Номер 210, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

210 Найдите пересечение двух числовых промежутков и изобразите промежутки и их пересечение на числовой прямой.

а) $1 \le x \le 3$ и $2 < x \le 8$;

б) $x > 8$ и $x > 5$;

в) $x \le 1,5$ и $-3 \le x \le 6$.

г) $2 < x < 9$ и $x \ge 5,7$.

а) Даны два числовых промежутка $1 \le x \le 3$ и $2 < x \le 8$. Первый промежуток — это отрезок $[1; 3]$, второй — полуинтервал $(2; 8]$. Изобразим их на числовой прямой, используя штриховку. Включенные концы (при знаках $\le$ или $\ge$) обозначаются закрашенными точками, а исключенные (при знаках $<$ или $>$) — выколотыми (пустыми).

Пересечением является общая заштрихованная область, где штриховки накладываются. Эта область соответствует числам, которые больше 2, но не больше 3, то есть $2 < x \le 3$.
Ответ: $(2; 3]$

б) Даны два числовых промежутка $x > 8$ и $x > 5$. В виде интервалов это $(8; +\infty)$ и $(5; +\infty)$. Оба неравенства строгие, поэтому точки 5 и 8 на числовой прямой будут выколотыми.

Пересечением является область, где оба промежутка существуют одновременно. Если число больше 8, оно очевидно и больше 5. Таким образом, общая часть — это все числа, которые строго больше 8, то есть $x > 8$.
Ответ: $(8; +\infty)$

в) Даны два числовых промежутка $x \le 1,5$ и $-3 \le x \le 6$. В виде интервалов это $(-\infty; 1,5]$ и $[-3; 6]$. Все неравенства нестрогие, поэтому точки -3, 1.5 и 6 на числовой прямой будут закрашенными.

Общая заштрихованная область начинается в точке -3 (включительно) и заканчивается в точке 1.5 (включительно). Следовательно, пересечение промежутков есть отрезок $-3 \le x \le 1,5$.
Ответ: $[-3; 1,5]$

г) Даны два числовых промежутка $2 < x < 9$ и $x \ge 5,7$. В виде интервалов это $(2; 9)$ и $[5,7; +\infty)$. Точки 2 и 9 выколотые, а точка 5,7 — закрашенная.

Общая заштрихованная область начинается в точке 5,7 (включительно) и заканчивается перед точкой 9 (не включая ее). Следовательно, пересечение промежутков есть полуинтервал $5,7 \le x < 9$.
Ответ: $[5,7; 9)$