Номер 214, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

214 Найдите пересечение и объединение числовых лучей:

а) $x < 6$ и $x \ge 4$;

б) $x \ge 5$ и $x \le 1$.

а) Рассматриваются два числовых луча: $x < 6$ и $x \geq 4$.

Первый луч $x < 6$ соответствует интервалу $(-\infty, 6)$.

Второй луч $x \geq 4$ соответствует интервалу $[4, +\infty)$.

Пересечение числовых лучей

Пересечение — это множество всех чисел, которые принадлежат обоим лучам одновременно. Для этого необходимо, чтобы число $x$ удовлетворяло двум условиям: $x < 6$ и $x \geq 4$. Объединив эти условия, получаем двойное неравенство $4 \leq x < 6$.

В виде интервала это записывается как $[4, 6)$.

Таким образом, пересечение лучей: $(-\infty, 6) \cap [4, +\infty) = [4, 6)$.

Объединение числовых лучей

Объединение — это множество всех чисел, которые принадлежат хотя бы одному из лучей. То есть, число $x$ должно удовлетворять условию $x < 6$ или $x \geq 4$.

Если представить эти лучи на числовой прямой, то первый луч покрывает все числа левее 6, а второй — все числа правее 4, включая саму точку 4. Вместе они покрывают всю числовую прямую.

Следовательно, объединением является множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, что в интервальной записи выглядит как $(-\infty, +\infty)$.

Таким образом, объединение лучей: $(-\infty, 6) \cup [4, +\infty) = (-\infty, +\infty)$.

Ответ: пересечение: $[4, 6)$; объединение: $(-\infty, +\infty)$.

б) Рассматриваются два числовых луча: $x \geq 5$ и $x \leq 1$.

Первый луч $x \geq 5$ соответствует интервалу $[5, +\infty)$.

Второй луч $x \leq 1$ соответствует интервалу $(-\infty, 1]$.

Пересечение числовых лучей

Пересечение — это множество всех чисел, которые удовлетворяют одновременно обоим условиям: $x \geq 5$ и $x \leq 1$.

Не существует такого числа, которое было бы одновременно больше или равно 5 и меньше или равно 1. На числовой прямой эти два луча не имеют общих точек.

Поэтому их пересечение является пустым множеством, которое обозначается символом $\emptyset$.

Таким образом, пересечение лучей: $[5, +\infty) \cap (-\infty, 1] = \emptyset$.

Объединение числовых лучей

Объединение — это множество всех чисел, которые принадлежат хотя бы одному из лучей, то есть $x \geq 5$ или $x \leq 1$.

Поскольку лучи не пересекаются, их объединение будет состоять из двух непересекающихся интервалов.

В интервальной записи это объединение записывается как $(-\infty, 1] \cup [5, +\infty)$.

Таким образом, объединение лучей: $(-\infty, 1] \cup [5, +\infty)$.

Ответ: пересечение: $\emptyset$; объединение: $(-\infty, 1] \cup [5, +\infty)$.