Номер 2, страница 159, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

2 Чему равна сумма всех отклонений чисел набора от их среднего арифметического?

Сумма всех отклонений чисел в любом наборе от их среднего арифметического всегда равна нулю. Это одно из фундаментальных свойств среднего арифметического. Докажем это утверждение в общем виде.

Пусть имеется некоторый набор из $n$ чисел: $x_1, x_2, \dots, x_n$.

1. Определение среднего арифметического

Среднее арифметическое этого набора, которое мы обозначим как $\bar{x}$, вычисляется как сумма всех чисел, деленная на их количество:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

2. Определение отклонения от среднего

Отклонение каждого отдельного числа $x_i$ от среднего арифметического $\bar{x}$ — это разность $(x_i - \bar{x})$.

3. Расчет суммы всех отклонений

Задача состоит в том, чтобы найти сумму отклонений для всех чисел набора. Обозначим эту сумму буквой $S$:

$S = (x_1 - \bar{x}) + (x_2 - \bar{x}) + \dots + (x_n - \bar{x})$

Используя знак суммирования, это можно записать более компактно:

$S = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})$

Используя свойства суммирования, мы можем преобразовать это выражение:

$S = \sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} \bar{x}$

Первая часть, $\sum_{i=1}^{n} x_i$, — это просто сумма всех чисел в наборе. Вторая часть, $\sum_{i=1}^{n} \bar{x}$, — это сумма среднего значения $\bar{x}$, повторенного $n$ раз, что равно $n \cdot \bar{x}$.

Таким образом, наша формула принимает вид:

$S = \left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right) - n \cdot \bar{x}$

Теперь подставим в эту формулу выражение для $\bar{x}$ из шага 1:

$S = \left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right) - n \cdot \left(\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\right)$

Сокращаем $n$ в знаменателе и множитель $n$ перед дробью:

$S = \left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right) - \left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)$

В результате получаем:

$S = 0$

Это доказывает, что для любого набора чисел сумма отклонений от их среднего арифметического всегда равна нулю.

Пример на конкретных числах:

Рассмотрим набор чисел: {4, 5, 9}.

1. Найдем среднее арифметическое: $\bar{x} = \frac{4 + 5 + 9}{3} = \frac{18}{3} = 6$.

2. Найдем отклонения каждого числа от среднего:

• Отклонение для 4: $4 - 6 = -2$
• Отклонение для 5: $5 - 6 = -1$
• Отклонение для 9: $9 - 6 = 3$

3. Сложим все отклонения:

$S = (-2) + (-1) + 3 = -3 + 3 = 0$.

Пример подтверждает теоретический вывод.

Ответ: 0