Номер 3, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

3 Бывают ли в дереве петли; цепи; циклы?

Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к определению дерева в теории графов. Дерево — это связный неориентированный граф, не содержащий циклов (ациклический граф). Исходя из этого фундаментального определения, рассмотрим каждый пункт.

петли
Петля — это ребро, которое соединяет вершину саму с собой, например, ребро $(v, v)$ для вершины $v$. Такая структура является частным случаем цикла, а именно циклом длины 1. Поскольку по определению дерево является ациклическим графом (т.е. графом без циклов), оно не может содержать никаких циклов, включая петли.
Ответ: нет, в дереве не бывает петель.

цепи
Цепь (или путь) — это последовательность вершин, в которой каждая соседняя пара вершин соединена ребром. Например, $(v_1, v_2, \dots, v_k)$ является цепью, если для всех $i$ от 1 до $k-1$ существует ребро $(v_i, v_{i+1})$. По определению, дерево — это связный граф. Связность графа как раз и означает, что между любыми двумя его вершинами $u$ и $v$ существует по крайней мере одна цепь. Более того, в дереве между любыми двумя вершинами существует ровно одна простая цепь (цепь без повторяющихся вершин). Таким образом, цепи являются неотъемлемой частью структуры дерева.
Ответ: да, в дереве существуют цепи.

циклы
Цикл — это замкнутый путь, то есть цепь, у которой начальная и конечная вершины совпадают, например, $(v_1, v_2, \dots, v_k, v_1)$, где $k \ge 3$ для простого цикла в простом графе. Основное свойство дерева, заложенное в его определении, — это ацикличность. Это означает, что в дереве по определению не может быть циклов. Наличие хотя бы одного цикла в связном графе означало бы, что между некоторыми парами вершин на этом цикле существует как минимум два различных пути, что противоречит другому определению дерева (граф, в котором между любыми двумя вершинами существует ровно один путь).
Ответ: нет, в дереве не бывает циклов.