Номер 2, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

2 Может ли в дереве быть 4 ребра; бесконечно много рёбер?

4 ребра

Да, может. Дерево в теории графов — это связный ациклический граф. Для любого конечного дерева существует строгое соотношение между количеством вершин $V$ и количеством рёбер $E$:

$V = E + 1$

Если в дереве 4 ребра ($E = 4$), то оно должно иметь $V = 4 + 1 = 5$ вершин. Построить такое дерево очень просто. Например, это может быть граф-путь (цепочка из 5 вершин) или граф-звезда (одна центральная вершина, соединённая с четырьмя другими). Оба этих графа являются связными и не содержат циклов.

Ответ: да, может.

бесконечно много рёбер

Да, может. Стандартное определение дерева как связного ациклического графа не накладывает обязательного условия конечности числа вершин или рёбер. Можно построить граф с бесконечным числом вершин и рёбер, который будет удовлетворять определению дерева.

Примером такого дерева может служить бесконечный регулярный граф, где из каждой вершины выходит одинаковое количество рёбер (например, бесконечное двоичное дерево). Можно представить себе "корень", из которого выходят два ребра. Из концов этих рёбер (новых вершин) также выходят по два ребра, и этот процесс продолжается до бесконечности. Полученная структура будет связной (из любой вершины можно добраться до любой другой) и ациклической, но будет содержать бесконечное множество рёбер и вершин. Другой простой пример — бесконечная цепь (граф-путь), вершины которого можно занумеровать всеми целыми числами.

Ответ: да, может.