Номер 213, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

213 Найдите пересечение и объединение числовых промежутков:

а) $[4; 7]$ и $(0; 6)$;

б) $(-5; 2)$ и $(3; 7)$;

в) $[-4; 1]$ и $(-2; 5)$.

г) $(-\infty; 7]$ и $[5; +\infty)$.

а) Даны промежутки $[4; 7]$ и $(0; 6)$.

Пересечением двух числовых промежутков является множество, содержащее все числа, которые принадлежат обоим этим промежуткам. Для нахождения пересечения $[4; 7] \cap (0; 6)$ нужно найти общую часть. Промежуток $[4; 7]$ — это все числа $x$, такие что $4 \le x \le 7$. Промежуток $(0; 6)$ — это все числа $x$, такие что $0 < x < 6$. Числа, удовлетворяющие обоим условиям, должны быть одновременно больше или равны 4 и строго меньше 6. Таким образом, пересечением является промежуток $[4; 6)$.

Объединением двух числовых промежутков является множество, содержащее все числа, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков. Для нахождения объединения $[4; 7] \cup (0; 6)$ нужно взять все числа из обоих промежутков. Объединив промежутки, мы получим все числа от 0 (не включая) до 7 (включительно). Таким образом, объединением является промежуток $(0; 7]$.

Ответ: пересечение $[4; 6)$; объединение $(0; 7]$.

б) Даны промежутки $(-5; 2)$ и $(3; 7)$.

Найдем пересечение $(-5; 2) \cap (3; 7)$. Промежуток $(-5; 2)$ — это все числа $x$, такие что $-5 < x < 2$. Промежуток $(3; 7)$ — это все числа $x$, такие что $3 < x < 7$. Эти два промежутка не имеют общих точек, так как любое число из первого промежутка меньше 2, а любое число из второго промежутка больше 3. Следовательно, их пересечение является пустым множеством.

Найдем объединение $(-5; 2) \cup (3; 7)$. Так как промежутки не пересекаются, их объединение состоит из двух отдельных промежутков. Записать его в виде одного непрерывного промежутка нельзя.

Ответ: пересечение $\emptyset$; объединение $(-5; 2) \cup (3; 7)$.

в) Даны промежутки $[-4; 1]$ и $(-2; 5)$.

Найдем пересечение $[-4; 1] \cap (-2; 5)$. Промежуток $[-4; 1]$ — это все числа $x$, такие что $-4 \le x \le 1$. Промежуток $(-2; 5)$ — это все числа $x$, такие что $-2 < x < 5$. Общие числа для этих промежутков должны быть строго больше -2 и меньше или равны 1. Таким образом, пересечением является промежуток $(-2; 1]$.

Найдем объединение $[-4; 1] \cup (-2; 5)$. Объединив эти промежутки, мы получим все числа от -4 (включительно) до 5 (не включая). Таким образом, объединением является промежуток $[-4; 5)$.

Ответ: пересечение $(-2; 1]$; объединение $[-4; 5)$.

г) Даны промежутки $(-\infty; 7]$ и $[5; +\infty)$.

Найдем пересечение $(-\infty; 7] \cap [5; +\infty)$. Промежуток $(-\infty; 7]$ — это все числа $x$, такие что $x \le 7$. Промежуток $[5; +\infty)$ — это все числа $x$, такие что $x \ge 5$. Общие числа для этих промежутков должны удовлетворять двойному неравенству $5 \le x \le 7$. Таким образом, пересечением является промежуток $[5; 7]$.

Найдем объединение $(-\infty; 7] \cup [5; +\infty)$. Объединение этих двух промежутков включает все числа, которые меньше или равны 7, и все числа, которые больше или равны 5. Вместе они покрывают всю числовую ось. Любое действительное число принадлежит хотя бы одному из этих промежутков. Таким образом, объединением является множество всех действительных чисел, или $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: пересечение $[5; 7]$; объединение $(-\infty; +\infty)$.