Номер 313, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

313 Даны два набора чисел. Отметьте их на числовой прямой. Вычислите дисперсию каждого из этих наборов. Дисперсия какого набора больше?

а) 2, 3, 7 и 1, 2, 3;

б) 2, 3, 4, 7 и 1, 5, 6, 8.

а)

Даны два набора чисел: {2, 3, 7} и {1, 2, 3}.

1. Отметим числа на числовой прямой. Обозначим числа первого набора синими кружками, а числа второго набора — красными квадратами.

2. Вычислим дисперсию для каждого набора. Дисперсия $D$ — это среднее арифметическое квадратов отклонений значений от их среднего. Формула дисперсии: $D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$, где $\bar{x}$ — среднее арифметическое, а $n$ — количество элементов в наборе.

Для первого набора {2, 3, 7}:

Количество элементов $n_1 = 3$.

Среднее арифметическое: $\bar{x}_1 = \frac{2 + 3 + 7}{3} = \frac{12}{3} = 4$.

Дисперсия: $D_1 = \frac{(2-4)^2 + (3-4)^2 + (7-4)^2}{3} = \frac{(-2)^2 + (-1)^2 + 3^2}{3} = \frac{4 + 1 + 9}{3} = \frac{14}{3}$.

Для второго набора {1, 2, 3}:

Количество элементов $n_2 = 3$.

Среднее арифметическое: $\bar{x}_2 = \frac{1 + 2 + 3}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

Дисперсия: $D_2 = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2}{3} = \frac{1 + 0 + 1}{3} = \frac{2}{3}$.

3. Сравним дисперсии: $D_1 = \frac{14}{3}$ и $D_2 = \frac{2}{3}$.

Так как $\frac{14}{3} > \frac{2}{3}$, дисперсия первого набора больше. Это означает, что числа в первом наборе более разбросаны относительно своего среднего значения.

Ответ: Дисперсия первого набора равна $\frac{14}{3}$, второго — $\frac{2}{3}$. Дисперсия первого набора больше.

б)

Даны два набора чисел: {2, 3, 4, 7} и {1, 5, 6, 8}.

1. Отметим числа на числовой прямой. Обозначим числа первого набора синими кружками, а числа второго набора — красными квадратами.

2. Вычислим дисперсию для каждого набора.

Для первого набора {2, 3, 4, 7}:

Количество элементов $n_1 = 4$.

Среднее арифметическое: $\bar{x}_1 = \frac{2 + 3 + 4 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$.

Дисперсия: $D_1 = \frac{(2-4)^2 + (3-4)^2 + (4-4)^2 + (7-4)^2}{4} = \frac{(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 3^2}{4} = \frac{4 + 1 + 0 + 9}{4} = \frac{14}{4} = 3.5$.

Для второго набора {1, 5, 6, 8}:

Количество элементов $n_2 = 4$.

Среднее арифметическое: $\bar{x}_2 = \frac{1 + 5 + 6 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5$.

Дисперсия: $D_2 = \frac{(1-5)^2 + (5-5)^2 + (6-5)^2 + (8-5)^2}{4} = \frac{(-4)^2 + 0^2 + 1^2 + 3^2}{4} = \frac{16 + 0 + 1 + 9}{4} = \frac{26}{4} = 6.5$.

3. Сравним дисперсии: $D_1 = 3.5$ и $D_2 = 6.5$.

Так как $6.5 > 3.5$, дисперсия второго набора больше. Это означает, что числа во втором наборе более разбросаны относительно своего среднего значения, что также видно на числовой прямой.

Ответ: Дисперсия первого набора равна 3.5, второго — 6.5. Дисперсия второго набора больше.