Номер 215, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

215 Известно, что $x \in [1; 4]$ и $x \in (2; 5)$. Истинны ли утверждения:

а) $x \in (2; 4];$

б) $3 \le x \le 4;$

в) $x \in (-5; 8);$

г) $x > 2?$

По условию задачи, переменная $x$ одновременно удовлетворяет двум условиям: $x \in [1; 4]$ и $x \in (2; 5)$. Это означает, что $x$ принадлежит пересечению этих двух множеств.

Первое условие $x \in [1; 4]$ можно записать в виде двойного неравенства: $1 \le x \le 4$.

Второе условие $x \in (2; 5)$ можно записать в виде двойного неравенства: $2 < x < 5$.

Чтобы найти пересечение этих множеств, необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Запишем это в виде системы:

$\left\{ \begin{array}{l} 1 \le x \le 4 \\ 2 < x < 5 \end{array} \right.$

На числовой прямой это соответствует общей области для двух интервалов. Левая граница пересечения будет наибольшей из левых границ ($1$ и $2$), то есть $2$. Правая граница будет наименьшей из правых границ ($4$ и $5$), то есть $4$.

Поскольку $x > 2$ (строгое неравенство), левая граница не включается. Поскольку $x \le 4$ (нестрогое неравенство), правая граница включается.

Таким образом, пересечением является полуинтервал $(2; 4]$, что можно записать в виде неравенства $2 < x \le 4$.

Теперь проверим истинность каждого утверждения, исходя из того, что $x \in (2; 4]$.

а) $x \in (2; 4]$

Это утверждение в точности совпадает с найденным пересечением множеств. Следовательно, если $x$ удовлетворяет исходным условиям, то он обязательно принадлежит множеству $(2; 4]$. Утверждение истинно.

Ответ: истинно.

б) $3 \le x \le 4$

Это утверждение означает, что $x$ принадлежит отрезку $[3; 4]$. Мы знаем, что $x \in (2; 4]$. Верно ли, что любое число из $(2; 4]$ также принадлежит $[3; 4]$? Нет, это неверно. Например, можно взять значение $x=2.5$. Это значение принадлежит интервалу $(2; 4]$, но не принадлежит отрезку $[3; 4]$, так как $2.5 < 3$. Поскольку утверждение не выполняется для всех возможных значений $x$, оно является ложным.

Ответ: ложно.

в) $x \in (-5; 8)$

Это утверждение означает, что $x$ принадлежит интервалу $(-5; 8)$. Мы знаем, что $x \in (2; 4]$. Нужно проверить, является ли множество $(2; 4]$ подмножеством множества $(-5; 8)$. Поскольку левая граница $2 > -5$ и правая граница $4 < 8$, то любое число из полуинтервала $(2; 4]$ также будет находиться и в интервале $(-5; 8)$. Следовательно, утверждение истинно.

Ответ: истинно.

г) $x > 2$

Это утверждение является неравенством. Мы знаем, что $x \in (2; 4]$, что в виде неравенства записывается как $2 < x \le 4$. Из этого двойного неравенства напрямую следует, что $x > 2$. Следовательно, утверждение истинно.

Ответ: истинно.