Номер 25.28, страница 88 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 25. Атмосферное давление. Глава 3. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов - номер 25.28, страница 88.

25.28* [567*] Изменится ли объём двух одинаковых мыльных пузырей (рис. III-64), если, например, левую трубку опустить?

Рис. III-64

Дано:

Два одинаковых мыльных пузыря, соединенные U-образной трубкой. Изначально пузыри находятся на одной высоте. Левый пузырь опускают на высоту $h$ относительно правого.

Найти:

Как изменятся объёмы мыльных пузырей.

Решение:

Когда два одинаковых мыльных пузыря находятся на одной высоте, они имеют равные радиусы $R$ и, следовательно, равные объёмы. Давление воздуха внутри каждого пузыря $p_{вн}$ больше внешнего атмосферного давления $p_a$ на величину избыточного (лапласовского) давления $\Delta p$. Для сферической мыльной плёнки, имеющей две поверхности (внешнюю и внутреннюю), это давление определяется формулой Лапласа:

$ \Delta p = p_{вн} - p_a = \frac{4\sigma}{R} $

где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора. Поскольку пузыри изначально одинаковы ($R_1 = R_2$) и находятся на одной высоте (атмосферное давление $p_a$ одинаково), давления внутри них равны, и система находится в равновесии.

Теперь опустим левый пузырь на высоту $h$ относительно правого. Для установления нового равновесия необходимо, чтобы давления в сообщающихся сосудах (в трубке) на одном и том же горизонтальном уровне были равны. Выберем в качестве уровня сравнения горизонтальную плоскость, проходящую через центр нижнего (левого) пузыря.

Давление в левом колене трубки на этом уровне равно давлению внутри левого пузыря, $p_1$.

Давление в правом колене трубки на этом же уровне равно сумме давления внутри правого (верхнего) пузыря, $p_2$, и гидростатического давления столба воздуха высотой $h$ внутри трубки: $p_2 + \rho_{газа}gh$, где $\rho_{газа}$ — плотность воздуха внутри пузырей и трубки.

Условие равновесия:

$ p_1 = p_2 + \rho_{газа}gh $

Давления $p_1$ и $p_2$ можно выразить через атмосферное давление и лапласовское давление:

$ p_1 = p_{a1} + \frac{4\sigma}{R_1} $

$ p_2 = p_{a2} + \frac{4\sigma}{R_2} $

Здесь $p_{a1}$ и $p_{a2}$ — атмосферные давления на уровнях левого и правого пузырей соответственно, а $R_1$ и $R_2$ — их новые радиусы в состоянии равновесия.

Атмосферное давление на уровне нижнего пузыря $p_{a1}$ больше, чем на уровне верхнего $p_{a2}$, на величину гидростатического давления столба атмосферного воздуха высотой $h$:

$ p_{a1} = p_{a2} + \rho_{атм}gh $, где $\rho_{атм}$ — плотность окружающего воздуха.

Подставим выражения для давлений в условие равновесия:

$ (p_{a2} + \rho_{атм}gh) + \frac{4\sigma}{R_1} = (p_{a2} + \frac{4\sigma}{R_2}) + \rho_{газа}gh $

После сокращения $p_{a2}$ и перегруппировки слагаемых получаем:

$ \frac{4\sigma}{R_1} - \frac{4\sigma}{R_2} = \rho_{газа}gh - \rho_{атм}gh $

$ 4\sigma \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (\rho_{газа} - \rho_{атм})gh $

Воздух внутри мыльного пузыря сжат силами поверхностного натяжения, поэтому его давление выше атмосферного. При той же температуре это означает, что его плотность $\rho_{газа}$ также немного выше плотности окружающего воздуха $\rho_{атм}$. Следовательно, разность $(\rho_{газа} - \rho_{атм})$ положительна.

Так как $g > 0$ и $h > 0$, правая часть уравнения положительна. Это означает, что и левая часть должна быть положительной:

$ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} > 0 \implies \frac{1}{R_1} > \frac{1}{R_2} \implies R_2 > R_1 $

Таким образом, радиус левого, более низко расположенного пузыря ($R_1$) станет меньше радиуса правого, более высоко расположенного пузыря ($R_2$). Это значит, что произойдёт перетекание воздуха из левого пузыря в правый. Объём левого пузыря уменьшится, а объём правого — увеличится.

Ответ: Да, объём пузырей изменится. Объём левого (нижнего) пузыря уменьшится, а объём правого (верхнего) пузыря увеличится.