Страница 225 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

65.18* [1514*] Один из дней в Санкт-Петербурге, Москве и Сочи выдался солнечным.

а) В каком из этих городов тени от штанг футбольных ворот на стадионах в полдень были наибольшими; наименьшими?

б) Какой была длина теней от перекладин футбольных ворот в 17 ч на стадионах Севастополя, если и там день был солнечным? (Размеры ворот см. в таблице 3)

а) В каком из этих городов тени от штанг футбольных ворот на стадионах в полдень были наибольшими; наименьшими?

Длина тени от вертикального предмета зависит от высоты Солнца над горизонтом. Чем ниже Солнце, тем длиннее тень. В полдень Солнце находится на максимальной для данного дня высоте.

Высота Солнца в полдень зависит от географической широты местности и времени года. В один и тот же день в Северном полушарии Солнце в полдень будет выше в тех городах, которые расположены южнее.

Сравним географические широты указанных городов:

• Санкт-Петербург: около 60° с.ш.
• Москва: около 56° с.ш.
• Сочи: около 43° с.ш.

Санкт-Петербург — самый северный из трёх городов, поэтому в полдень Солнце там будет находиться ниже всего над горизонтом. Следовательно, тени от штанг футбольных ворот будут самыми длинными.

Сочи — самый южный город, поэтому Солнце в полдень там будет выше, чем в Москве и Санкт-Петербурге. Следовательно, тени будут самыми короткими.

Ответ: Наибольшими тени были в Санкт-Петербурге, а наименьшими — в Сочи.

б) Какой была длина теней от перекладин футбольных ворот в 17 ч на стадионах Севастополя, если и там день был солнечным? (Размеры ворот см. в таблице 3)

Для решения задачи будем считать, что речь идет о длине тени, отбрасываемой на поле из-за высоты, на которой находится перекладина. Поскольку таблица 3 не приведена, будем использовать стандартную высоту футбольных ворот.

Дано:
Высота перекладины футбольных ворот $h = 244 \text{ см}$
Время $t = 17:00$ по местному солнечному времени
Местоположение: г. Севастополь (географическая широта $φ \approx 44.6^\circ$ с.ш.)

Перевод в СИ:
$h = 2.44 \text{ м}$

Найти:
Длину тени $L$.

Решение:
Длина тени $L$ связана с высотой предмета $h$ и высотой Солнца над горизонтом (углом возвышения) $α$ соотношением: $L = \frac{h}{\tan(α)}$

Высота Солнца над горизонтом $α$ зависит от широты местности $φ$, склонения Солнца $δ$ (которое зависит от дня года) и часового угла Солнца $H$. Формула для расчета: $\sin(α) = \sin(φ)\sin(δ) + \cos(φ)\cos(δ)\cos(H)$

Поскольку в условии задачи день не указан, примем для расчетов день весеннего или осеннего равноденствия. В эти дни склонение Солнца $δ = 0^\circ$. Это упрощает формулу: $\sin(α) = \sin(φ)\sin(0^\circ) + \cos(φ)\cos(0^\circ)\cos(H) = \cos(φ)\cos(H)$

Часовой угол $H$ — это угол, на который повернулась Земля со времени местного полудня. Полдень — 12:00, указанное время — 17:00. Разница составляет 5 часов. Земля вращается со скоростью $15^\circ$ в час. $H = (17 - 12) \text{ ч} \cdot 15^\circ/\text{ч} = 5 \cdot 15^\circ = 75^\circ$

Теперь можем рассчитать высоту Солнца $α$: $\sin(α) = \cos(44.6^\circ) \cdot \cos(75^\circ) \approx 0.712 \cdot 0.259 \approx 0.1844$ $α = \arcsin(0.1844) \approx 10.6^\circ$

Наконец, найдем длину тени $L$: $L = \frac{h}{\tan(α)} = \frac{2.44 \text{ м}}{\tan(10.6^\circ)} \approx \frac{2.44 \text{ м}}{0.187} \approx 13.05 \text{ м}$

Округлим результат до десятых.

Ответ: Длина тени от перекладины составляла примерно 13.1 м.

65.19 [1515] Тень от низко летящего вдоль дороги самолёта покрывает дорогу на $2/3$ её ширины. Чему равен размах крыльев самолёта, если ширина дороги равна 18,6 м?

Дано:

Доля ширины дороги, покрытая тенью $k = \frac{2}{3}$

Ширина дороги $W_{дороги} = 18,6$ м

Найти:

Размах крыльев самолёта $L_{крыльев}$

Решение:

По условию задачи, самолёт летит низко. Это позволяет нам сделать допущение, что солнечные лучи падают практически вертикально (или, что источник света находится очень далеко). В таком случае, ширина тени, отбрасываемой самолётом на горизонтальную поверхность дороги, будет равна размаху его крыльев. Обозначим ширину тени как $W_{тени}$.

Таким образом, $L_{крыльев} = W_{тени}$.

Из условия известно, что тень покрывает дорогу на $2/3$ её ширины. Ширина дороги равна $W_{дороги} = 18,6$ м. Следовательно, мы можем найти ширину тени, умножив ширину дороги на заданную долю:

$W_{тени} = k \cdot W_{дороги} = \frac{2}{3} \cdot W_{дороги}$

Подставим известные значения в формулу:

$L_{крыльев} = \frac{2}{3} \cdot 18,6 \text{ м}$

Выполним вычисления:

$L_{крыльев} = 2 \cdot \frac{18,6}{3} \text{ м} = 2 \cdot 6,2 \text{ м} = 12,4 \text{ м}$

Ответ: размах крыльев самолёта равен 12,4 м.

65.20 [1516] Лампа $S$, расположенная у края стола, и шахматная фигура $AB$ высотой 10 см находятся на прямой, перпендикулярной к плоскости экрана $Э$ (рис. IX-12). На каком расстоянии от лампы отстоит экран, если на нём высота тени от фигуры равна 18 см, а расстояние $SB = 60 \text{ см}$?

Рис. IX-12

Дано:

Высота шахматной фигуры $AB = h = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
Высота тени на экране $H = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$
Расстояние от лампы до фигуры $SB = L_1 = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от лампы до экрана $L_2$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законами геометрической оптики, согласно которым свет распространяется прямолинейно. На рисунке показано, как лучи света от источника S, проходя через верхнюю точку фигуры A, создают тень на экране Э.

Обозначим точку на столе под экраном как C. Таким образом, мы получаем два прямоугольных треугольника: $\triangle SAB$ и $\triangle SCE$ (где $CE$ — высота тени на экране).

Эти два треугольника подобны по двум углам:
1. У них есть общий острый угол при вершине S.
2. Оба треугольника имеют по прямому углу, так как фигура и экран перпендикулярны плоскости стола: $\angle SBA = \angle SCE = 90^\circ$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон (катетов) равно: $$ \frac{AB}{CE} = \frac{SB}{SC} $$ В наших обозначениях это выглядит так: $$ \frac{h}{H} = \frac{L_1}{L_2} $$ где $h$ — высота фигуры, $H$ — высота тени, $L_1$ — расстояние от лампы до фигуры, а $L_2$ — искомое расстояние от лампы до экрана.

Выразим искомую величину $L_2$ из этой пропорции: $$ L_2 = L_1 \cdot \frac{H}{h} $$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Для удобства можно выполнять расчеты в сантиметрах, так как все данные приведены в них: $$ L_2 = 60 \text{ см} \cdot \frac{18 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 60 \cdot 1.8 \text{ см} = 108 \text{ см} $$

Переведем результат в систему СИ (метры): $$ 108 \text{ см} = 1.08 \text{ м} $$

Ответ: экран отстоит от лампы на расстоянии 1.08 м.

65.21 [1517] В солнечный день длина тени от ёлочки высотой 1,8 м равна 90 см, а от берёзы — 10 м. Чему равна высота берёзы?

Дано:

Высота ёлочки $h_1 = 1,8$ м
Длина тени от ёлочки $l_1 = 90$ см
Длина тени от берёзы $l_2 = 10$ м

Переведём все величины в систему СИ (метры):
$l_1 = 90 \text{ см} = 0,9 \text{ м}$

Найти:

Высоту берёзы $h_2$.

Решение:

В один и тот же момент времени в солнечный день солнечные лучи падают на землю под одинаковым углом. Таким образом, ёлочка и её тень, а также берёза и её тень образуют два подобных прямоугольных треугольника. У этих треугольников катетами являются высота дерева и длина его тени.

Из подобия треугольников следует, что отношение высоты объекта к длине его тени является постоянной величиной:

$\frac{h_1}{l_1} = \frac{h_2}{l_2}$

Где $h_1$ и $l_1$ — высота и длина тени ёлочки, а $h_2$ и $l_2$ — высота и длина тени берёзы.

Выразим из этой пропорции искомую высоту берёзы $h_2$:

$h_2 = \frac{h_1 \cdot l_2}{l_1}$

Подставим числовые значения в полученную формулу, убедившись, что все величины выражены в метрах:

$h_2 = \frac{1,8 \text{ м} \cdot 10 \text{ м}}{0,9 \text{ м}} = \frac{18 \text{ м}}{0,9} = 20 \text{ м}$

Ответ: высота берёзы равна 20 м.

65.22 [1518] В солнечный день высота тени от отвесно поставленной метровой линейки равна 50 см, а от дерева — 6 м. Чему равна высота дерева?

Дано:

Найти:

Решение:

Поскольку солнечные лучи падают на землю параллельно, угол падения солнечных лучей одинаков для всех предметов. Линейка и дерево, стоящие отвесно, образуют с землей прямые углы. Таким образом, мы имеем два подобных прямоугольных треугольника. Первый треугольник образован высотой линейки и ее тенью, а второй — высотой дерева и его тенью.

Из подобия треугольников следует, что отношение высоты предмета к длине его тени для обоих случаев будет одинаковым. Составим пропорцию:

$ \frac{h_1}{l_1} = \frac{h_2}{l_2} $

где $h_1$ и $l_1$ — высота и длина тени линейки, а $h_2$ и $l_2$ — высота и длина тени дерева.

Выразим из этой пропорции высоту дерева $h_2$:

$ h_2 = h_1 \cdot \frac{l_2}{l_1} $

Подставим известные значения, предварительно переведя все величины в метры:

$ h_1 = 1 \text{ м} $
$ l_1 = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м} $
$ l_2 = 6 \text{ м} $

Произведем вычисления:

$ h_2 = 1 \text{ м} \cdot \frac{6 \text{ м}}{0.5 \text{ м}} = 12 \text{ м} $

Ответ: высота дерева равна 12 м.

65.23 [1519] В солнечный день длина тени на земле от дома равна 30 м, а от отвесно поставленной палки высотой 1,5 м длина тени равна 2 м. Чему равна высота дома?

Дано:

Длина тени от дома $L_д = 30$ м
Высота палки $h_п = 1,5$ м
Длина тени от палки $L_п = 2$ м

Найти:

Высота дома $h_д$ - ?

Решение:

В один и тот же момент времени в одном и том же месте солнечные лучи падают на поверхность земли под одинаковым углом. Это означает, что дом и его тень, а также отвесно поставленная палка и ее тень образуют два подобных прямоугольных треугольника.

У подобных треугольников отношение соответствующих сторон (катетов) равно. В нашем случае отношение высоты объекта к длине его тени будет одинаковым для дома и для палки.

Запишем пропорцию:

$\frac{\text{Высота дома}}{\text{Длина тени дома}} = \frac{\text{Высота палки}}{\text{Длина тени палки}}$

В виде формулы это выглядит так:

$\frac{h_д}{L_д} = \frac{h_п}{L_п}$

Из этой пропорции выразим искомую высоту дома $h_д$:

$h_д = h_п \cdot \frac{L_д}{L_п}$

Теперь подставим известные значения в формулу:

$h_д = 1,5 \text{ м} \cdot \frac{30 \text{ м}}{2 \text{ м}} = 1,5 \cdot 15 = 22,5 \text{ м}$

Ответ: высота дома равна 22,5 м.

65.24 [1520] Измерения показали, что длина тени от предмета равна его высоте. Какова высота Солнца над горизонтом?

Дано:

Длина тени от предмета $l$ равна его высоте $h$.
$l = h$

Найти:

Высоту Солнца над горизонтом $\alpha$.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вертикально стоящим предметом, его тенью на горизонтальной поверхности и солнечным лучом, который проходит от верхушки предмета до конца тени.

В этом треугольнике:

• Один катет – это высота предмета $h$.
• Второй катет – это длина тени $l$.
• Угол $\alpha$ между солнечным лучом и горизонтальной поверхностью (тенью) является искомой высотой Солнца над горизонтом.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Для угла $\alpha$ противолежащим катетом является высота предмета $h$, а прилежащим – длина тени $l$.

Математически это можно записать так:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{l}$

Согласно условию задачи, длина тени равна высоте предмета, то есть $l = h$. Подставим это значение в формулу:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{h} = 1$

Чтобы найти угол $\alpha$, нужно взять арктангенс от 1:

$\alpha = \arctan(1)$

$\alpha = 45^\circ$

Ответ: высота Солнца над горизонтом составляет $45^\circ$.

65.25 [1521] Перечертив рисунок IX-13 в тетрадь, определите протяжённости теней от мяча, который перед падением на пол находился в положениях 1 и 2. Зависит ли протяжённость тени от взаимного расположения источника, предмета и экрана?

мет о ыцто

ямофя * $S$

[и] 4.лае

эияннэлэто

кэл йюяя О

[и] яг.аа

мудлиа ум

Рис. IX-13

Определите протяжённости теней от мяча, который перед падением на пол находился в положениях 1 и 2.

Для определения размера тени, отбрасываемой непрозрачным предметом (мячом) от точечного источника света (S), необходимо построить лучи, исходящие из источника и касающиеся краёв предмета. Тень на экране (полу) образуется в области, куда не попадает свет от источника.

Размер тени можно определить с помощью геометрии, рассмотрев подобные треугольники. Пусть $S$ — источник света, $O$ — центр мяча, а $T$ — центр тени на полу. Треугольник, вершиной которого является источник $S$, а основанием — диаметр мяча $d$, подобен треугольнику с той же вершиной $S$ и основанием, равным размеру тени $L$.

Пусть $H$ — высота источника света над полом, а $h$ — высота центра мяча над полом. Тогда расстояние от источника до плоскости, в которой находится центр мяча, равно $H - h$. Из подобия треугольников следует соотношение:

$ \frac{L}{d} = \frac{H}{H - h} $

Отсюда размер тени выражается формулой:

$ L = d \cdot \frac{H}{H - h} $

Согласно рисунку, мяч в положении 1 находится выше, чем в положении 2. Обозначим их высоты как $h_1$ и $h_2$ соответственно. Таким образом, $h_1 > h_2$.

Сравним размеры теней $L_1$ (для положения 1) и $L_2$ (для положения 2):

$ L_1 = d \cdot \frac{H}{H - h_1} $

$ L_2 = d \cdot \frac{H}{H - h_2} $

Поскольку $h_1 > h_2$, то разность $(H - h_1)$ будет меньше разности $(H - h_2)$. Так как эти выражения находятся в знаменателе, то дробь $\frac{1}{H - h_1}$ будет больше дроби $\frac{1}{H - h_2}$. Следовательно, $L_1 > L_2$.

Это означает, что чем выше находится мяч (чем дальше он от экрана), тем больше размер отбрасываемой им тени.

Ответ: Протяжённость тени от мяча в положении 1 больше, чем протяжённость тени в положении 2.

Зависит ли протяжённость тени от взаимного расположения источника, предмета и экрана?

Да, протяжённость тени напрямую зависит от взаимного расположения источника света, предмета и экрана. Как было показано в решении предыдущего пункта, размер тени $L$ можно рассчитать по формуле $L = d \cdot \frac{H}{H - h}$.

Из этой формулы видно, что размер тени $L$ зависит от:

1. Расстояния от источника света до экрана ($H$).

2. Расстояния от предмета до экрана ($h$).

Изменение любого из этих расстояний приведёт к изменению размера тени. Например, если приближать предмет к экрану (уменьшать $h$), тень будет уменьшаться. Если приближать предмет к источнику света (увеличивать $h$), тень будет увеличиваться.

Ответ: Да, протяжённость тени зависит от взаимного расположения источника, предмета и экрана.