Номер 5, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

5 Подумайте, зачем в алгоритме защиты банковской карты умножать цифры на нечётных местах на 2 перед тем, как складывать цифры. Почему берут остаток от деления на 9, а не на 10?

Этот вопрос касается алгоритма Луна — простой формулы для проверки контрольной суммы, которая используется для валидации номеров банковских карт и других идентификаторов. Алгоритм предназначен для защиты от случайных ошибок ввода, а не для криптографической защиты.

зачем в алгоритме защиты банковской карты умножать цифры на нечётных местах на 2 перед тем, как складывать цифры.

Умножение цифр в нечётных позициях (считая слева направо) на 2 является центральным элементом алгоритма Луна. Эта, на первый взгляд, простая операция в сочетании с другими шагами алгоритма позволяет эффективно выявлять наиболее распространённые ошибки, которые могут возникнуть при ручном вводе номера карты:

• Обнаружение ошибки в одной цифре. Если при вводе номера одна цифра будет указана неверно (например, 5 вместо 6), то итоговая контрольная сумма изменится и почти наверняка перестанет быть кратной 10. Это позволит системе сразу же определить, что номер введён с ошибкой.
• Обнаружение перестановки соседних цифр. Это ещё одна частая опечатка (например, ввод 45 вместо 54). Поскольку в алгоритме цифры на чётных и нечётных позициях обрабатываются по-разному (одни удваиваются, другие — нет), перестановка соседних цифр почти всегда приводит к изменению итоговой суммы. Алгоритм улавливает все такие перестановки, за исключением `09 ↔ 90`.

Таким образом, умножение на 2 — это не случайное действие, а ключевой механизм, который делает контрольную сумму чувствительной к типичным ошибкам ввода, обеспечивая первичную проверку корректности номера без обращения к базе данных банка.

Ответ: Умножение цифр на 2 является ключевым шагом в алгоритме Луна, который используется для проверки правильности номера карты. Эта операция позволяет эффективно обнаруживать наиболее частые ошибки при вводе, такие как неправильная одна цифра или перестановка двух соседних цифр, тем самым повышая надёжность данных.

Почему берут остаток от деления на 9, а не на 10?

В этом вопросе содержится распространённое заблуждение. На самом деле, финальная проверка в алгоритме Луна основана именно на делимости на 10. Чтобы номер карты считался действительным, сумма всех цифр, полученная по правилам алгоритма, должна быть кратна 10. То есть остаток от её деления на 10 должен быть равен нулю:

$Сумма_{\text{итоговая}} \pmod{10} = 0$

Путаница с делением на 9 возникает из-за одного из промежуточных шагов алгоритма. Если при умножении цифры `d` на 2 получается двузначное число (например, $d=8$, $2 \times 8 = 16$), то это число заменяется суммой его цифр ($1+6=7$).

Это действие "взять сумму цифр" имеет прямую математическую связь с делением на 9. Согласно свойству цифрового корня, любое целое число даёт такой же остаток при делении на 9, что и сумма его цифр. Например:

$16 \pmod{9} = 7$ и сумма цифр числа 16 также равна $1+6=7$.

Таким образом, этот шаг алгоритма математически эквивалентен операции по модулю 9 (или, что ещё проще для двузначных чисел от 10 до 18, вычитанию 9). Однако его цель в алгоритме — не проверка по модулю 9, а всего лишь приведение результата удвоения обратно к одной цифре для удобства последующего суммирования.

Финальная же проверка по модулю 10 выбрана потому, что мы работаем в десятичной системе счисления. Это позволяет очень просто вычислить последнюю, контрольную, цифру номера карты: она должна дополнять сумму всех предыдущих цифр до ближайшего числа, кратного 10.

Ответ: В алгоритме Луна для финальной проверки используется деление именно на 10, а не на 9. Итоговая сумма должна быть кратна 10. Упоминание деления на 9 связано с неверной интерпретацией промежуточного шага: когда результат удвоения цифры становится двузначным, его заменяют суммой его цифр, что математически эквивалентно операции по модулю 9.