Номер 216, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

216 Решая систему двух неравенств относительно переменной $x$, школьник получил отдельно решения обоих неравенств: $x \ge 3$ и $x \le 7$. Укажите промежуток, который является решением системы, и изобразите его на числовой прямой.

По условию задачи, мы имеем систему двух неравенств, решения которых уже найдены:

$ \begin{cases} x \ge 3 \\ x \le 7 \end{cases} $

Решением системы неравенств является множество значений переменной $x$, которые удовлетворяют каждому неравенству системы одновременно. Это означает, что нам нужно найти пересечение (общую часть) множеств решений обоих неравенств.

Первое неравенство, $x \ge 3$, задает числовой промежуток, включающий все числа, которые больше или равны 3. В виде интервала это записывается как $[3; +\infty)$.

Второе неравенство, $x \le 7$, задает числовой промежуток, включающий все числа, которые меньше или равны 7. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 7]$.

Чтобы найти решение системы, найдем пересечение этих двух промежутков: $[3; +\infty) \cap (-\infty; 7]$. Пересечением являются все числа, которые одновременно принадлежат и первому, и второму промежутку. Таким образом, искомый промежуток — это все числа от 3 до 7, включая концы.

В виде двойного неравенства это записывается как $3 \le x \le 7$.

В виде числового промежутка (отрезка) это $[3; 7]$.

Изобразим полученный промежуток на числовой прямой. Отмечаем точки 3 и 7. Так как неравенства нестрогие (знаки $\ge$ и $\le$), точки 3 и 7 включаются в решение, и на прямой мы их обозначаем закрашенными (сплошными) кружками. Решением является заштрихованная область между этими точками.

Ответ: Решением системы является промежуток $[3; 7]$.