Номер 67.28, страница 230 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 67. Плоское зеркало. Глава 9. Оптические явления - номер 67.28, страница 230.

67.28 [н] Человек видит своё отражение в зеркале в полный рост. С помощью построений хода лучей докажите, что минимальная высота зеркала должна быть равна половине роста $H$ человека и что зеркало должно висеть на высоте от пола, равной половине расстояния $h$ между полом и уровнем глаз человека (рис. IX-27).

Рис. IX-27

Дано:

Рост человека: $H$

Расстояние от пола до уровня глаз человека: $h$

Найти:

Доказать, что минимальная высота зеркала $H_{зерк} = H/2$.

Доказать, что высота нижнего края зеркала от пола $h_{нижн} = h/2$.

Решение:

Чтобы человек мог видеть свое отражение в полный рост, лучи света от его макушки и от его ступней должны после отражения от краев зеркала попасть ему в глаза. Для доказательства воспользуемся построением хода лучей и законом отражения света, который гласит, что угол падения равен углу отражения. Это построение эквивалентно рассмотрению прямых линий, соединяющих глаз наблюдателя с мнимым изображением макушки и ступней за зеркалом.

Доказательство того, что зеркало должно висеть на высоте от пола, равной половине расстояния h между полом и уровнем глаз человека.

Чтобы человек увидел свои ступни (находящиеся на высоте 0 от пола), луч света от них должен отразиться от нижнего края зеркала и попасть в глаз (находящийся на высоте $h$). Из закона отражения (или из подобия треугольников, образованных лучом, нормалью к зеркалу и горизонталями) следует, что точка отражения на зеркале по вертикали будет находиться ровно посередине между уровнем глаз и уровнем ступней. Расстояние по вертикали между глазом и ступнями равно $h$.

Следовательно, высота нижнего края зеркала $h_{нижн}$ над полом должна быть равна половине этого расстояния:

$h_{нижн} = \frac{h}{2}$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Высота, на которой должен висеть нижний край зеркала, равна $h/2$.

Доказательство того, что минимальная высота зеркала должна быть равна половине роста H человека.

Сначала найдем высоту верхнего края зеркала. Чтобы человек увидел свою макушку (находящуюся на высоте $H$), луч света от нее должен отразиться от верхнего края зеркала и попасть в глаз (на высоте $h$). Аналогично предыдущему рассуждению, точка отражения на зеркале будет находиться ровно посередине по вертикали между уровнем макушки и уровнем глаз. Расстояние по вертикали между макушкой и глазом равно $H-h$.

Значит, верхний край зеркала должен быть расположен выше уровня глаз на $\frac{H-h}{2}$. Полная высота верхнего края зеркала от пола $h_{верх}$ составит:

$h_{верх} = h + \frac{H-h}{2} = \frac{2h + H - h}{2} = \frac{H+h}{2}$

Минимальная высота зеркала $H_{зерк}$ равна разности высот его верхнего и нижнего краев:

$H_{зерк} = h_{верх} - h_{нижн} = \frac{H+h}{2} - \frac{h}{2} = \frac{H+h-h}{2} = \frac{H}{2}$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Минимальная высота зеркала равна $H/2$.