Номер 2, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

2 В каких случаях не следует доверяться правилу: «В однократном опыте маловероятное событие не происходит»?

Правило «В однократном опыте маловероятное событие не происходит», известное также как принцип практической невозможности, является полезной эвристикой, но не абсолютным законом. Ему не следует доверяться в ряде ключевых ситуаций, когда последствия такого доверия могут быть серьезными. Рассмотрим эти случаи подробнее.

1. Высокая цена (тяжесть последствий) наступления события

Это самый важный случай, когда правило неприменимо. Если наступление маловероятного события ведет к катастрофическим последствиям (гибель людей, огромные финансовые потери, экологическая катастрофа), то игнорировать его нельзя, какой бы малой ни была его вероятность.

• Пример из техники: Вероятность серьезной аварии на атомной электростанции крайне мала. Однако, поскольку последствия такой аварии (радиоактивное заражение, человеческие жертвы) чудовищны, инженеры тратят огромные ресурсы на создание многоуровневых систем безопасности, чтобы минимизировать эту и без того низкую вероятность. Полагаться на то, что событие «просто не произойдет», было бы преступной халатностью.
• Пример из медицины: Вероятность тяжелой анафилактической реакции на прививку очень низка (порядка одного случая на миллион). Тем не менее, в каждом прививочном кабинете есть средства для оказания экстренной помощи, так как цена этого события — жизнь человека.

В таких ситуациях анализ рисков должен учитывать не только вероятность события, но и тяжесть его последствий. Риск часто оценивается как произведение вероятности на ущерб. Даже при малой вероятности, огромный ущерб дает значительный риск, который необходимо контролировать.

Ответ: Правилу нельзя доверять, если маловероятное событие имеет чрезвычайно серьезные или катастрофические последствия.

2. Большое количество однократных опытов

Правило говорит об однократном опыте. Если же проводится большая серия независимых опытов (испытаний), то маловероятное событие с большой вероятностью произойдет хотя бы один раз.

Пусть вероятность события $A$ в одном опыте равна $p$, где $p$ — очень малое число. Тогда вероятность того, что это событие не произойдет, равна $1-p$. Если проводится $n$ независимых опытов, то вероятность того, что событие $A$ не произойдет ни разу, составляет $(1-p)^n$. Соответственно, вероятность того, что оно произойдет хотя бы один раз, равна: $P(\text{хотя бы один раз}) = 1 - (1-p)^n$

При большом $n$ это значение может стать близким к 1. Например, если $p = 0.001$, то в одном опыте событие маловероятно. Но если провести $n=5000$ опытов, то вероятность его наступления хотя бы раз будет: $1 - (1-0.001)^{5000} = 1 - (0.999)^{5000} \approx 1 - 0.0067 \approx 0.9933$ То есть, событие становится практически достоверным.

• Пример с лотереей: Шанс одного человека выиграть в национальную лотерею ничтожно мал. Но поскольку билеты покупают миллионы людей (проводится миллион «опытов»), почти наверняка кто-то выиграет.
• Пример с контролем качества: Вероятность брака для одного изделия может быть очень низкой, например, $p=0.0001$. Но на заводе, выпускающем миллионы изделий в год, это означает сотни бракованных единиц, которые необходимо выявлять и отсеивать.

Ответ: Правилу нельзя доверять, когда речь идет не об одном-единственном опыте, а о большой серии испытаний, так как совокупная вероятность наступления события становится высокой.

3. Неопределенность порога «малой вероятности» и специфические цели

Понятие «маловероятное событие» является субъективным и зависит от контекста. То, что маловероятно для одной задачи, может быть приемлемым или даже желательным в другой.

• Научные исследования: В физике элементарных частиц ученые могут искать события, теоретическая вероятность которых ничтожна. Отбрасывать такие события как «невозможные» означало бы отказаться от самого поиска новых явлений.
• Криптография и безопасность: Вероятность взлома современной криптографической системы путем простого перебора ключей крайне мала, но она не равна нулю. Злоумышленник, обладающий огромными вычислительными ресурсами, может рассматривать эту малую вероятность как свой шанс. Поэтому надежность систем постоянно повышают, не полагаясь на «практическую невозможность» взлома.

Таким образом, правило нельзя применять механически, не определив, какой уровень вероятности является приемлемо низким для конкретной цели и контекста.

Ответ: Правилу нельзя доверять в ситуациях, где нет четко определенного и обоснованного порога для «малой вероятности», или когда сама цель заключается в фиксации этого редкого события.