Номер 3, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

3 Может ли утверждение $(A \cap B) \subseteq (A \cup B)$ быть истинным? Если да, то приведите пример таких множеств $A$ и $B$.

Да, данное утверждение может быть истинным. Более того, оно является тождественно истинным, то есть верным для любых двух множеств $A$ и $B$.

Обоснуем это утверждение. Вспомним определения операций пересечения и объединения множеств:

• Пересечение множеств $A \cap B$ содержит только те элементы, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$.
• Объединение множеств $A \cup B$ содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (либо $A$, либо $B$, либо обоим).

Утверждение $(A \cap B) \subset (A \cup B)$ означает, что пересечение является подмножеством объединения. Чтобы доказать это, нужно показать, что любой элемент, принадлежащий пересечению, также принадлежит и объединению.

Пусть $x$ — это произвольный элемент, принадлежащий пересечению множеств $A$ и $B$, то есть $x \in (A \cap B)$.Согласно определению пересечения, это означает, что элемент $x$ принадлежит как множеству $A$ ($x \in A$), так и множеству $B$ ($x \in B$).

Теперь рассмотрим объединение множеств $A \cup B$. По определению, в него входят все элементы, которые принадлежат $A$ или $B$. Поскольку мы уже знаем, что $x \in A$ (а также $x \in B$), этого достаточно, чтобы утверждать, что $x \in (A \cup B)$.

Таким образом, мы доказали, что любой элемент из $A \cap B$ обязательно содержится в $A \cup B$. Следовательно, утверждение $(A \cap B) \subset (A \cup B)$ всегда истинно.

В соответствии с заданием, приведем конкретный пример.

Пусть даны множества $A = \{1, 2, 3\}$ и $B = \{3, 4, 5\}$.

1. Найдем их пересечение (общие для $A$ и $B$ элементы):
$A \cap B = \{3\}$

2. Найдем их объединение (все элементы из $A$ и $B$ без повторений):
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

3. Проверим истинность утверждения $(A \cap B) \subset (A \cup B)$ для этих множеств:
$\{3\} \subset \{1, 2, 3, 4, 5\}$

Это утверждение истинно, так как единственный элемент левого множества (число 3) также является элементом правого множества.

Ответ: Да, утверждение может быть истинным. Оно справедливо для любых множеств $A$ и $B$. Например, для $A = \{1, 2, 3\}$ и $B = \{3, 4, 5\}$, пересечение $A \cap B = \{3\}$ является подмножеством объединения $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.