Номер 2, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

2 Является ли деревом граф дорог в вашем населённом пункте? Постройте в тетради часть этого графа в обоснование своего ответа.

Для ответа на этот вопрос, сначала определим, что такое "дерево" в теории графов. Граф является деревом, если он удовлетворяет двум условиям:
1. Он связный, то есть из любой его вершины можно добраться в любую другую.
2. Он не содержит циклов, то есть нет замкнутых путей, которые начинаются и заканчиваются в одной и той же вершине, проходя по разным ребрам.

Теперь рассмотрим граф дорог в населенном пункте. В таком графе вершинами являются перекрестки, а ребрами – участки дорог между ними.

Граф дорог в практически любом населенном пункте (городе, поселке) не является деревом. Хотя он, как правило, является связным (можно проехать от любой точки до любой другой), он почти всегда содержит циклы.

Циклы в дорожной сети — это обычное явление. Например, любой городской квартал, образованный пересекающимися улицами, представляет собой цикл в графе дорог. Кольцевые дороги также являются очевидными примерами циклов. Наличие циклов позволяет выбирать альтернативные маршруты, что критически важно для транспортной системы. Если бы граф дорог был деревом, то существовал бы только один-единственный путь между любыми двумя перекрестками. Это означало бы, что любая авария или ремонт на одной из дорог могли бы полностью отрезать часть населенного пункта.

В качестве обоснования построим упрощенную схему части дорожного графа, типичную для любого города. Пусть у нас есть четыре перекрестка, которые мы обозначим как вершины графа $A$, $B$, $C$ и $D$. Эти перекрестки образуют типичный городской квартал и соединены дорогами (ребрами графа) следующим образом:

• Дорога 1 соединяет перекресток $A$ и перекресток $B$.
• Дорога 2 соединяет перекресток $B$ и перекресток $C$.
• Дорога 3 соединяет перекресток $C$ и перекресток $D$.
• Дорога 4 соединяет перекресток $D$ и перекресток $A$.

Графически это можно представить так:

A --------- B
| |
| |
D --------- C

В этом графе существует очевидный цикл: начав движение из точки $A$, можно проехать по маршруту $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$ и вернуться в исходную точку. Наличие хотя бы одного такого цикла означает, что весь граф дорог населенного пункта не является деревом.

Ответ: Нет, граф дорог в моем (и практически любом) населенном пункте не является деревом, так как он содержит циклы (например, кварталы, образованные пересекающимися улицами, или кольцевые развязки), что нарушает обязательное для дерева условие отсутствия циклов.