Номер 211, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

211 Изобразите объединение числовых промежутков на числовой прямой.

а) $3 < x \le 5$ и $4 < x \le 8$;

б) $x > 2$ и $x < -1$;

в) $x \ge 6$ и $x \le 9$;

г) $5 \le x < 7$ и $x > 4$.

а)

Заданы два числовых промежутка: $3 < x \le 5$ и $4 < x \le 8$. В виде интервалов это $(3, 5]$ и $(4, 8]$. Объединение этих промежутков — это множество всех чисел, которые принадлежат хотя бы одному из них. Для нахождения объединения необходимо изобразить оба промежутка на числовой прямой.

Первый промежуток $(3, 5]$ на числовой прямой — это отрезок с выколотой (пустой) точкой в 3 и закрашенной (сплошной) точкой в 5.

Второй промежуток $(4, 8]$ — это отрезок с выколотой точкой в 4 и закрашенной точкой в 8.

Эти промежутки перекрываются. Объединение будет начинаться с наименьшей границы (3) и заканчиваться наибольшей (8). Поскольку точка 3 не входит в первый промежуток (строгое неравенство $x > 3$), она не войдет и в объединение. Точка 8 входит во второй промежуток (нестрогое неравенство $x \le 8$), поэтому она войдет в объединение.

Таким образом, итоговый промежуток — это все числа от 3 до 8, не включая 3 и включая 8. На числовой прямой это будет интервал с выколотой точкой на 3, закрашенной точкой на 8 и заштрихованной областью между ними.

Ответ: $3 < x \le 8$.

б)

Заданы два числовых промежутка: $x > 2$ и $x < -1$. В виде интервалов это $(2, \infty)$ и $(-\infty, -1)$. Объединение этих промежутков — это множество всех чисел, которые либо больше 2, либо меньше -1.

Изобразим их на числовой прямой. Первый промежуток $(2, \infty)$ — это луч, идущий вправо от точки 2 (точка 2 выколота). Второй промежуток $(-\infty, -1)$ — это луч, идущий влево от точки -1 (точка -1 выколота).

Эти два промежутка не пересекаются, между ними есть разрыв от -1 до 2. Объединение будет состоять из двух этих непересекающихся лучей.

На числовой прямой это будет выглядеть как два заштрихованных луча: один от -1 влево, другой от 2 вправо, с выколотыми точками в -1 и 2.

Ответ: $x < -1$ или $x > 2$.

в)

Заданы два числовых промежутка: $x \ge 6$ и $x \le 9$. В виде интервалов это $[6, \infty)$ и $(-\infty, 9]$. Объединение этих промежутков — это множество всех чисел, которые либо больше или равны 6, либо меньше или равны 9.

Изобразим их на числовой прямой. Первый промежуток $[6, \infty)$ — это луч, идущий вправо от точки 6 (точка 6 закрашена). Второй промежуток $(-\infty, 9]$ — это луч, идущий влево от точки 9 (точка 9 закрашена).

Любое действительное число удовлетворяет хотя бы одному из этих условий. Если число меньше 6, оно точно меньше 9, значит, оно принадлежит второму промежутку. Если число больше или равно 6, оно принадлежит первому промежутку. Таким образом, объединение этих двух лучей покрывает всю числовую прямую.

На числовой прямой это будет вся числовая ось, полностью заштрихованная.

Ответ: $x \in (-\infty, \infty)$ (множество всех действительных чисел).

г)

Заданы два числовых промежутка: $5 \le x < 7$ и $x > 4$. В виде интервалов это $[5, 7)$ и $(4, \infty)$. Объединение этих промежутков — это множество всех чисел, которые принадлежат хотя бы одному из них.

Изобразим их на числовой прямой. Первый промежуток $[5, 7)$ — это отрезок с закрашенной точкой в 5 и выколотой точкой в 7. Второй промежуток $(4, \infty)$ — это луч, идущий вправо от точки 4 (точка 4 выколота).

Заметим, что первый промежуток $[5, 7)$ полностью содержится во втором промежутке $(4, \infty)$, так как любое число $x$, удовлетворяющее условию $5 \le x < 7$, также удовлетворяет условию $x > 4$.

Когда один промежуток является подмножеством другого, их объединением является больший из них. В данном случае, объединение $[5, 7) \cup (4, \infty)$ есть $(4, \infty)$.

На числовой прямой это будет луч, начинающийся с выколотой точки 4 и заштрихованный вправо к плюс бесконечности.

Ответ: $x > 4$.