Страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Падение сосульки с крыши на голову пешехода — событие маловероятное. Что нужно делать для того, чтобы эту вероятность ещё уменьшить?

Событие, при котором сосулька падает с крыши на голову пешехода, является сложным. Оно происходит только при одновременном выполнении нескольких условий:

• На крыше должна образоваться и вырасти до опасных размеров сосулька.
• Сосулька должна оторваться от крыши и начать падать.
• Пешеход должен оказаться в точке падения сосульки именно в тот момент, когда она падает.

Вероятность сложного события, состоящего из нескольких независимых событий, равна произведению их вероятностей. Если обозначить вероятность образования сосульки как $P_{обр}$, вероятность её падения в данный момент как $P_{пад}$ и вероятность нахождения пешехода в опасной точке как $P_{пеш}$, то общая вероятность несчастного случая $P_{итог}$ будет равна их произведению:

$P_{итог} = P_{обр} \times P_{пад} \times P_{пеш}$

Чтобы уменьшить итоговую вероятность $P_{итог}$, необходимо уменьшить вероятность хотя бы одного из этих событий-множителей. Чем меньше вероятность каждого из составляющих событий, тем меньше будет и общая вероятность. Для этого можно предпринять следующие меры.

Меры, направленные на предотвращение образования сосулек

Это наиболее эффективный подход, так как он устраняет первопричину опасности. Если сосулек нет ($P_{обр} \rightarrow 0$), то и падать нечему.

• Своевременная уборка снега с крыш: Отсутствие снега лишает сосульки «строительного материала» — талой воды.
• Качественная теплоизоляция кровли: Если чердак хорошо утеплен, тепло из здания не будет подогревать крышу, и снег на ней не будет таять, превращаясь в лёд на карнизах.
• Монтаж систем антиобледенения: Установка специальных греющих кабелей по краям крыш и в водостоках растапливает лед и снег, предотвращая их накопление и образование сосулек.

Меры, направленные на устранение уже существующих угроз

Эти меры снижают вероятность того, что уже существующая сосулька упадет на пешехода, либо нейтрализуют её падение.

• Регулярное сбивание сосулек: Работники коммунальных служб или промышленные альпинисты должны своевременно удалять опасные ледяные наросты с крыш.
• Установка защитных конструкций: Специальные козырьки или прочные сетки над тротуарами могут улавливать падающие сосульки, не давая им достичь земли.

Меры, направленные на защиту пешеходов

Эти действия направлены на то, чтобы пешеходы не оказывались в опасной зоне ($P_{пеш} \rightarrow 0$).

• Ограждение опасных участков: Территорию под крышами, где возможно падение сосулек, следует огораживать сигнальной лентой.
• Установка предупреждающих знаков: Таблички с надписями «Осторожно, сосульки!» привлекают внимание и заставляют людей быть более осторожными.
• Повышение бдительности самих пешеходов: В зимнее и весеннее время, особенно в периоды оттепели, следует избегать ходьбы вплотную к зданиям и обращать внимание на состояние крыш.

Применение любого из этих методов, а в особенности их комплекса, значительно снижает вероятность трагического случая.

Ответ: Чтобы уменьшить вероятность падения сосульки на голову пешехода, необходимо: со стороны коммунальных служб и владельцев зданий – своевременно очищать крыши от снега и льда, улучшать теплоизоляцию кровель, устанавливать системы антиобледенения и ограждать опасные зоны; со стороны пешеходов – быть внимательными, не ходить близко к стенам домов в опасный период и обращать внимание на предупреждающие знаки.

2 В каких случаях не следует доверяться правилу: «В однократном опыте маловероятное событие не происходит»?

Правило «В однократном опыте маловероятное событие не происходит», известное также как принцип практической невозможности, является полезной эвристикой, но не абсолютным законом. Ему не следует доверяться в ряде ключевых ситуаций, когда последствия такого доверия могут быть серьезными. Рассмотрим эти случаи подробнее.

1. Высокая цена (тяжесть последствий) наступления события

Это самый важный случай, когда правило неприменимо. Если наступление маловероятного события ведет к катастрофическим последствиям (гибель людей, огромные финансовые потери, экологическая катастрофа), то игнорировать его нельзя, какой бы малой ни была его вероятность.

• Пример из техники: Вероятность серьезной аварии на атомной электростанции крайне мала. Однако, поскольку последствия такой аварии (радиоактивное заражение, человеческие жертвы) чудовищны, инженеры тратят огромные ресурсы на создание многоуровневых систем безопасности, чтобы минимизировать эту и без того низкую вероятность. Полагаться на то, что событие «просто не произойдет», было бы преступной халатностью.
• Пример из медицины: Вероятность тяжелой анафилактической реакции на прививку очень низка (порядка одного случая на миллион). Тем не менее, в каждом прививочном кабинете есть средства для оказания экстренной помощи, так как цена этого события — жизнь человека.

В таких ситуациях анализ рисков должен учитывать не только вероятность события, но и тяжесть его последствий. Риск часто оценивается как произведение вероятности на ущерб. Даже при малой вероятности, огромный ущерб дает значительный риск, который необходимо контролировать.

Ответ: Правилу нельзя доверять, если маловероятное событие имеет чрезвычайно серьезные или катастрофические последствия.

2. Большое количество однократных опытов

Правило говорит об однократном опыте. Если же проводится большая серия независимых опытов (испытаний), то маловероятное событие с большой вероятностью произойдет хотя бы один раз.

Пусть вероятность события $A$ в одном опыте равна $p$, где $p$ — очень малое число. Тогда вероятность того, что это событие не произойдет, равна $1-p$. Если проводится $n$ независимых опытов, то вероятность того, что событие $A$ не произойдет ни разу, составляет $(1-p)^n$. Соответственно, вероятность того, что оно произойдет хотя бы один раз, равна: $P(\text{хотя бы один раз}) = 1 - (1-p)^n$

При большом $n$ это значение может стать близким к 1. Например, если $p = 0.001$, то в одном опыте событие маловероятно. Но если провести $n=5000$ опытов, то вероятность его наступления хотя бы раз будет: $1 - (1-0.001)^{5000} = 1 - (0.999)^{5000} \approx 1 - 0.0067 \approx 0.9933$ То есть, событие становится практически достоверным.

• Пример с лотереей: Шанс одного человека выиграть в национальную лотерею ничтожно мал. Но поскольку билеты покупают миллионы людей (проводится миллион «опытов»), почти наверняка кто-то выиграет.
• Пример с контролем качества: Вероятность брака для одного изделия может быть очень низкой, например, $p=0.0001$. Но на заводе, выпускающем миллионы изделий в год, это означает сотни бракованных единиц, которые необходимо выявлять и отсеивать.

Ответ: Правилу нельзя доверять, когда речь идет не об одном-единственном опыте, а о большой серии испытаний, так как совокупная вероятность наступления события становится высокой.

3. Неопределенность порога «малой вероятности» и специфические цели

Понятие «маловероятное событие» является субъективным и зависит от контекста. То, что маловероятно для одной задачи, может быть приемлемым или даже желательным в другой.

• Научные исследования: В физике элементарных частиц ученые могут искать события, теоретическая вероятность которых ничтожна. Отбрасывать такие события как «невозможные» означало бы отказаться от самого поиска новых явлений.
• Криптография и безопасность: Вероятность взлома современной криптографической системы путем простого перебора ключей крайне мала, но она не равна нулю. Злоумышленник, обладающий огромными вычислительными ресурсами, может рассматривать эту малую вероятность как свой шанс. Поэтому надежность систем постоянно повышают, не полагаясь на «практическую невозможность» взлома.

Таким образом, правило нельзя применять механически, не определив, какой уровень вероятности является приемлемо низким для конкретной цели и контекста.

Ответ: Правилу нельзя доверять в ситуациях, где нет четко определенного и обоснованного порога для «малой вероятности», или когда сама цель заключается в фиксации этого редкого события.

3 Приведите несколько примеров маловероятных событий из жизни.

Выигрыш главного приза в лотерею

Маловероятность этого события обусловлена огромным количеством возможных комбинаций чисел, из которых нужно угадать лишь одну. Например, в популярной лотерее, где нужно угадать 6 номеров из 45, общее число всех возможных комбинаций рассчитывается по формуле сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Для данной лотереи $n=45$ и $k=6$, тогда число комбинаций равно $C_{45}^6 = \frac{45!}{6!(45-6)!} = 8\ 145\ 060$. Таким образом, вероятность выигрыша с одним билетом составляет $P = \frac{1}{8\ 145\ 060}$.

Ответ: Вероятность угадать выигрышную комбинацию, купив один билет в лотерею «6 из 45», составляет $1$ к $8\ 145\ 060$, что делает это событие крайне маловероятным.

Попадание молнии в человека

Хотя удары молнии происходят постоянно во время гроз, вероятность того, что молния попадет в конкретного человека, очень мала. Это связано с огромной площадью поверхности Земли по сравнению с площадью, занимаемой человеком, а также с тем, что большинство людей во время грозы находятся в укрытии. По статистике, шансы быть пораженным молнией в течение жизни (около 80 лет) оцениваются примерно как $1$ к $15\ 000$, а в течение одного конкретного года — еще ниже.

Ответ: Попадание молнии в человека является маловероятным событием, хотя его вероятность выше, чем выигрыш в лотерею, и сильно зависит от поведения человека во время грозы и его географического положения.

Падение метеорита на жилой дом

Ежедневно в атмосферу Земли входит множество мелких метеороидов, но большинство из них сгорает, не достигнув поверхности. Крупные метеориты, способные нанести ущерб, падают значительно реже. Учитывая, что более $70\%$ поверхности планеты покрыто водой, а большая часть суши не заселена, вероятность падения метеорита именно на конкретный населенный пункт или дом исчезающе мала. События, подобные падению Челябинского метеорита, происходят раз в несколько десятилетий, и даже в этом случае прямой ущерб зданиям был нанесен ударной волной, а не прямыми попаданиями крупных фрагментов.

Ответ: Прямое попадание метеорита, достаточно крупного для нанесения повреждений, в конкретное здание — это пример чрезвычайно маловероятного события, которое в масштабах человеческой истории происходит крайне редко.

Получение комбинации «Флеш-рояль» в покере

В карточных играх, таких как покер, существуют очень редкие и ценные комбинации. Флеш-рояль (пять старших карт одной масти: туз, король, дама, валет, десять) — самая сильная и самая редкая комбинация. Вероятность получить ее при первой раздаче пяти карт из стандартной колоды в 52 листа можно рассчитать точно. Общее число пятикарточных комбинаций составляет $C_{52}^5 = 2\ 598\ 960$. Существует всего 4 возможных флеш-рояля (по одному на каждую масть).

Ответ: Вероятность собрать флеш-рояль при раздаче пяти карт составляет $P = \frac{4}{2\ 598\ 960} \approx \frac{1}{649\ 740}$. Это делает данное событие в покере маловероятным.

4 В фантастической повести Аркадия и Бориса Стругацких «Понедельник начинается в субботу» есть эпизод, когда герои сначала находят умершего попугая, на лапке у которого кольцо с номером 190 573. На следующий день они видят такого же больного попугая с этим же номером, который умирает на их глазах. Ещё через день к ним в лабораторию влетает весёлый и здоровый попугай с таким же номером на лапке. Герой повести Александр Привалов рассуждает следующим образом.

Всё происходящее, рассуждал я, по-настоящему удивительно, только если считать, что эти три или четыре попугая — один и тот же попугай. Они действительно так похожи друг на друга, что вначале я был введён в заблуждение. Это естественно. Я математик, я уважаю числа, и совпадение номеров — в особенности шестизначных — для меня автоматически ассоциируется с совпадением пронумерованных предметов.

Объясните своими словами, что имеют в виду авторы в последнем предложении, говоря от имени Привалова о совпадении номеров и предметов.

В последнем предложении герой-математик Александр Привалов излагает свою логику, основанную на принципах теории вероятностей и здравого смысла. Суть его рассуждения заключается в следующем:

Системы нумерации (серийные номера, инвентарные номера, номера документов) создаются для того, чтобы однозначно идентифицировать объекты. Каждому предмету присваивается уникальный номер, чтобы его можно было отличить от всех остальных, даже если внешне они абсолютно одинаковы. Это фундаментальный принцип учёта и порядка, который уважает любой человек с математическим складом ума.

Привалов обращает внимание на то, что номер на кольце попугая — шестизначный. Количество возможных шестизначных номеров огромно. Если считать числа от 100 000 до 999 999, то всего существует $900 \ 000$ вариантов. Вероятность того, что двум или трем разным попугаям случайно достался бы один и тот же номер из такого большого множества, пренебрежимо мала. С точки зрения математики, такое совпадение практически невозможно.

Следовательно, для Привалова гораздо более вероятным, несмотря на всю фантастичность ситуации, является предположение, что предмет (попугай) с этим номером — один и тот же. Его математическое мышление заставляет его отбросить гипотезу о нескольких разных, но очень похожих попугаях с одинаковыми номерами как статистически абсурдную. Таким образом, совпадение уникальных номеров для него является неопровержимым доказательством того, что он видит один и тот же объект. Именно это и заставляет его признать, что происходящее — не череда случайных совпадений, а нечто действительно удивительное и выходящее за рамки привычной реальности.

Ответ: Говоря о совпадении номеров и предметов, Привалов имеет в виду, что уникальный многозначный номер служит надежным идентификатором объекта. Вероятность случайного совпадения таких номеров у разных объектов ничтожно мала, поэтому совпадение номеров с практически стопроцентной уверенностью означает, что это один и тот же предмет. Это логическое заключение заставляет его поверить в фантастическую природу событий, а не в невероятное совпадение.

5 Подумайте, зачем в алгоритме защиты банковской карты умножать цифры на нечётных местах на 2 перед тем, как складывать цифры. Почему берут остаток от деления на 9, а не на 10?

Этот вопрос касается алгоритма Луна — простой формулы для проверки контрольной суммы, которая используется для валидации номеров банковских карт и других идентификаторов. Алгоритм предназначен для защиты от случайных ошибок ввода, а не для криптографической защиты.

зачем в алгоритме защиты банковской карты умножать цифры на нечётных местах на 2 перед тем, как складывать цифры.

Умножение цифр в нечётных позициях (считая слева направо) на 2 является центральным элементом алгоритма Луна. Эта, на первый взгляд, простая операция в сочетании с другими шагами алгоритма позволяет эффективно выявлять наиболее распространённые ошибки, которые могут возникнуть при ручном вводе номера карты:

• Обнаружение ошибки в одной цифре. Если при вводе номера одна цифра будет указана неверно (например, 5 вместо 6), то итоговая контрольная сумма изменится и почти наверняка перестанет быть кратной 10. Это позволит системе сразу же определить, что номер введён с ошибкой.
• Обнаружение перестановки соседних цифр. Это ещё одна частая опечатка (например, ввод 45 вместо 54). Поскольку в алгоритме цифры на чётных и нечётных позициях обрабатываются по-разному (одни удваиваются, другие — нет), перестановка соседних цифр почти всегда приводит к изменению итоговой суммы. Алгоритм улавливает все такие перестановки, за исключением `09 ↔ 90`.

Таким образом, умножение на 2 — это не случайное действие, а ключевой механизм, который делает контрольную сумму чувствительной к типичным ошибкам ввода, обеспечивая первичную проверку корректности номера без обращения к базе данных банка.

Ответ: Умножение цифр на 2 является ключевым шагом в алгоритме Луна, который используется для проверки правильности номера карты. Эта операция позволяет эффективно обнаруживать наиболее частые ошибки при вводе, такие как неправильная одна цифра или перестановка двух соседних цифр, тем самым повышая надёжность данных.

Почему берут остаток от деления на 9, а не на 10?

В этом вопросе содержится распространённое заблуждение. На самом деле, финальная проверка в алгоритме Луна основана именно на делимости на 10. Чтобы номер карты считался действительным, сумма всех цифр, полученная по правилам алгоритма, должна быть кратна 10. То есть остаток от её деления на 10 должен быть равен нулю:

$Сумма_{\text{итоговая}} \pmod{10} = 0$

Путаница с делением на 9 возникает из-за одного из промежуточных шагов алгоритма. Если при умножении цифры `d` на 2 получается двузначное число (например, $d=8$, $2 \times 8 = 16$), то это число заменяется суммой его цифр ($1+6=7$).

Это действие "взять сумму цифр" имеет прямую математическую связь с делением на 9. Согласно свойству цифрового корня, любое целое число даёт такой же остаток при делении на 9, что и сумма его цифр. Например:

$16 \pmod{9} = 7$ и сумма цифр числа 16 также равна $1+6=7$.

Таким образом, этот шаг алгоритма математически эквивалентен операции по модулю 9 (или, что ещё проще для двузначных чисел от 10 до 18, вычитанию 9). Однако его цель в алгоритме — не проверка по модулю 9, а всего лишь приведение результата удвоения обратно к одной цифре для удобства последующего суммирования.

Финальная же проверка по модулю 10 выбрана потому, что мы работаем в десятичной системе счисления. Это позволяет очень просто вычислить последнюю, контрольную, цифру номера карты: она должна дополнять сумму всех предыдущих цифр до ближайшего числа, кратного 10.

Ответ: В алгоритме Луна для финальной проверки используется деление именно на 10, а не на 9. Итоговая сумма должна быть кратна 10. Упоминание деления на 9 связано с неверной интерпретацией промежуточного шага: когда результат удвоения цифры становится двузначным, его заменяют суммой его цифр, что математически эквивалентно операции по модулю 9.

186 Обычную симметричную монету, у которой на одной стороне изображён орёл, а другая сторона — решка, бросили шесть раз. Все шесть раз эта монета выпадала орлом. Какое утверждение или какие из утверждений верны?

а) В следующий раз более вероятно, что выпадет орёл, чем решка.

б) В следующий раз более вероятно, что выпадет решка.

в) В следующий раз орёл и решка могут выпасть с равными шансами.

г) Седьмой раз подряд орёл выпасть не может.

д) При седьмом броске тоже выпадет орёл.

Эта задача проверяет понимание концепции независимых событий в теории вероятностей. Каждый бросок симметричной монеты является независимым событием. Это означает, что результат предыдущих бросков никак не влияет на результат следующего. Монета не "помнит" прошлые исходы.

Для симметричной монеты вероятность выпадения орла (О) и вероятность выпадения решки (Р) всегда одинаковы и равны $1/2$.
$P(О) = 1/2$
$P(Р) = 1/2$
Этот факт остается верным для каждого броска, независимо от того, сколько раз до этого выпадал орёл или решка.

Проанализируем каждое утверждение:

а) В следующий раз более вероятно, что выпадет орёл, чем решка.
Это утверждение неверно. Вероятность выпадения орла при седьмом броске точно такая же, как и вероятность выпадения решки, и составляет $1/2$. Предыдущая серия орлов не увеличивает вероятность выпадения еще одного орла.
Ответ: Утверждение неверно.

б) В следующий раз более вероятно, что выпадет решка.
Это утверждение является классическим примером "ошибки игрока" — заблуждения, что после долгой серии одного исхода должен с большей вероятностью наступить противоположный. На самом деле, вероятность выпадения решки при седьмом броске по-прежнему равна $1/2$, так же как и для орла.
Ответ: Утверждение неверно.

в) В следующий раз орёл и решка могут выпасть с равными шансами.
Это утверждение абсолютно верно. Так как каждый бросок — независимое событие, а монета симметрична, шансы на выпадение орла и решки равны. Вероятность каждого из исходов составляет $1/2$.
Ответ: Утверждение верно.

г) Седьмой раз подряд орёл выпасть не может.
Это утверждение неверно. Хотя вероятность получить семь орлов подряд с самого начала мала ($ (1/2)^7 = 1/128 $), это событие не является невозможным. Учитывая, что шесть орлов уже выпали, вероятность того, что и седьмой бросок будет орлом, равна $1/2$.
Ответ: Утверждение неверно.

д) При седьмом броске тоже выпадет орёл.
Это утверждение неверно, так как оно заявляет об исходе случайного события с полной уверенностью. Мы не можем предсказать результат. Вероятность выпадения орла равна $1/2$, а не $1$. С точно такой же вероятностью может выпасть решка.
Ответ: Утверждение неверно.