Номер 4, страница 159, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

4 Что такое абсолютное отклонение?

Абсолютное отклонение — это мера разброса или вариативности данных, которая показывает, насколько отдельное значение в наборе данных отличается от центрального значения этого набора (чаще всего от среднего арифметического или медианы). Важной особенностью является то, что это отклонение всегда является неотрицательным числом, так как оно вычисляется по модулю (абсолютной величине).

Определение и формула

Абсолютное отклонение для одного элемента выборки ($x_i$) от среднего значения ($\bar{x}$) вычисляется как модуль их разности.

Формула абсолютного отклонения для одного элемента:

$d_i = |x_i - \bar{x}|$

где:

• $d_i$ — абсолютное отклонение i-го элемента.
• $x_i$ — i-й элемент набора данных.
• $\bar{x}$ — мера центральной тенденции (как правило, среднее арифметическое).

Часто на практике используют среднее абсолютное отклонение (Mean Absolute Deviation, MAD), которое представляет собой среднее арифметическое всех абсолютных отклонений в наборе данных. Оно дает общую оценку разброса данных.

Формула среднего абсолютного отклонения:

$MAD = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}| = \frac{|x_1 - \bar{x}| + |x_2 - \bar{x}| + \dots + |x_n - \bar{x}|}{n}$

где $n$ — количество элементов в наборе данных.

Ответ: Абсолютное отклонение — это модуль разности между конкретным значением в выборке и центральным значением (например, средним арифметическим), вычисляемый по формуле $d_i = |x_i - \bar{x}|$.

Пример расчета

Рассмотрим набор данных: {3, 5, 6, 6, 9}.

1. Найдем среднее арифметическое ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{3 + 5 + 6 + 6 + 9}{5} = \frac{29}{5} = 5.8$

2. Вычислим абсолютное отклонение для каждого элемента:

• Для 3: $|3 - 5.8| = |-2.8| = 2.8$
• Для 5: $|5 - 5.8| = |-0.8| = 0.8$
• Для 6: $|6 - 5.8| = |0.2| = 0.2$
• Для 6: $|6 - 5.8| = |0.2| = 0.2$
• Для 9: $|9 - 5.8| = |3.2| = 3.2$

Таким образом, мы получили набор абсолютных отклонений: {2.8, 0.8, 0.2, 0.2, 3.2}.

3. Вычислим среднее абсолютное отклонение (MAD):

$MAD = \frac{2.8 + 0.8 + 0.2 + 0.2 + 3.2}{5} = \frac{7.2}{5} = 1.44$

Это означает, что в среднем значения в данном наборе отклоняются от среднего арифметического на 1.44.

Ответ: Для набора {3, 5, 6, 6, 9} абсолютные отклонения от среднего (5.8) равны 2.8, 0.8, 0.2, 0.2, 3.2, а среднее абсолютное отклонение составляет 1.44.

Свойства и применение

Абсолютное отклонение обладает рядом важных свойств:

• Простота интерпретации: Оно измеряется в тех же единицах, что и исходные данные, что делает его интуитивно понятным.
• Устойчивость к выбросам: По сравнению со стандартным отклонением, которое возводит разности в квадрат, абсолютное отклонение менее чувствительно к экстремально большим или малым значениям (выбросам) в данных.

Применяется в различных областях:

• Статистика: Для описания вариативности данных как альтернатива стандартному отклонению.
• Эконометрика и машинное обучение: Среднее абсолютное отклонение является основой для метрики качества моделей, известной как средняя абсолютная ошибка (Mean Absolute Error, MAE), которая оценивает точность прогнозов.
• Финансы: Для оценки риска и волатильности активов.

Ответ: Абсолютное отклонение — это простая для интерпретации и устойчивая к выбросам мера разброса данных, используемая в статистике, эконометрике и финансах.