Номер 3, страница 70 - гдз по физике 7 класс тетрадь-тренажёр Артеменков, Белага

VII. Закон Архимеда. Плавание тел. Работаем с текстом - номер 3, страница 70.

Условие.

3. Оцените минимальный объём бревна, на котором могли бы плыть зайцы, если средняя масса зайца 3 кг.

...Мимо бревно суковатое плыло, Сидя, и стоя, и лёжа пластом, Зайцев с десяток спасалось на нём.

Н. А. Некрасов. Дед Мазай и зайцы

Решение.

Дано:

Количество зайцев (из фразы "зайцев с десяток"): $N = 10$

Средняя масса одного зайца: $m_{з} = 3$ кг

Плотность пресной воды: $\rho_{в} \approx 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Плотность древесины (оценочно, для влажного дерева): $\rho_{д} \approx 700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

Минимальный объём бревна $V_{б}$

Решение:

Для того чтобы бревно с зайцами могло плыть, согласно закону Архимеда, выталкивающая сила $F_{А}$, действующая на бревно, должна быть как минимум равна суммарной силе тяжести бревна и зайцев $P_{\text{общ}}$. Минимальный объём бревна соответствует предельному случаю, когда оно полностью погружено в воду, но ещё не тонет. В этом случае условие плавания выглядит так:

$F_{А} = P_{\text{общ}}$

Суммарный вес $P_{\text{общ}}$ складывается из веса бревна $P_{б}$ и общего веса зайцев $P_{з}$:

$P_{\text{общ}} = P_{б} + P_{з}$

Вес бревна можно выразить через его объём $V_{б}$ и плотность древесины $\rho_{д}$:

$P_{б} = m_{б} \cdot g = (\rho_{д} \cdot V_{б}) \cdot g$

Общий вес зайцев можно найти, умножив их количество $\text{N}$ на среднюю массу одного зайца $m_{з}$ и на ускорение свободного падения $\text{g}$:

$P_{з} = (N \cdot m_{з}) \cdot g$

Сила Архимеда $F_{А}$, действующая на полностью погруженное в воду бревно, равна весу вытесненного им объёма воды:

$F_{А} = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{б}$

Теперь подставим все выражения в исходное уравнение равновесия сил:

$\rho_{в} \cdot g \cdot V_{б} = (\rho_{д} \cdot V_{б}) \cdot g + (N \cdot m_{з}) \cdot g$

Можно сократить ускорение свободного падения $\text{g}$ в обеих частях уравнения:

$\rho_{в} \cdot V_{б} = \rho_{д} \cdot V_{б} + N \cdot m_{з}$

Теперь выразим искомый объём бревна $V_{б}$:

$\rho_{в} \cdot V_{б} - \rho_{д} \cdot V_{б} = N \cdot m_{з}$

$V_{б} \cdot (\rho_{в} - \rho_{д}) = N \cdot m_{з}$

$V_{б} = \frac{N \cdot m_{з}}{\rho_{в} - \rho_{д}}$

Для проведения расчётов необходимо сделать обоснованное допущение о плотности древесины. Так как бревно плывет по реке, оно, скорее всего, пропитано водой. Плотность сухого дерева (например, сосны) составляет около $500 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$, но плотность влажной древесины выше. Примем для оценки плотность бревна равной $\rho_{д} = 700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$, что является разумным значением для мокрого дерева, которое всё ещё способно плавать. Количество зайцев примем равным 10.

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$V_{б} = \frac{10 \cdot 3 \text{ кг}}{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = \frac{30 \text{ кг}}{300 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = 0.1 \text{ м}^3$

Ответ: Минимальный объём бревна, на котором могли бы плыть десять зайцев, составляет 0.1 м³.