их количество.

$\overline{x^2} = \frac{\sum_{i=1}^{20} x_i^2}{n} = \frac{478}{20} = 23.9$

Вычислим дисперсию:

Подставим найденные значения в формулу для дисперсии:

$D = \overline{x^2} - (\bar{x})^2 = 23.9 - (4.8)^2$

Сначала вычислим квадрат среднего значения:

$(4.8)^2 = 23.04$

Теперь найдем дисперсию:

$D = 23.9 - 23.04 = 0.86$

Ответ: $0.86$

315 Даны два набора чисел. Отметьте числа на числовой прямой. Определите на глаз, у какого из наборов рассеивание значений больше. Проверьте ваш глазомер, вычислив и сравнив дисперсии наборов.

a) 2, 3, 4 и 6, 7, 8;

б) 3, 5, 7, 9 и 12, 14, 16, 18.

Для определения, у какого из наборов рассеивание значений больше, сначала отметим числа на числовой прямой и сделаем предположение на глаз. Затем, для проверки, вычислим и сравним дисперсии обоих наборов.

Отметив числа на числовой прямой, можно заметить, что числа из набора (а) (от 2 до 8) расположены более компактно, чем числа из набора (б) (от 3 до 18). Размах выборки (разница между максимальным и минимальным значением) для первого набора составляет $8 - 2 = 6$, а для второго $18 - 3 = 15$. Визуально кажется, что рассеивание больше у второго набора (б).

Проверим этот глазомер, вычислив дисперсию для каждого набора. Дисперсия ($D$) вычисляется по формуле: $D = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$, где $\bar{x}$ — среднее арифметическое, а $n$ — количество чисел в наборе.

а) 2, 3, 4 и 6, 7, 8;

1. Найдём среднее арифметическое набора ($\bar{x}_a$):
$\bar{x}_a = \frac{2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8}{6} = \frac{30}{6} = 5$.

2. Вычислим сумму квадратов отклонений от среднего:
$\sum(x_i - \bar{x}_a)^2 = (2-5)^2 + (3-5)^2 + (4-5)^2 + (6-5)^2 + (7-5)^2 + (8-5)^2$
$= (-3)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 9 + 4 + 1 + 1 + 4 + 9 = 28$.

3. Найдём дисперсию набора ($D_a$):
$D_a = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} \approx 4.67$.

б) 3, 5, 7, 9 и 12, 14, 16, 18.

1. Найдём среднее арифметическое набора ($\bar{x}_b$):
$\bar{x}_b = \frac{3 + 5 + 7 + 9 + 12 + 14 + 16 + 18}{8} = \frac{84}{8} = 10.5$.

2. Вычислим сумму квадратов отклонений от среднего:
$\sum(x_i - \bar{x}_b)^2 = (3-10.5)^2 + (5-10.5)^2 + (7-10.5)^2 + (9-10.5)^2 + (12-10.5)^2 + (14-10.5)^2 + (16-10.5)^2 + (18-10.5)^2$
$= (-7.5)^2 + (-5.5)^2 + (-3.5)^2 + (-1.5)^2 + (1.5)^2 + (3.5)^2 + (5.5)^2 + (7.5)^2$
$= 56.25 + 30.25 + 12.25 + 2.25 + 2.25 + 12.25 + 30.25 + 56.25 = 202$.

3. Найдём дисперсию набора ($D_b$):
$D_b = \frac{202}{8} = \frac{101}{4} = 25.25$.

Сравнивая вычисленные дисперсии, $D_a \approx 4.67$ и $D_b = 25.25$, мы видим, что $D_b > D_a$. Это подтверждает нашу первоначальную визуальную оценку.
Ответ: рассеивание значений больше у набора (б), так как его дисперсия ($25.25$) больше дисперсии первого набора ($\approx 4.67$).

316 Анна и Инна тренируются в стрельбе из лука. За один подход каждая делает пять выстрелов: по одному по каждой из пяти мишеней. Результаты 30 подходов собраны в таблицу 56. Найдите среднее и дисперсию результатов каждой девушки. Какой вывод можно сделать по этим данным?

Таблица 56

Число поражённых мишеней: 0, 1, 2, 3, 4, 5

Результат Анны: 2, 15, 6, 5, 1, 1

Результат Инны: 4, 23, 2, 1, 0, 0

Для решения задачи необходимо рассчитать среднее арифметическое (математическое ожидание) и дисперсию для каждой девушки, а затем сравнить полученные значения.

Общее число подходов для каждой девушки $N = 30$.

Результаты Анны

1. Среднее значение.

Среднее значение (среднее арифметическое) для дискретного вариационного ряда вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} x_i n_i$

где $x_i$ - число поражённых мишеней, а $n_i$ - частота (сколько раз данный результат был получен).

Для Анны:

$\bar{x}_A = \frac{1}{30}(0 \cdot 2 + 1 \cdot 15 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1) = \frac{0 + 15 + 12 + 15 + 4 + 5}{30} = \frac{51}{30} = 1.7$

2. Дисперсия.

Дисперсию удобнее вычислять по формуле:

$D = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$, где $\overline{x^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} x_i^2 n_i$

Сначала найдём среднее значение квадратов результатов Анны:

$\overline{x_A^2} = \frac{1}{30}(0^2 \cdot 2 + 1^2 \cdot 15 + 2^2 \cdot 6 + 3^2 \cdot 5 + 4^2 \cdot 1 + 5^2 \cdot 1) = \frac{1}{30}(0 + 15 + 24 + 45 + 16 + 25) = \frac{125}{30} = \frac{25}{6}$

Теперь вычислим дисперсию:

$D_A = \overline{x_A^2} - (\bar{x}_A)^2 = \frac{25}{6} - (1.7)^2 = \frac{25}{6} - 2.89 = \frac{25}{6} - \frac{289}{100} = \frac{1250 - 867}{300} = \frac{383}{300} \approx 1.28$

Ответ: среднее для Анны равно 1.7, дисперсия равна $\frac{383}{300} \approx 1.28$.

Результаты Инны

1. Среднее значение.

Вычислим среднее значение для Инны по той же формуле:

$\bar{x}_И = \frac{1}{30}(0 \cdot 4 + 1 \cdot 23 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0) = \frac{0 + 23 + 4 + 3 + 0 + 0}{30} = \frac{30}{30} = 1$

2. Дисперсия.

Найдём среднее значение квадратов результатов Инны:

$\overline{x_И^2} = \frac{1}{30}(0^2 \cdot 4 + 1^2 \cdot 23 + 2^2 \cdot 2 + 3^2 \cdot 1 + 4^2 \cdot 0 + 5^2 \cdot 0) = \frac{1}{30}(0 + 23 + 8 + 9) = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$

Теперь вычислим дисперсию:

$D_И = \overline{x_И^2} - (\bar{x}_И)^2 = \frac{4}{3} - 1^2 = \frac{1}{3} \approx 0.33$

Ответ: среднее для Инны равно 1, дисперсия равна $\frac{1}{3} \approx 0.33$.

Вывод

Сравним полученные статистические показатели:

• Среднее значение: У Анны среднее число попаданий за подход (1.7) выше, чем у Инны (1). Это означает, что в среднем Анна является более метким стрелком.
• Дисперсия: Дисперсия характеризует разброс или изменчивость результатов. Дисперсия у Анны ($\approx 1.28$) значительно выше, чем у Инны ($\approx 0.33$). Это говорит о том, что результаты Анны очень нестабильны: у неё бывают как очень удачные подходы (с 4 и 5 попаданиями), так и совсем неудачные. Результаты Инны, напротив, очень стабильны и сгруппированы вокруг среднего значения: в подавляющем большинстве случаев (23 из 30) она поражает ровно одну мишень.

Таким образом, Анна стреляет в среднем лучше, но её результаты непредсказуемы. Инна стреляет в среднем хуже, но её результаты очень стабильны.

317 В классе поровну юношей и девушек. Средний рост девушек — 166,3 см, а дисперсия роста для девушек — $8,5 \text{ см}^2$. Средний рост юношей равен 177,6 см, а дисперсия равна $9,6 \text{ см}^2$. Найдите средний рост и дисперсию роста всех учеников в классе. Средний рост округлите до десятых, а дисперсию до сотых.

Средний рост всех учеников в классе

Пусть количество юношей и девушек в классе равно $n$. По условию, их поровну. Общее число учеников в классе составляет $2n$.
Средний рост девушек $\bar{x}_д = 166,3$ см.
Средний рост юношей $\bar{x}_ю = 177,6$ см.
Общий средний рост всех учеников $\bar{x}_{общ}$ можно найти как средневзвешенное значение средних ростов по группам. Так как группы (юноши и девушки) имеют одинаковую численность, общий средний рост равен среднему арифметическому их средних ростов:
$\bar{x}_{общ} = \frac{\bar{x}_д + \bar{x}_ю}{2} = \frac{166,3 + 177,6}{2} = \frac{343,9}{2} = 171,95$ см.
Согласно условию, средний рост необходимо округлить до десятых.
$171,95 \approx 172,0$ см.
Ответ: 172,0 см.

Дисперсия роста всех учеников в классе

Дисперсия роста для девушек $D_д = 8,5$ см².
Дисперсия роста для юношей $D_ю = 9,6$ см².
Общая дисперсия $D_{общ}$ для всей совокупности учеников находится по формуле полной дисперсии, которая равна сумме средней из внутригрупповых дисперсий (дисперсии внутри групп) и межгрупповой дисперсии (дисперсии средних значений групп).
$D_{общ} = \bar{D}_{внутр} + D_{межгр}$.
1. Найдем среднюю из внутригрупповых дисперсий. Так как численность групп одинакова, она равна среднему арифметическому дисперсий:
$\bar{D}_{внутр} = \frac{D_д + D_ю}{2} = \frac{8,5 + 9,6}{2} = \frac{18,1}{2} = 9,05$ см².
2. Найдем межгрупповую дисперсию. Она рассчитывается как дисперсия средних значений групп ($\bar{x}_д$ и $\bar{x}_ю$) относительно общего среднего ($\bar{x}_{общ} = 171,95$ см):
$D_{межгр} = \frac{(\bar{x}_д - \bar{x}_{общ})^2 + (\bar{x}_ю - \bar{x}_{общ})^2}{2}$
$D_{межгр} = \frac{(166,3 - 171,95)^2 + (177,6 - 171,95)^2}{2} = \frac{(-5,65)^2 + (5,65)^2}{2}$
$D_{межгр} = \frac{31,9225 + 31,9225}{2} = \frac{63,845}{2} = 31,9225$ см².
3. Сложим полученные значения, чтобы найти общую дисперсию:
$D_{общ} = \bar{D}_{внутр} + D_{межгр} = 9,05 + 31,9225 = 40,9725$ см².
Согласно условию, дисперсию необходимо округлить до сотых.
$40,9725 \approx 40,97$ см².
Ответ: 40,97 см².