Номер 207, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

207 Пользуясь диаграммой Эйлера, проверьте, верно ли равенство:

а) $A \cup (B \cap A) = B$;

б) $A \cap (B \cup A) = A$.

а) $A \cup (B \cap A) = B$

Для проверки этого равенства воспользуемся диаграммой Эйлера. Изобразим два произвольных пересекающихся множества $A$ и $B$ в виде кругов.

1. Сначала определим область, соответствующую выражению в скобках: $B \cap A$. Это пересечение множеств $A$ и $B$, то есть общая часть кругов $A$ и $B$.

2. Далее рассмотрим левую часть равенства целиком: $A \cup (B \cap A)$. Это объединение множества $A$ (весь круг $A$) с областью пересечения $B \cap A$. Поскольку область пересечения $B \cap A$ уже является частью множества $A$ (то есть $(B \cap A) \subseteq A$), их объединение даст в результате само множество $A$. Это один из законов поглощения в теории множеств.

3. Таким образом, левая часть исходного равенства $A \cup (B \cap A)$ на самом деле равна $A$. Тогда проверяемое равенство можно переписать как $A = B$.

Однако в общем случае множества $A$ и $B$ не обязаны быть равными. На диаграмме Эйлера это видно по наличию частей у каждого круга, не входящих в пересечение. Чтобы доказать, что равенство неверно в общем случае, достаточно привести один контрпример.

Пусть $A = \{1, 2\}$ и $B = \{2, 3\}$.
Найдем пересечение: $B \cap A = \{2\}$.
Вычислим левую часть: $A \cup (B \cap A) = \{1, 2\} \cup \{2\} = \{1, 2\}$.
Правая часть равна $B = \{2, 3\}$.
Так как $\{1, 2\} \neq \{2, 3\}$, то равенство $A \cup (B \cap A) = B$ не является верным для произвольных множеств.

Ответ: равенство неверно.

б) $A \cap (B \cup A) = A$

Снова воспользуемся диаграммой Эйлера с двумя пересекающимися множествами $A$ и $B$.

1. Сначала определим область, соответствующую выражению в скобках: $B \cup A$. Это объединение множеств $A$ и $B$, то есть вся область, занимаемая обоими кругами вместе.

2. Теперь рассмотрим левую часть равенства: $A \cap (B \cup A)$. Это пересечение множества $A$ (круг $A$) с объединением $B \cup A$ (вся область двух кругов). Мы ищем общую для них область.

Поскольку множество $A$ целиком входит в состав объединения $B \cup A$ (то есть $A \subseteq (B \cup A)$), то их пересечение будет равно самому множеству $A$.

3. Таким образом, левая часть равенства $A \cap (B \cup A)$ всегда равна $A$.

4. Сравнивая левую и правую части, получаем тождество $A = A$. Это равенство, известное как второй закон поглощения, верно для любых множеств $A$ и $B$. На диаграмме Эйлера это означает, что пересечение круга $A$ с общей площадью обоих кругов есть сам круг $A$.

Ответ: равенство верно.