Номер 316, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

316 Анна и Инна тренируются в стрельбе из лука. За один подход каждая делает пять выстрелов: по одному по каждой из пяти мишеней. Результаты 30 подходов собраны в таблицу 56. Найдите среднее и дисперсию результатов каждой девушки. Какой вывод можно сделать по этим данным?

Таблица 56

Число поражённых мишеней: 0, 1, 2, 3, 4, 5

Результат Анны: 2, 15, 6, 5, 1, 1

Результат Инны: 4, 23, 2, 1, 0, 0

Для решения задачи необходимо рассчитать среднее арифметическое (математическое ожидание) и дисперсию для каждой девушки, а затем сравнить полученные значения.

Общее число подходов для каждой девушки $N = 30$.

Результаты Анны

1. Среднее значение.

Среднее значение (среднее арифметическое) для дискретного вариационного ряда вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} x_i n_i$

где $x_i$ - число поражённых мишеней, а $n_i$ - частота (сколько раз данный результат был получен).

Для Анны:

$\bar{x}_A = \frac{1}{30}(0 \cdot 2 + 1 \cdot 15 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1) = \frac{0 + 15 + 12 + 15 + 4 + 5}{30} = \frac{51}{30} = 1.7$

2. Дисперсия.

Дисперсию удобнее вычислять по формуле:

$D = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$, где $\overline{x^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} x_i^2 n_i$

Сначала найдём среднее значение квадратов результатов Анны:

$\overline{x_A^2} = \frac{1}{30}(0^2 \cdot 2 + 1^2 \cdot 15 + 2^2 \cdot 6 + 3^2 \cdot 5 + 4^2 \cdot 1 + 5^2 \cdot 1) = \frac{1}{30}(0 + 15 + 24 + 45 + 16 + 25) = \frac{125}{30} = \frac{25}{6}$

Теперь вычислим дисперсию:

$D_A = \overline{x_A^2} - (\bar{x}_A)^2 = \frac{25}{6} - (1.7)^2 = \frac{25}{6} - 2.89 = \frac{25}{6} - \frac{289}{100} = \frac{1250 - 867}{300} = \frac{383}{300} \approx 1.28$

Ответ: среднее для Анны равно 1.7, дисперсия равна $\frac{383}{300} \approx 1.28$.

Результаты Инны

1. Среднее значение.

Вычислим среднее значение для Инны по той же формуле:

$\bar{x}_И = \frac{1}{30}(0 \cdot 4 + 1 \cdot 23 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0) = \frac{0 + 23 + 4 + 3 + 0 + 0}{30} = \frac{30}{30} = 1$

2. Дисперсия.

Найдём среднее значение квадратов результатов Инны:

$\overline{x_И^2} = \frac{1}{30}(0^2 \cdot 4 + 1^2 \cdot 23 + 2^2 \cdot 2 + 3^2 \cdot 1 + 4^2 \cdot 0 + 5^2 \cdot 0) = \frac{1}{30}(0 + 23 + 8 + 9) = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$

Теперь вычислим дисперсию:

$D_И = \overline{x_И^2} - (\bar{x}_И)^2 = \frac{4}{3} - 1^2 = \frac{1}{3} \approx 0.33$

Ответ: среднее для Инны равно 1, дисперсия равна $\frac{1}{3} \approx 0.33$.

Вывод

Сравним полученные статистические показатели:

• Среднее значение: У Анны среднее число попаданий за подход (1.7) выше, чем у Инны (1). Это означает, что в среднем Анна является более метким стрелком.
• Дисперсия: Дисперсия характеризует разброс или изменчивость результатов. Дисперсия у Анны ($\approx 1.28$) значительно выше, чем у Инны ($\approx 0.33$). Это говорит о том, что результаты Анны очень нестабильны: у неё бывают как очень удачные подходы (с 4 и 5 попаданиями), так и совсем неудачные. Результаты Инны, напротив, очень стабильны и сгруппированы вокруг среднего значения: в подавляющем большинстве случаев (23 из 30) она поражает ровно одну мишень.

Таким образом, Анна стреляет в среднем лучше, но её результаты непредсказуемы. Инна стреляет в среднем хуже, но её результаты очень стабильны.