Номер 4, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

4 Каким множеством может быть пересечение двух числовых лучей?

Пересечением двух числовых лучей является множество всех чисел, которые принадлежат обоим лучам одновременно. Чтобы найти все возможные варианты для такого множества, рассмотрим различные случаи взаимного расположения лучей на числовой прямой. В зависимости от их направления и расположения начальных точек, возможны следующие варианты:

Числовой луч

Если оба луча направлены в одну сторону (сонаправлены), их пересечением всегда будет числовой луч. Этот результирующий луч будет начинаться в той из двух начальных точек, которая "ограничивает" множество сильнее.
Например: пересечение лучей $[2, +\infty)$ и $[5, +\infty)$ — это луч $[5, +\infty)$, так как все числа, большие или равные 5, также больше или равны 2.
Математически, для лучей $L_1$, идущего вправо от $a$, и $L_2$, идущего вправо от $b$, их пересечение есть луч, идущий вправо от $\max(a, b)$. Для лучей, идущих влево от $a$ и $b$, пересечение — луч, идущий влево от $\min(a, b)$.

Отрезок, интервал или полуинтервал

Если лучи направлены в противоположные стороны и имеют общую часть (перекрываются), их пересечением будет числовой промежуток конечной длины. Это происходит, когда начальная точка "правого" луча (например, $[a, +\infty)$) лежит левее начальной точки "левого" луча (например, $(-\infty, b]$), то есть $a < b$.
В зависимости от того, включены ли концы в лучи, результат может быть:
• Отрезок: $[a, +\infty) \cap (-\infty, b] = [a, b]$.
• Интервал: $(a, +\infty) \cap (-\infty, b) = (a, b)$.
• Полуинтервал: $[a, +\infty) \cap (-\infty, b) = [a, b)$.

Точка

Пересечение может состоять из одного-единственного числа (точки). Это случается, когда лучи направлены в противоположные стороны, их начальные точки совпадают, и обе эти точки принадлежат своим лучам (то есть оба луча замкнутые).
Например: пересечение лучей $[3, +\infty)$ и $(-\infty, 3]$ есть множество $\{3\}$, состоящее из одной точки $x=3$, так как это единственное число, удовлетворяющее обоим условиям $x \ge 3$ и $x \le 3$.

Пустое множество

Если у лучей нет ни одной общей точки, их пересечение является пустым множеством ($\emptyset$). Такая ситуация возникает в двух основных случаях:
1. Лучи направлены в противоположные стороны и не перекрываются. Это происходит, когда начальная точка "правого" луча лежит правее начальной точки "левого" луча (например, $[10, +\infty)$ и $(-\infty, 1]$, здесь $10>1$).
2. Лучи направлены в противоположные стороны, их начальные точки совпадают, но хотя бы один из лучей является открытым (не включает свою начальную точку). Например, пересечение $(3, +\infty)$ и $(-\infty, 3]$ пусто, так как не существует числа $x$, для которого одновременно выполнялось бы $x > 3$ и $x \le 3$.

Ответ: Пересечением двух числовых лучей может быть: числовой луч; отрезок, интервал или полуинтервал; точка; пустое множество.