Номер 3, страница 159, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

3 Чему равно среднее арифметическое всех отклонений от среднего арифметического в наборе?

Чтобы найти среднее арифметическое всех отклонений от среднего арифметического в наборе, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить, что такое среднее арифметическое и отклонение от него.
Пусть у нас есть набор чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$, состоящий из $n$ элементов.
Среднее арифметическое этого набора ($\bar{x}$) вычисляется по формуле:
$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Отклонение каждого элемента $x_i$ от среднего арифметического — это разность $d_i = x_i - \bar{x}$.

2. Найти сумму всех отклонений.
Сумма всех отклонений от среднего арифметического равна:
$\sum_{i=1}^{n} d_i = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})$
Используя свойства суммы, мы можем переписать это выражение:
$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = (x_1 - \bar{x}) + (x_2 - \bar{x}) + \ldots + (x_n - \bar{x})$
Сгруппируем члены:
$(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) - (\underbrace{\bar{x} + \bar{x} + \ldots + \bar{x}}_{n \text{ раз}}) = (\sum_{i=1}^{n} x_i) - n \cdot \bar{x}$
Из определения среднего арифметического мы знаем, что $\sum_{i=1}^{n} x_i = n \cdot \bar{x}$.
Подставим это в наше выражение:
$n \cdot \bar{x} - n \cdot \bar{x} = 0$
Таким образом, сумма всех отклонений от среднего арифметического всегда равна нулю.

3. Найти среднее арифметическое всех отклонений.
Среднее арифметическое отклонений — это их сумма, деленная на их количество ($n$):
$\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})}{n} = \frac{0}{n} = 0$

Пример:
Рассмотрим набор чисел: {3, 5, 8, 12}.
1. Найдем среднее арифметическое: $\bar{x} = \frac{3 + 5 + 8 + 12}{4} = \frac{28}{4} = 7$.
2. Найдем отклонения от среднего для каждого числа:

• $3 - 7 = -4$
• $5 - 7 = -2$
• $8 - 7 = 1$
• $12 - 7 = 5$

3. Найдем среднее арифметическое этих отклонений:
$\frac{(-4) + (-2) + 1 + 5}{4} = \frac{0}{4} = 0$.

Это фундаментальное свойство среднего арифметического: оно является "центром масс" набора данных, поэтому сумма положительных и отрицательных отклонений от него всегда уравновешивает друг друга и в сумме дает ноль. Соответственно, и среднее этих отклонений будет равно нулю.

Ответ: 0