Номер 67.29, страница 230 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 67. Плоское зеркало. Глава 9. Оптические явления - номер 67.29, страница 230.

67.29 [н] Школьнику поручили рассчитать минимальную высоту зеркала, в котором ребёнок и взрослый могли бы видеть своё отражение в полный рост. Рост младшей сестры — 82 см, отца — 1 м 86 см, расстояние от макушки до глаз — 10 см и 18 см соответственно. Какой результат получил школьник? Каким должно быть расстояние от нижнего края зеркала до пола?

Дано:

$h_с = 82 \text{ см}$
$h_о = 1 \text{ м } 86 \text{ см}$
$d_с = 10 \text{ см}$
$d_о = 18 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$h_с = 0.82 \text{ м}$
$h_о = 1.86 \text{ м}$
$d_с = 0.10 \text{ м}$
$d_о = 0.18 \text{ м}$

Найти:

$L_{min}$ - минимальная высота зеркала
$y_{нижн}$ - расстояние от нижнего края зеркала до пола

Решение:

Для того чтобы человек мог видеть свое отражение в полный рост в плоском зеркале, необходимо, чтобы лучи света от макушки и от ступней, отразившись от краев зеркала, попадали в глаз наблюдателя. Используя законы геометрической оптики (закон отражения и подобие треугольников), можно определить необходимое положение и размер зеркала.

Пусть $H$ - рост человека, а $h_{гл}$ - высота его глаз от уровня пола. Тогда:

1. Высота нижнего края зеркала над полом ($y_{нижн}$) должна быть равна половине высоты глаз наблюдателя: $y_{нижн} = \frac{h_{гл}}{2}$.

2. Высота верхнего края зеркала над полом ($y_{верх}$) должна находиться на полпути между уровнем глаз и макушкой: $y_{верх} = \frac{H + h_{гл}}{2}$.

3. Минимальная высота зеркала ($L$) равна разности между высотой верхнего и нижнего краев: $L = y_{верх} - y_{нижн} = \frac{H + h_{гл}}{2} - \frac{h_{гл}}{2} = \frac{H}{2}$.

Чтобы и ребенок, и взрослый могли видеть себя в одном и том же зеркале, его верхний край должен быть не ниже, чем требуется для самого высокого человека (отца), а нижний край — не выше, чем требуется для самого низкого человека (сестры).

Рассчитаем высоту глаз для отца и сестры:

Высота глаз отца: $h_{гл\_о} = h_о - d_о = 1.86 \text{ м} - 0.18 \text{ м} = 1.68 \text{ м}$.

Высота глаз сестры: $h_{гл\_с} = h_с - d_с = 0.82 \text{ м} - 0.10 \text{ м} = 0.72 \text{ м}$.

Теперь определим требуемые положения краев зеркала для каждого из них:

Для отца:

Верхний край: $y_{верх\_о} = \frac{h_о + h_{гл\_о}}{2} = \frac{1.86 + 1.68}{2} = \frac{3.54}{2} = 1.77 \text{ м}$.

Нижний край: $y_{нижн\_о} = \frac{h_{гл\_о}}{2} = \frac{1.68}{2} = 0.84 \text{ м}$.

Для сестры:

Верхний край: $y_{верх\_с} = \frac{h_с + h_{гл\_с}}{2} = \frac{0.82 + 0.72}{2} = \frac{1.54}{2} = 0.77 \text{ м}$.

Нижний край: $y_{нижн\_с} = \frac{h_{гл\_с}}{2} = \frac{0.72}{2} = 0.36 \text{ м}$.

Чтобы зеркало подходило обоим, его верхний край должен быть на высоте, определяемой отцом (самый высокий требуемый уровень), а нижний край — на высоте, определяемой сестрой (самый низкий требуемый уровень).

Общая высота верхнего края зеркала: $y_{верх} = \max(y_{верх\_о}, y_{верх\_с}) = 1.77 \text{ м}$.

Общая высота нижнего края зеркала: $y_{нижн} = \min(y_{нижн\_о}, y_{нижн\_с}) = 0.36 \text{ м}$.

Теперь мы можем найти минимальную высоту зеркала и расстояние от его нижнего края до пола.

Какой результат получил школьник?

Минимальная высота зеркала $L_{min}$ равна разности между общей высотой верхнего края и общей высотой нижнего края.

$L_{min} = y_{верх} - y_{нижн} = 1.77 \text{ м} - 0.36 \text{ м} = 1.41 \text{ м}$.

Ответ: минимальная высота зеркала равна 1.41 м или 141 см.

Каким должно быть расстояние от нижнего края зеркала до пола?

Расстояние от нижнего края зеркала до пола равно общей высоте нижнего края $y_{нижн}$.

$y_{нижн} = 0.36 \text{ м}$.

Ответ: расстояние от нижнего края зеркала до пола должно быть 0.36 м или 36 см.