Страница 230 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

67.27 [н] При тихой погоде в зеркале воды пруда или озера мы видим перевёрнутое отражение дерева, растущего на противоположном берегу. Сделайте рисунок и изобразите ход лучей.

В тихой и безветренной погоде поверхность воды в пруду или озере становится очень гладкой и ровной. Такая поверхность для световых лучей работает как большое плоское зеркало. Свет от предметов на берегу, например, от дерева, распространяется во все стороны. Часть лучей света попадает на поверхность воды и отражается от нее по закону зеркального отражения: угол падения луча равен углу его отражения ($ \alpha = \beta $). Когда эти отраженные лучи попадают в глаз наблюдателя, мозг воспринимает их так, будто они исходят из-за плоскости зеркала (поверхности воды). В месте мнимого пересечения продолжений этих лучей и формируется изображение предмета.

Изображение, создаваемое плоским зеркалом, является мнимым (находится за зеркалом), имеет те же размеры, что и предмет, и является симметричным предмету относительно плоскости зеркала. Поскольку поверхность воды представляет собой горизонтальное зеркало, симметрия наблюдается относительно горизонтальной плоскости. Вершина дерева находится высоко над водой, поэтому ее мнимое изображение будет находиться на такой же глубине под водой. Основание дерева, расположенное у самой кромки воды, будет иметь изображение, также находящееся у самой поверхности. В результате этого верхняя часть отраженного дерева оказывается внизу, а нижняя — наверху (ближе к поверхности), что мы и воспринимаем как перевернутое изображение.

Решение

Ниже представлен рисунок, иллюстрирующий ход лучей от дерева к глазу наблюдателя.

На рисунке показан ход лучей от двух точек дерева: вершины (A) и основания (B). Лучи, испущенные из этих точек, отражаются от поверхности воды (в точках P_A и P_B соответственно) и попадают в глаз наблюдателя. Важно отметить, что для наблюдения разных точек объекта лучи отражаются от разных точек на поверхности воды. Продолжения отраженных лучей за плоскость зеркала (показаны пунктиром) пересекаются в точках A' и B', формируя мнимое изображение. Поскольку точка A находится выше точки B, ее изображение A' оказывается ниже изображения B'. Таким образом, наблюдатель видит перевернутое изображение дерева.

Ответ:

Перевернутое отражение дерева в спокойной воде объясняется законами зеркального отражения от горизонтальной поверхности. Вода выступает в роли плоского горизонтального зеркала. Оно создает мнимое изображение, симметричное объекту относительно плоскости воды. Из-за этой горизонтальной симметрии верхняя часть дерева отражается как нижняя часть изображения, и наоборот, что приводит к наблюдаемому перевернутому виду. Ход лучей показан на приведенном выше рисунке.

67.28 [н] Человек видит своё отражение в зеркале в полный рост. С помощью построений хода лучей докажите, что минимальная высота зеркала должна быть равна половине роста $H$ человека и что зеркало должно висеть на высоте от пола, равной половине расстояния $h$ между полом и уровнем глаз человека (рис. IX-27).

Рис. IX-27

Дано:

Рост человека: $H$

Расстояние от пола до уровня глаз человека: $h$

Найти:

Доказать, что минимальная высота зеркала $H_{зерк} = H/2$.

Доказать, что высота нижнего края зеркала от пола $h_{нижн} = h/2$.

Решение:

Чтобы человек мог видеть свое отражение в полный рост, лучи света от его макушки и от его ступней должны после отражения от краев зеркала попасть ему в глаза. Для доказательства воспользуемся построением хода лучей и законом отражения света, который гласит, что угол падения равен углу отражения. Это построение эквивалентно рассмотрению прямых линий, соединяющих глаз наблюдателя с мнимым изображением макушки и ступней за зеркалом.

Доказательство того, что зеркало должно висеть на высоте от пола, равной половине расстояния h между полом и уровнем глаз человека.

Чтобы человек увидел свои ступни (находящиеся на высоте 0 от пола), луч света от них должен отразиться от нижнего края зеркала и попасть в глаз (находящийся на высоте $h$). Из закона отражения (или из подобия треугольников, образованных лучом, нормалью к зеркалу и горизонталями) следует, что точка отражения на зеркале по вертикали будет находиться ровно посередине между уровнем глаз и уровнем ступней. Расстояние по вертикали между глазом и ступнями равно $h$.

Следовательно, высота нижнего края зеркала $h_{нижн}$ над полом должна быть равна половине этого расстояния:

$h_{нижн} = \frac{h}{2}$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Высота, на которой должен висеть нижний край зеркала, равна $h/2$.

Доказательство того, что минимальная высота зеркала должна быть равна половине роста H человека.

Сначала найдем высоту верхнего края зеркала. Чтобы человек увидел свою макушку (находящуюся на высоте $H$), луч света от нее должен отразиться от верхнего края зеркала и попасть в глаз (на высоте $h$). Аналогично предыдущему рассуждению, точка отражения на зеркале будет находиться ровно посередине по вертикали между уровнем макушки и уровнем глаз. Расстояние по вертикали между макушкой и глазом равно $H-h$.

Значит, верхний край зеркала должен быть расположен выше уровня глаз на $\frac{H-h}{2}$. Полная высота верхнего края зеркала от пола $h_{верх}$ составит:

$h_{верх} = h + \frac{H-h}{2} = \frac{2h + H - h}{2} = \frac{H+h}{2}$

Минимальная высота зеркала $H_{зерк}$ равна разности высот его верхнего и нижнего краев:

$H_{зерк} = h_{верх} - h_{нижн} = \frac{H+h}{2} - \frac{h}{2} = \frac{H+h-h}{2} = \frac{H}{2}$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Минимальная высота зеркала равна $H/2$.

67.29 [н] Школьнику поручили рассчитать минимальную высоту зеркала, в котором ребёнок и взрослый могли бы видеть своё отражение в полный рост. Рост младшей сестры — 82 см, отца — 1 м 86 см, расстояние от макушки до глаз — 10 см и 18 см соответственно. Какой результат получил школьник? Каким должно быть расстояние от нижнего края зеркала до пола?

Дано:

Перевод в систему СИ:

Найти:

$L_{min}$ - минимальная высота зеркала
$y_{нижн}$ - расстояние от нижнего края зеркала до пола

Решение:

Для того чтобы человек мог видеть свое отражение в полный рост в плоском зеркале, необходимо, чтобы лучи света от макушки и от ступней, отразившись от краев зеркала, попадали в глаз наблюдателя. Используя законы геометрической оптики (закон отражения и подобие треугольников), можно определить необходимое положение и размер зеркала.

Пусть $H$ - рост человека, а $h_{гл}$ - высота его глаз от уровня пола. Тогда:

1. Высота нижнего края зеркала над полом ($y_{нижн}$) должна быть равна половине высоты глаз наблюдателя: $y_{нижн} = \frac{h_{гл}}{2}$.

2. Высота верхнего края зеркала над полом ($y_{верх}$) должна находиться на полпути между уровнем глаз и макушкой: $y_{верх} = \frac{H + h_{гл}}{2}$.

3. Минимальная высота зеркала ($L$) равна разности между высотой верхнего и нижнего краев: $L = y_{верх} - y_{нижн} = \frac{H + h_{гл}}{2} - \frac{h_{гл}}{2} = \frac{H}{2}$.

Чтобы и ребенок, и взрослый могли видеть себя в одном и том же зеркале, его верхний край должен быть не ниже, чем требуется для самого высокого человека (отца), а нижний край — не выше, чем требуется для самого низкого человека (сестры).

Рассчитаем высоту глаз для отца и сестры:

Высота глаз отца: $h_{гл\_о} = h_о - d_о = 1.86 \text{ м} - 0.18 \text{ м} = 1.68 \text{ м}$.

Высота глаз сестры: $h_{гл\_с} = h_с - d_с = 0.82 \text{ м} - 0.10 \text{ м} = 0.72 \text{ м}$.

Теперь определим требуемые положения краев зеркала для каждого из них:

Для отца:

Верхний край: $y_{верх\_о} = \frac{h_о + h_{гл\_о}}{2} = \frac{1.86 + 1.68}{2} = \frac{3.54}{2} = 1.77 \text{ м}$.

Нижний край: $y_{нижн\_о} = \frac{h_{гл\_о}}{2} = \frac{1.68}{2} = 0.84 \text{ м}$.

Для сестры:

Верхний край: $y_{верх\_с} = \frac{h_с + h_{гл\_с}}{2} = \frac{0.82 + 0.72}{2} = \frac{1.54}{2} = 0.77 \text{ м}$.

Нижний край: $y_{нижн\_с} = \frac{h_{гл\_с}}{2} = \frac{0.72}{2} = 0.36 \text{ м}$.

Чтобы зеркало подходило обоим, его верхний край должен быть на высоте, определяемой отцом (самый высокий требуемый уровень), а нижний край — на высоте, определяемой сестрой (самый низкий требуемый уровень).

Общая высота верхнего края зеркала: $y_{верх} = \max(y_{верх\_о}, y_{верх\_с}) = 1.77 \text{ м}$.

Общая высота нижнего края зеркала: $y_{нижн} = \min(y_{нижн\_о}, y_{нижн\_с}) = 0.36 \text{ м}$.

Теперь мы можем найти минимальную высоту зеркала и расстояние от его нижнего края до пола.

Какой результат получил школьник?

Минимальная высота зеркала $L_{min}$ равна разности между общей высотой верхнего края и общей высотой нижнего края.

$L_{min} = y_{верх} - y_{нижн} = 1.77 \text{ м} - 0.36 \text{ м} = 1.41 \text{ м}$.

Ответ: минимальная высота зеркала равна 1.41 м или 141 см.

Каким должно быть расстояние от нижнего края зеркала до пола?

Расстояние от нижнего края зеркала до пола равно общей высоте нижнего края $y_{нижн}$.

$y_{нижн} = 0.36 \text{ м}$.

Ответ: расстояние от нижнего края зеркала до пола должно быть 0.36 м или 36 см.

67.30 [н] Расстояние между центрами зрачков глаз человека равно $l$, а наибольшая ширина его тела — $L$ (рис. IX-28). По какой формуле можно вычислить минимальную ширину $d$ зеркала, чтобы человек мог видеть своё полное отражение по горизонтали?

Вид сверху

Рис. IX-28

Дано

$l$ - расстояние между центрами зрачков человека
$L$ - наибольшая ширина тела человека

Найти

$d$ - минимальная ширина зеркала

Решение

Для того чтобы человек мог видеть свое полное отражение по горизонтали, лучи света от крайних точек его тела (например, от левого и правого плеча) должны после отражения от краев зеркала попадать в его глаза. Чтобы ширина зеркала $d$ была минимальной, необходимо использовать оба глаза. Самый эффективный способ — это когда левый глаз видит отражение правого плеча, а правый глаз — отражение левого плеча.

Воспользуемся методом мнимого изображения, который упрощает геометрическое построение. Плоское зеркало создает мнимое изображение объекта на том же расстоянии за зеркалом, на каком объект находится перед ним. Изображение является прямым и имеет те же размеры, что и объект.

Рассмотрим вид сверху. Введем систему координат. Пусть зеркало расположено вдоль оси $Oy$, а перпендикулярно ему проходит ось $Ox$. Человек находится на расстоянии $h$ от зеркала в отрицательной области оси $Ox$. Тогда его мнимое изображение будет находиться на том же расстоянии $h$ за зеркалом в положительной области оси $Ox$.

Расположим начало координат так, чтобы ось $Ox$ проходила через середину отрезка, соединяющего глаза человека. Тогда координаты ключевых точек будут следующими:

• Левый глаз ($E_L$): $(-h, -l/2)$
• Правый глаз ($E_R$): $(-h, l/2)$
• Крайняя левая точка тела (левое плечо, $A$): $(-h, -L/2)$
• Крайняя правая точка тела (правое плечо, $B$): $(-h, L/2)$

Координаты мнимых изображений крайних точек тела:

• Изображение левого плеча ($A'$): $(h, -L/2)$
• Изображение правого плеча ($B'$): $(h, L/2)$

Чтобы увидеть полное отражение, луч света, идущий от мнимого изображения правого плеча $B'$, должен попасть в левый глаз $E_L$. Этот луч проходит через правый край зеркала $M_2$. Аналогично, луч от мнимого изображения левого плеча $A'$ должен попасть в правый глаз $E_R$, проходя через левый край зеркала $M_1$.

Найдем координаты краев зеркала $M_1$ и $M_2$, которые лежат на оси $Oy$ (т.е. их координата $x=0$).

Точка $M_1(0, y_1)$ лежит на отрезке, соединяющем правый глаз $E_R(-h, l/2)$ и изображение левого плеча $A'(h, -L/2)$. Поскольку координата $x=0$ является серединой между $x=-h$ и $x=h$, мы можем найти координату $y_1$ как среднее арифметическое $y$-координат точек $E_R$ и $A'$:

$y_1 = \frac{y_{E_R} + y_{A'}}{2} = \frac{l/2 + (-L/2)}{2} = \frac{l-L}{4}$

Точка $M_2(0, y_2)$ лежит на отрезке, соединяющем левый глаз $E_L(-h, -l/2)$ и изображение правого плеча $B'(h, L/2)$. Аналогично находим координату $y_2$:

$y_2 = \frac{y_{E_L} + y_{B'}}{2} = \frac{-l/2 + L/2}{2} = \frac{L-l}{4}$

Минимальная ширина зеркала $d$ равна расстоянию между его краями $M_1$ и $M_2$:

$d = y_2 - y_1 = \frac{L-l}{4} - \frac{l-L}{4} = \frac{L-l}{4} + \frac{L-l}{4} = \frac{2(L-l)}{4} = \frac{L-l}{2}$

Таким образом, минимальная ширина зеркала не зависит от расстояния до него, а определяется только шириной тела и расстоянием между глазами.

Ответ: $d = \frac{L-l}{2}$

68.1 [1560] У прозрачных линеек из пластмассы шкала нанесена на нижней стороне линейки (просматривается на просвет). Для чего так сделано?

Решение

Нанесение шкалы на нижнюю сторону прозрачной линейки из пластмассы обусловлено двумя основными причинами, направленными на улучшение точности измерений и долговечности инструмента.

Первая и наиболее важная причина — это устранение погрешности параллакса. Параллакс — это видимое изменение положения объекта при изменении точки наблюдения. Если бы шкала была нанесена на верхнюю поверхность линейки, между делениями шкалы и измеряемым объектом (например, линией на бумаге) существовал бы зазор, равный толщине линейки. При взгляде на шкалу под углом, а не строго перпендикулярно, из-за этого зазора возникало бы визуальное смещение деления относительно измеряемой точки, что приводило бы к неточному считыванию показаний. Когда шкала находится на нижней стороне, она непосредственно прилегает к измеряемой поверхности. Это сводит к нулю расстояние между делением шкалы и объектом, тем самым исключая ошибку параллакса и позволяя получать точные результаты измерений независимо от угла зрения.

Вторая причина — это защита шкалы от износа и повреждений. Верхняя поверхность линейки постоянно контактирует с различными предметами: карандашами, ручками, подвергается трению и может быть поцарапана. Если бы шкала была нанесена сверху, она бы со временем стерлась, и линейка стала бы непригодной для использования. Размещение шкалы на нижней, защищенной стороне, обеспечивает ее сохранность от механического истирания и других повреждений, так как она прикрыта всей толщей материала линейки. Это значительно продлевает срок службы измерительного инструмента.

Ответ: Шкала наносится на нижнюю сторону прозрачных линеек для того, чтобы: 1) исключить погрешность измерений из-за эффекта параллакса, так как деления шкалы находятся вплотную к измеряемой поверхности; 2) защитить шкалу от стирания и повреждений, что обеспечивает ее долговечность.