Страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Зачем используются диаграммы рассеивания?

Диаграмма рассеивания (также известная как точечная диаграмма или scatter plot) — это графический инструмент статистического анализа, который используется для визуального представления и исследования взаимосвязи между двумя количественными (числовыми) переменными.

На диаграмме каждое отдельное наблюдение из набора данных отображается в виде точки в двумерной системе координат. Положение точки определяется значениями двух переменных: одна переменная откладывается по горизонтальной оси (ось абсцисс, $x$), а вторая — по вертикальной (ось ординат, $y$).

Основная цель использования диаграмм рассеивания — понять, существует ли связь (корреляция) между двумя переменными, и если да, то каков ее характер. Конкретные задачи, которые они помогают решить:

1. Определение наличия и направления связи (корреляции)
Анализируя общее расположение точек, можно сделать вывод о характере зависимости: - Положительная корреляция: с увеличением значений одной переменной наблюдается тенденция к увеличению значений другой переменной. Точки на графике образуют облако, вытянутое снизу слева вверх направо. - Отрицательная корреляция: с увеличением значений одной переменной наблюдается тенденция к уменьшению значений другой. Точки образуют облако, вытянутое сверху слева вниз направо. - Отсутствие корреляции: точки на графике расположены хаотично, и какой-либо явной тенденции или закономерности не прослеживается.

2. Оценка силы связи
Чем теснее точки сгруппированы вокруг некоторой воображаемой линии (линии тренда), тем сильнее связь между переменными. Если точки сильно разбросаны, то связь считается слабой или отсутствует.

3. Определение формы зависимости
Связь между переменными не всегда бывает линейной. Диаграмма рассеивания помогает визуально определить и другие, более сложные типы зависимостей, например, криволинейные (квадратичные, экспоненциальные и т.д.).

4. Обнаружение выбросов (аномальных значений)
На диаграмме легко заметить точки, которые значительно удалены от основного скопления данных. Такие выбросы могут указывать либо на ошибки при сборе данных, либо на уникальные, нетипичные наблюдения, которые требуют дополнительного изучения.

5. Подготовка к регрессионному анализу
Диаграммы рассеивания являются важным первым шагом перед построением математических моделей, которые описывают зависимость между переменными (например, поиск уравнения линейной регрессии вида $y = kx + b$). Визуальный анализ помогает выбрать наиболее подходящий тип модели для описания данных.

Ответ: Диаграммы рассеивания используются для визуального анализа взаимосвязи между двумя количественными переменными. Они позволяют определить наличие, направление (положительное или отрицательное), форму (линейная или нелинейная) и силу этой связи, а также выявить аномальные значения (выбросы) в данных.

2 Как выглядит облако в случае положительной связи, отрицательной связи?

Положительной связи
При положительной (прямой) корреляционной связи между двумя переменными наблюдается следующая зависимость: с увеличением значений одной переменной, как правило, увеличиваются и значения другой переменной. Точно так же, уменьшение одной переменной сопряжено с уменьшением другой. На диаграмме рассеяния, которая представляет собой "облако" точек, где каждая точка соответствует паре значений $(x, y)$, эта связь проявляется в виде облака, вытянутого из левого нижнего угла координатной плоскости в правый верхний. Чем выше степень корреляции (чем ближе коэффициент корреляции $r$ к $+1$), тем более узким и вытянутым вдоль воображаемой прямой с положительным наклоном будет это облако. При $r=1$ все точки лежат на одной восходящей прямой.
Ответ: В случае положительной связи облако точек вытянуто и направлено из левого нижнего угла в правый верхний.

Отрицательной связи
При отрицательной (обратной) корреляционной связи наблюдается противоположная зависимость: с увеличением значений одной переменной, как правило, уменьшаются значения другой переменной. На диаграмме рассеяния это будет выглядеть как облако точек, вытянутое из левого верхнего угла координатной плоскости в правый нижний. Чем сильнее отрицательная связь (чем ближе коэффициент корреляции $r$ к $-1$), тем плотнее точки будут сгруппированы вдоль воображаемой прямой с отрицательным наклоном. При $r=-1$ все точки лежат точно на одной нисходящей прямой.
Ответ: В случае отрицательной связи облако точек вытянуто и направлено из левого верхнего угла в правый нижний.

3 Как выглядит облако, показывающее сильную связь между двумя величинами?

«Облако», о котором идет речь, — это совокупность точек на диаграмме рассеяния (scatter plot), где каждая точка представляет пару значений двух величин ($x$, $y$). Визуальный вид этого облака позволяет судить о наличии и силе связи (корреляции) между этими величинами.

Облако, показывающее сильную связь, выглядит как узкая, вытянутая полоса точек, сгруппированных очень близко к некоторой воображаемой линии (линии тренда). Чем уже эта полоса и чем плотнее точки прилегают к линии, тем сильнее связь.

Существует два основных вида сильной линейной связи:

Сильная положительная связь
Облако точек вытянуто по диагонали из левого нижнего угла в правый верхний. Это говорит о том, что с ростом одной величины растет и другая. В этом случае коэффициент корреляции ($r$) близок к $+1$.

Сильная отрицательная связь
Облако точек вытянуто по диагонали из левого верхнего угла в правый нижний. Это означает, что с ростом одной величины другая уменьшается. Коэффициент корреляции ($r$) в этом случае близок к $-1$.

Для сравнения: при слабой связи точки были бы разбросаны гораздо шире, а при ее отсутствии облако имело бы округлую форму без определенного направления (коэффициент корреляции $r$ около $0$).

Ответ: Облако точек, показывающее сильную связь, выглядит как узкая, вытянутая полоса, где точки плотно сгруппированы вокруг прямой линии, идущей либо вверх (положительная связь), либо вниз (отрицательная связь) при движении слева направо.

4 Что можно предположить, если облако на диаграмме рассеивания вытянуто вдоль горизонтальной или вертикальной прямой?

Диаграмма рассеивания (точечная диаграмма) показывает взаимосвязь между двумя переменными. Если облако точек на такой диаграмме вытянуто вдоль горизонтальной или вертикальной прямой, это является сильным индикатором отсутствия линейной корреляции между этими переменными. Коэффициент корреляции в таких случаях близок к нулю ($r \approx 0$). Рассмотрим оба варианта подробнее.

Облако вытянуто вдоль горизонтальной прямой

Это означает, что при изменении значений переменной по горизонтальной оси (оси абсцисс, X) значения переменной по вертикальной оси (оси ординат, Y) почти не меняются и колеблются вокруг некоторого среднего значения. Иными словами, переменная Y демонстрирует малую вариативность, в то время как переменная X может принимать широкий диапазон значений.

Из этого можно сделать следующие выводы:

• Значения переменной Y практически не зависят от значений переменной X.
• Линейная связь между переменными отсутствует или очень слаба.
• Линия регрессии, описывающая эту зависимость, будет почти горизонтальной прямой вида $y \approx c$, где $c$ - константа.

Пример: зависимость среднего балла студента (ось Y) от его роста (ось X). Рост может быть разным, но он, как правило, не влияет на успеваемость, поэтому точки на графике расположатся в виде горизонтального облака.

Ответ: Можно предположить, что между переменными отсутствует линейная корреляционная связь; переменная, отложенная по вертикальной оси, практически не зависит от переменной, отложенной по горизонтальной оси.

Облако вытянуто вдоль вертикальной прямой

Это ситуация, обратная предыдущей. Облако точек вытянуто вертикально, если значения переменной по горизонтальной оси (X) практически постоянны, в то время как значения переменной по вертикальной оси (Y) сильно варьируются.

Выводы в этом случае аналогичны:

• Между переменными отсутствует линейная зависимость.
• Переменная X имеет очень малый разброс значений (почти константа), и ее значение не позволяет предсказать значение переменной Y.
• Линия регрессии Y от X была бы почти вертикальной, что указывает на отсутствие осмысленной линейной модели (наклон стремится к бесконечности).

Пример: зависимость веса новорожденных (ось Y) от количества пальцев на руках у их матерей (ось X). Количество пальцев у подавляющего большинства матерей будет одинаковым (10), а вес новорожденных будет варьироваться в определенных пределах. Точки на диаграмме образуют вертикальное облако вокруг значения $x=10$.

Ответ: Можно предположить, что между переменными отсутствует линейная корреляционная связь, и/или переменная, отложенная по горизонтальной оси, имеет очень низкую вариативность (близка к константе), в то время как переменная по вертикальной оси значительно изменяется.

324 Для следующего набора пар значений постройте диаграмму рассеивания:

a) $(1; 2)$, $(2; 2)$, $(3; 2)$, $(3; 4)$, $(4; 5)$, $(5; 6)$, $(4; 3)$, $(4; 4)$, $(6; 6)$;

б) $(1; 2)$, $(2; 3)$, $(3; 3)$, $(3; 4)$, $(3; 2)$, $(4; 3)$, $(4; 4)$, $(5; 2)$, $(6; 3)$.

Можно ли предположить положительную связь между величинами?

а) Для построения диаграммы рассеивания необходимо нанести на координатную плоскость точки, абсциссы которых равны первым значениям из пар, а ординаты — вторым. Для данного набора (1; 2), (2; 2), (3; 2), (3; 4), (4; 5), (5; 6), (4; 3), (4; 4), (6; 6) мы получим 9 точек.

Проанализировав расположение этих точек на плоскости, можно заметить общую тенденцию: с увеличением значения первой величины (координаты $x$) в целом увеличивается и значение второй величины (координаты $y$). Например, для $x=1$ значение $y$ равно 2, для $x=3$ среднее значение $y$ равно $(2+4)/2 = 3$, для $x=4$ среднее значение $y$ равно $(5+3+4)/3 \approx 4.33$, а для $x=6$ значение $y$ равно 6. Точки образуют облако, вытянутое из левого нижнего угла в правый верхний. Это указывает на наличие положительной связи (положительной корреляции) между величинами.

Ответ: Да, можно предположить наличие положительной связи между величинами.

б) Аналогично построим диаграмму рассеивания для набора пар значений: (1; 2), (2; 3), (3; 3), (3; 4), (3; 2), (4; 3), (4; 4), (5; 2), (6; 3).

Нанеся эти точки на координатную плоскость, можно увидеть, что они образуют более разбросанное облако по сравнению с пунктом а). Хотя при увеличении $x$ от 1 до 4 наблюдается некоторый рост средних значений $y$ (от 2 для $x=1$ до 3.5 для $x=4$), дальнейшее поведение точек, в частности падение до $y=2$ при $x=5$, нарушает эту тенденцию. Облако точек не имеет ярко выраженной направленности, вытянутой из левого нижнего в правый верхний угол. Поэтому сделать уверенное предположение о наличии положительной связи между величинами затруднительно. Связь, если она и существует, является слабой или отсутствует.

Ответ: Нет, на основе данной диаграммы рассеивания сложно предположить наличие явной положительной связи.

325 Как вы думаете, между какими величинами есть связь? Если связь есть, какой характер она может иметь: положительный или отрицательный?

а) Оценки восьмиклассника по математике и по физике.

б) Время, затраченное на компьютерные игры, и время, затраченное на выполнение домашних заданий.

в) Возраст школьника и среднее число уроков в день.

г) Площадь квартиры и количество комнат в квартире.

д) Время, которое телефон проработал с момента последней зарядки, и оставшийся заряд.

а) Оценки восьмиклассника по математике и по физике.

Между этими величинами, скорее всего, есть связь. Математика и физика — это предметы, требующие схожих навыков, таких как логическое мышление и умение работать с формулами. Как правило, ученик, успевающий по математике, имеет хорошие шансы на успех и в физике. Таким образом, при повышении оценок по одному предмету, оценки по другому также имеют тенденцию к повышению. Характер связи — положительный.

Ответ: связь положительная.

б) Время, затраченное на компьютерные игры, и время, затраченное на выполнение домашних заданий.

Между этими величинами существует связь, так как время является ограниченным ресурсом. В сутках всего 24 часа. Если ученик тратит много времени на компьютерные игры, у него остается меньше времени на выполнение домашних заданий. Следовательно, увеличение времени, потраченного на игры, приводит к уменьшению времени, которое можно уделить учебе. Характер связи — отрицательный.

Ответ: связь отрицательная.

в) Возраст школьника и среднее число уроков в день.

Между этими величинами есть связь. С возрастом школьник переходит в более старшие классы. Учебная нагрузка в старших классах, как правило, выше, чем в младших. Это означает, что увеличивается и количество уроков. Например, у ученика 1-го класса уроков в день меньше, чем у ученика 10-го класса. Таким образом, с увеличением возраста школьника увеличивается и среднее число уроков в день. Характер связи — положительный.

Ответ: связь положительная.

г) Площадь квартиры и количество комнат в квартире.

Между этими величинами существует явная связь. В общем случае, чем больше комнат в квартире, тем больше ее общая площадь. Каждая комната занимает определенное место, и для размещения большего числа комнат требуется большая площадь. Хотя могут быть и исключения (например, большая однокомнатная квартира-студия и маленькая квартира с несколькими крохотными комнатами), общая тенденция очевидна. Характер связи — положительный.

Ответ: связь положительная.

д) Время, которое телефон проработал с момента последней зарядки, и оставшийся заряд.

Между этими величинами существует прямая и однозначная связь. Чем дольше телефон работает после зарядки, тем больше энергии он расходует из аккумулятора. Соответственно, чем больше времени прошло, тем меньше процент оставшегося заряда. Увеличение времени работы телефона приводит к уменьшению оставшегося заряда. Характер связи — отрицательный.

Ответ: связь отрицательная.

3261 В таблице 59 приведены данные о массе и росте 12 девушек.

Таблица 59. Рост и масса 12 девушек

Рост, см: 165, 177, 161, 162, 170, 176, 177, 164, 166, 161, 169, 159

Масса, кг: 53, 67, 45, 53, 60, 62, 58, 60, 62, 55, 55, 49

Постройте диаграмму рассеивания. Наблюдается ли связь между ростом и массой девушек?

Постройте диаграмму рассеивания.

Для построения диаграммы рассеивания (точечной диаграммы) используется прямоугольная система координат. По горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывается рост девушек в сантиметрах, а по вертикальной оси (оси ординат) — их масса в килограммах. Каждая пара значений (Рост, Масса) из таблицы представляет собой точку на диаграмме с соответствующими координатами.

Координаты точек для построения:
(159, 49), (161, 45), (161, 55), (162, 53), (164, 60), (165, 53), (166, 62), (169, 55), (170, 60), (176, 62), (177, 58), (177, 67).

Ответ: Диаграмма рассеивания, построенная на основе предоставленных данных, показана выше.

Наблюдается ли связь между ростом и массой девушек?

При анализе построенной диаграммы рассеивания можно заметить, что точки данных не разбросаны хаотично. Они образуют облако, которое вытянуто из левого нижнего угла в правый верхний. Такая конфигурация точек свидетельствует о наличии связи между переменными.

В данном случае наблюдается прямая (или положительная) корреляция. Это означает, что с увеличением роста девушек существует общая тенденция к увеличению их массы. Хотя эта зависимость не является строго функциональной (то есть точки не лежат на одной прямой, что естественно для биологических данных), общая тенденция четко прослеживается.

Ответ: Да, наблюдается прямая (положительная) связь между ростом и массой девушек. С увеличением роста в среднем увеличивается и масса.