Номер 317, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

317 В классе поровну юношей и девушек. Средний рост девушек — 166,3 см, а дисперсия роста для девушек — $8,5 \text{ см}^2$. Средний рост юношей равен 177,6 см, а дисперсия равна $9,6 \text{ см}^2$. Найдите средний рост и дисперсию роста всех учеников в классе. Средний рост округлите до десятых, а дисперсию до сотых.

Средний рост всех учеников в классе

Пусть количество юношей и девушек в классе равно $n$. По условию, их поровну. Общее число учеников в классе составляет $2n$.
Средний рост девушек $\bar{x}_д = 166,3$ см.
Средний рост юношей $\bar{x}_ю = 177,6$ см.
Общий средний рост всех учеников $\bar{x}_{общ}$ можно найти как средневзвешенное значение средних ростов по группам. Так как группы (юноши и девушки) имеют одинаковую численность, общий средний рост равен среднему арифметическому их средних ростов:
$\bar{x}_{общ} = \frac{\bar{x}_д + \bar{x}_ю}{2} = \frac{166,3 + 177,6}{2} = \frac{343,9}{2} = 171,95$ см.
Согласно условию, средний рост необходимо округлить до десятых.
$171,95 \approx 172,0$ см.
Ответ: 172,0 см.

Дисперсия роста всех учеников в классе

Дисперсия роста для девушек $D_д = 8,5$ см².
Дисперсия роста для юношей $D_ю = 9,6$ см².
Общая дисперсия $D_{общ}$ для всей совокупности учеников находится по формуле полной дисперсии, которая равна сумме средней из внутригрупповых дисперсий (дисперсии внутри групп) и межгрупповой дисперсии (дисперсии средних значений групп).
$D_{общ} = \bar{D}_{внутр} + D_{межгр}$.
1. Найдем среднюю из внутригрупповых дисперсий. Так как численность групп одинакова, она равна среднему арифметическому дисперсий:
$\bar{D}_{внутр} = \frac{D_д + D_ю}{2} = \frac{8,5 + 9,6}{2} = \frac{18,1}{2} = 9,05$ см².
2. Найдем межгрупповую дисперсию. Она рассчитывается как дисперсия средних значений групп ($\bar{x}_д$ и $\bar{x}_ю$) относительно общего среднего ($\bar{x}_{общ} = 171,95$ см):
$D_{межгр} = \frac{(\bar{x}_д - \bar{x}_{общ})^2 + (\bar{x}_ю - \bar{x}_{общ})^2}{2}$
$D_{межгр} = \frac{(166,3 - 171,95)^2 + (177,6 - 171,95)^2}{2} = \frac{(-5,65)^2 + (5,65)^2}{2}$
$D_{межгр} = \frac{31,9225 + 31,9225}{2} = \frac{63,845}{2} = 31,9225$ см².
3. Сложим полученные значения, чтобы найти общую дисперсию:
$D_{общ} = \bar{D}_{внутр} + D_{межгр} = 9,05 + 31,9225 = 40,9725$ см².
Согласно условию, дисперсию необходимо округлить до сотых.
$40,9725 \approx 40,97$ см².
Ответ: 40,97 см².