Номер 320, страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

Задания. 44*. Стандартное отклонение числового набора. Глава IX. Рассеивание данных. Часть 1 - номер 320, страница 166.

Условие.

320 Найдите стандартное отклонение набора данных. Результат округлите до сотых.

а) 1, 3, 5, 1, 3;

б) 0.2, 0.4, 1.1, 1.4, 0.7;

в) 234, 432, 521, 211, 424, 233;

г) -0.21, -0.23, -1.34, -0.43, -0.34.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Стандартное отклонение (или среднеквадратическое отклонение) является мерой разброса данных относительно их среднего значения. Чтобы найти стандартное отклонение набора данных, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Вычислить среднее арифметическое набора данных ($\bar{x}$).
2. Для каждого значения в наборе данных найти квадрат его отклонения от среднего ($(x_i - \bar{x})^2$).
3. Вычислить среднее арифметическое этих квадратов отклонений. Это значение называется дисперсией ($\sigma^2$).
4. Извлечь квадратный корень из дисперсии. Полученное значение и есть стандартное отклонение ($\sigma$).

Формула для вычисления стандартного отклонения:

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$

где $n$ – количество элементов в наборе, $x_i$ – каждый элемент набора, а $\bar{x}$ – среднее арифметическое набора.

а) 1, 3, 5, 1, 3;

1. Найдем среднее арифметическое ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{1+3+5+1+3}{5} = \frac{13}{5} = 2,6$

2. Найдем дисперсию ($\sigma^2$), то есть среднее значение квадратов отклонений от среднего:

$\sigma^2 = \frac{(1-2,6)^2 + (3-2,6)^2 + (5-2,6)^2 + (1-2,6)^2 + (3-2,6)^2}{5}$

$\sigma^2 = \frac{(-1,6)^2 + (0,4)^2 + (2,4)^2 + (-1,6)^2 + (0,4)^2}{5}$

$\sigma^2 = \frac{2,56 + 0,16 + 5,76 + 2,56 + 0,16}{5} = \frac{11,2}{5} = 2,24$

3. Найдем стандартное отклонение ($\sigma$), извлекая корень из дисперсии:

$\sigma = \sqrt{2,24} \approx 1,4966...$

4. Округлим результат до сотых:

$\sigma \approx 1,50$

Ответ: 1,50

б) 0,2, 0,4, 1,1, 1,4, 0,7;

1. Найдем среднее арифметическое ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{0,2+0,4+1,1+1,4+0,7}{5} = \frac{3,8}{5} = 0,76$

2. Найдем дисперсию ($\sigma^2$):

$\sigma^2 = \frac{(0,2-0,76)^2 + (0,4-0,76)^2 + (1,1-0,76)^2 + (1,4-0,76)^2 + (0,7-0,76)^2}{5}$

$\sigma^2 = \frac{(-0,56)^2 + (-0,36)^2 + (0,34)^2 + (0,64)^2 + (-0,06)^2}{5}$

$\sigma^2 = \frac{0,3136 + 0,1296 + 0,1156 + 0,4096 + 0,0036}{5} = \frac{0,972}{5} = 0,1944$

3. Найдем стандартное отклонение ($\sigma$):

$\sigma = \sqrt{0,1944} \approx 0,4409...$

4. Округлим результат до сотых:

$\sigma \approx 0,44$

Ответ: 0,44

в) 234, 432, 521, 211, 424, 233;

1. Найдем среднее арифметическое ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{234+432+521+211+424+233}{6} = \frac{2055}{6} = 342,5$

2. Найдем дисперсию ($\sigma^2$):

$\sigma^2 = \frac{(234-342,5)^2 + (432-342,5)^2 + (521-342,5)^2 + (211-342,5)^2 + (424-342,5)^2 + (233-342,5)^2}{6}$

$\sigma^2 = \frac{(-108,5)^2 + (89,5)^2 + (178,5)^2 + (-131,5)^2 + (81,5)^2 + (-109,5)^2}{6}$

$\sigma^2 = \frac{11772,25 + 8010,25 + 31862,25 + 17292,25 + 6642,25 + 11990,25}{6}$

$\sigma^2 = \frac{87569,5}{6} \approx 14594,9167$

3. Найдем стандартное отклонение ($\sigma$):

$\sigma = \sqrt{14594,9167} \approx 120,8094...$

4. Округлим результат до сотых:

$\sigma \approx 120,81$

Ответ: 120,81

г) -0,21, -0,23, -1,34, -0,43, -0,34;

1. Найдем среднее арифметическое ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{-0,21 + (-0,23) + (-1,34) + (-0,43) + (-0,34)}{5} = \frac{-2,55}{5} = -0,51$

2. Найдем дисперсию ($\sigma^2$):

$\sigma^2 = \frac{(-0,21 - (-0,51))^2 + (-0,23 - (-0,51))^2 + (-1,34 - (-0,51))^2 + (-0,43 - (-0,51))^2 + (-0,34 - (-0,51))^2}{5}$

$\sigma^2 = \frac{(0,3)^2 + (0,28)^2 + (-0,83)^2 + (0,08)^2 + (0,17)^2}{5}$

$\sigma^2 = \frac{0,09 + 0,0784 + 0,6889 + 0,0064 + 0,0289}{5} = \frac{0,8926}{5} = 0,17852$

3. Найдем стандартное отклонение ($\sigma$):

$\sigma = \sqrt{0,17852} \approx 0,4225...$

4. Округлим результат до сотых:

$\sigma \approx 0,42$

Ответ: 0,42