Номер 301, страница 159, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

301 Даны два числовых набора. Нанесите их на числовую прямую или изобразите на диаграмме. Сравните рассеивания этих двух наборов. У какого из них рассеивание больше?

а) 1, 3, 2, 1, 3, 2, 3 и 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6;

б) 1, 3, 2, 1, 3, 2, 3 и 2, 4, 5, 5, 6, 6, 8;

в) 1, 3, 2, 1, 3, 2, 3 и 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9.

Для сравнения рассеивания (разброса) данных в наборах, мы можем использовать как визуальное представление на числовой прямой, так и числовые характеристики, такие как размах и дисперсия. Размах — это разность между максимальным и минимальным значениями в наборе. Дисперсия — это мера разброса данных относительно их среднего значения. Чем больше эти величины, тем больше рассеивание.

Даны два набора:
Набор 1: 1, 3, 2, 1, 3, 2, 3.
Набор 2: 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6.

Для удобства анализа упорядочим элементы в каждом наборе:
Набор 1 (упорядоченный): 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3.
Набор 2 (упорядоченный): 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6.

На числовой прямой точки первого набора расположены в диапазоне от 1 до 3. Точки второго набора расположены в диапазоне от 4 до 6. Визуально оба набора занимают отрезки одинаковой длины.

Вычислим размах для каждого набора:
Размах набора 1: $R_1 = 3 - 1 = 2$.
Размах набора 2: $R_2 = 6 - 4 = 2$.

Размахи наборов равны. Для более точного сравнения можно вычислить дисперсию ($D$).
Среднее значение для набора 1: $\bar{x}_1 = \frac{1+1+2+2+3+3+3}{7} = \frac{15}{7}$.
Дисперсия набора 1: $D_1 = \frac{2 \cdot (1 - \frac{15}{7})^2 + 2 \cdot (2 - \frac{15}{7})^2 + 3 \cdot (3 - \frac{15}{7})^2}{7} = \frac{238}{343} = \frac{34}{49}$.

Среднее значение для набора 2: $\bar{x}_2 = \frac{4+4+5+5+6+6+6}{7} = \frac{36}{7}$.
Дисперсия набора 2: $D_2 = \frac{2 \cdot (4 - \frac{36}{7})^2 + 2 \cdot (5 - \frac{36}{7})^2 + 3 \cdot (6 - \frac{36}{7})^2}{7} = \frac{238}{343} = \frac{34}{49}$.

Так как и размахи, и дисперсии обоих наборов равны, их рассеивания одинаковы. Можно заметить, что каждый элемент второго набора на 3 больше соответствующего элемента первого набора, то есть второй набор получен из первого сдвигом на 3, а сдвиг не меняет рассеивание.

Ответ: Рассеивания наборов одинаковы.

Даны два набора:
Набор 1: 1, 3, 2, 1, 3, 2, 3.
Набор 2: 2, 4, 5, 5, 6, 6, 8.

Упорядочим наборы:
Набор 1 (упорядоченный): 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3.
Набор 2 (упорядоченный): 2, 4, 5, 5, 6, 6, 8.

На числовой прямой точки первого набора расположены в диапазоне от 1 до 3. Точки второго набора расположены в более широком диапазоне от 2 до 8. Визуально второй набор более разбросан.

Вычислим размах для каждого набора:
Размах набора 1: $R_1 = 3 - 1 = 2$.
Размах набора 2: $R_2 = 8 - 2 = 6$.

Размах второго набора ($R_2=6$) значительно больше размаха первого набора ($R_1=2$), что указывает на большее рассеивание во втором наборе. Подтвердим это вычислением дисперсии.
Дисперсия набора 1 (из пункта а): $D_1 = \frac{34}{49} \approx 0.69$.

Среднее значение для набора 2: $\bar{x}_2 = \frac{2+4+5+5+6+6+8}{7} = \frac{36}{7}$.
Дисперсия набора 2: $D_2 = \frac{(2-\frac{36}{7})^2 + (4-\frac{36}{7})^2 + 2 \cdot (5-\frac{36}{7})^2 + 2 \cdot (6-\frac{36}{7})^2 + (8-\frac{36}{7})^2}{7} = \frac{1022}{343} \approx 2.98$.

Так как $R_2 > R_1$ и $D_2 > D_1$, рассеивание второго набора больше.

Ответ: Рассеивание второго набора больше.

Даны два набора:
Набор 1: 1, 3, 2, 1, 3, 2, 3.
Набор 2: 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9.

Упорядочим наборы:
Набор 1 (упорядоченный): 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3.
Набор 2 (упорядоченный): 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9.

На числовой прямой точки первого набора расположены в диапазоне от 1 до 3. Точки второго набора расположены в диапазоне от 7 до 9. Визуально оба набора занимают отрезки одинаковой длины.

Вычислим размах для каждого набора:
Размах набора 1: $R_1 = 3 - 1 = 2$.
Размах набора 2: $R_2 = 9 - 7 = 2$.

Размахи наборов равны. Вычислим дисперсии.
Дисперсия набора 1 (из пункта а): $D_1 = \frac{34}{49}$.

Среднее значение для набора 2: $\bar{x}_2 = \frac{7+7+7+8+8+9+9}{7} = \frac{55}{7}$.
Дисперсия набора 2: $D_2 = \frac{3 \cdot (7 - \frac{55}{7})^2 + 2 \cdot (8 - \frac{55}{7})^2 + 2 \cdot (9 - \frac{55}{7})^2}{7} = \frac{3 \cdot (\frac{-6}{7})^2 + 2 \cdot (\frac{1}{7})^2 + 2 \cdot (\frac{8}{7})^2}{7} = \frac{\frac{108+2+128}{49}}{7} = \frac{238}{343} = \frac{34}{49}$.

Так как размахи и дисперсии обоих наборов равны ($R_1 = R_2 = 2$ и $D_1 = D_2 = \frac{34}{49}$), их рассеивания одинаковы.

Ответ: Рассеивания наборов одинаковы.