Номер 32.3, страница 121 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 32. Равновесие тел. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 32.3, страница 121.

32.3 [849] Масса Земли в 81 раз больше массы Луны, а расстояние между их центрами масс равно 384 000 км. На каком расстоянии от центра Земли находится центр масс системы Земля—Луна?

Дано:

Соотношение масс Земли ($m_З$) и Луны ($m_Л$): $m_З = 81 m_Л$
Расстояние между центрами масс Земли и Луны: $L = 384000 \text{ км}$

$L = 384000 \text{ км} = 384000 \times 10^3 \text{ м} = 3.84 \times 10^8 \text{ м}$

Найти:

$x_{цм}$ — расстояние от центра Земли до центра масс системы Земля—Луна.

Решение:

Центр масс системы из двух материальных точек лежит на прямой, соединяющей эти точки. Для нахождения его положения воспользуемся формулой для координаты центра масс: $x_{цм} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$

Расположим начало одномерной системы координат в центре Земли и направим ось в сторону Луны. В этой системе координат Земля (первое тело) будет иметь координату $x_З = 0$, а Луна (второе тело) — координату $x_Л = L$.

Подставим данные в формулу, обозначив массу Земли $m_З$, а массу Луны $m_Л$: $x_{цм} = \frac{m_З \cdot x_З + m_Л \cdot x_Л}{m_З + m_Л}$

Используем известные нам значения и соотношения: $x_З = 0$, $x_Л = L$ и $m_З = 81 m_Л$. $x_{цм} = \frac{81 m_Л \cdot 0 + m_Л \cdot L}{81 m_Л + m_Л}$

Выполним упрощение выражения. Первое слагаемое в числителе равно нулю: $x_{цм} = \frac{m_Л \cdot L}{82 m_Л}$

Масса Луны $m_Л$ в числителе и знаменателе сокращается: $x_{цм} = \frac{L}{82}$

Теперь подставим числовое значение расстояния $L$ для вычисления итогового значения: $x_{цм} = \frac{384000 \text{ км}}{82} \approx 4682.93 \text{ км}$

Округляя результат, получаем расстояние от центра Земли до центра масс системы. Стоит отметить, что средний радиус Земли составляет около 6371 км, следовательно, центр масс системы Земля—Луна находится внутри Земли.

Ответ: центр масс системы Земля—Луна находится на расстоянии примерно 4683 км от центра Земли.