Страница 229 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

67.18 [1552] Куда переместятся изображения предметов (см. рис. IX-23), если зеркало $MN$ передвинуть: а) вправо; влево; б) вверх; вниз?

$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $M$ $N$

Рис. IX-23

а) вправо; влево

Положение изображения, даваемого плоским зеркалом, определяется положением самого предмета относительно плоскости зеркала. Изображение находится за зеркалом на таком же расстоянии, на каком предмет находится перед ним, причем отрезок, соединяющий точку предмета и ее изображение, перпендикулярен плоскости зеркала.
Когда зеркало $MN$ перемещается горизонтально (вправо или влево), его отражающая плоскость не меняет своего положения в пространстве относительно вертикальной оси. Расстояние от любой точки предметов $A$, $D$ или $E$ до плоскости зеркала остается неизменным. Следовательно, и положение их изображений в пространстве не изменится.

Ответ: Изображения предметов не переместятся.

б) вверх; вниз

Когда зеркало перемещается вертикально (вверх или вниз), то есть перпендикулярно своей отражающей поверхности, расстояние от предметов до зеркала изменяется.
Рассмотрим относительное движение. Пусть предмет неподвижен, а зеркало движется на расстояние $h$ в сторону предмета (вверх). Расстояние от предмета до зеркала уменьшается на $h$. Изображение также должно приблизиться к зеркалу на $h$. Так как зеркало само приблизилось к предмету на $h$, то суммарное смещение изображения относительно предмета составит $h + h = 2h$ в том же направлении (вверх).
Если зеркало движется на расстояние $h$ от предмета (вниз), расстояние от предмета до зеркала увеличивается на $h$. Изображение должно отдалиться от зеркала на $h$. Так как само зеркало отдалилось от предмета на $h$, суммарное смещение изображения относительно предмета составит $h + h = 2h$ в том же направлении (вниз).
Таким образом, при смещении зеркала на некоторое расстояние в направлении, перпендикулярном его плоскости, изображение смещается в ту же сторону на удвоенное расстояние.

Ответ: При перемещении зеркала вверх, изображения переместятся вверх на расстояние, вдвое большее смещения зеркала. При перемещении зеркала вниз, изображения переместятся вниз на расстояние, вдвое большее смещения зеркала.

67.19 [1553] В плоском зеркале вы видите мнимое изображение глаз своего товарища, смотрящего на вас. Видит ли он в зеркале изображение ваших глаз?

Решение

Этот вопрос основан на фундаментальном принципе оптики — принципе обратимости световых лучей. Этот принцип гласит, что путь, по которому световой луч распространяется из точки А в точку Б, совпадает с путем, по которому луч будет распространяться из точки Б в точку А, если его направить в обратную сторону.

В рассматриваемой ситуации вы видите мнимое изображение глаз своего товарища в плоском зеркале. Это означает, что существует оптический путь для световых лучей: они исходят от глаз вашего товарища, отражаются от поверхности зеркала и попадают в ваши глаза.

Согласно принципу обратимости, если существует путь "Глаза товарища → Зеркало → Ваши глаза", то обязательно существует и обратный путь "Ваши глаза → Зеркало → Глаза товарища". Это означает, что свет от ваших глаз, отразившись от той же области зеркала, попадет в глаза вашему товарищу.

Таким образом, если вы видите в зеркале глаза своего товарища, то и он в этот же самый момент видит в зеркале ваши глаза.

Ответ: да, видит.

67.20 [1554] В плоском зеркале $MN$ глаз видит мнимое изображение $S'$ светящейся точки $S$ (рис. IX-24). Построением определите положение светящейся точки и ход одного-двух лучей, образующих её изображение в глазу.

Рис. IX-24

$S' \star$

$M$

$N$

$\triangle$

Рис. IX-24

Для решения задачи необходимо выполнить геометрическое построение, основанное на законах отражения света и свойствах изображения в плоском зеркале.

1. Определение положения светящейся точки S

Изображение S' в плоском зеркале MN является мнимым, прямым и симметричным источнику S относительно плоскости зеркала. Это означает, что отрезок, соединяющий источник S и его изображение S', перпендикулярен поверхности зеркала, а расстояния от источника до зеркала и от изображения до зеркала равны.

Построение:

1. Из точки мнимого изображения S' опускаем перпендикуляр на линию зеркала MN.
2. Продолжаем этот перпендикуляр за зеркало в ту сторону, где находится глаз.
3. На продолжении перпендикуляра откладываем отрезок, по длине равный расстоянию от точки S' до зеркала. Конец этого отрезка и будет являться искомым положением светящейся точки S.

2. Построение хода лучей

Глаз видит изображение S', потому что в него попадают лучи, испущенные источником S и отразившиеся от зеркала. Продолжения этих отраженных лучей пересекаются в точке мнимого изображения S'.

Построение хода двух лучей:

1. Выберем на поверхности зеркала MN две произвольные точки, например $P_1$ и $P_2$, из которых лучи будут отражаться в глаз.
2. Соединим мнимое изображение S' с точками $P_1$ и $P_2$. Продолжим эти линии за зеркало в сторону глаза. Эти линии (показаны пунктиром за зеркалом и сплошной линией после отражения) задают направление распространения отраженных лучей.
3. Соединим действительную светящуюся точку S с точками $P_1$ и $P_2$. Это будут падающие лучи.

Таким образом, лучи выходят из точки S, падают на зеркало в точках $P_1$ и $P_2$, отражаются от него и попадают в глаз наблюдателя, создавая ощущение, что они исходят из точки S'.

Графическое решение задачи представлено на рисунке ниже:

Ответ:

Положение светящейся точки S симметрично ее мнимому изображению S' относительно плоскости зеркала MN. Для нахождения S необходимо из S' провести перпендикуляр к зеркалу и отложить на нем с другой стороны от зеркала такое же расстояние. Ход лучей, образующих изображение, строится следующим образом: из источника S проводятся падающие лучи к точкам на зеркале; от этих точек проводятся отраженные лучи, продолжения которых (за зеркалом) пересекаются в точке мнимого изображения S'. Отраженные лучи попадают в глаз наблюдателя. Построение приведено на рисунке выше.

67.21 [1555] В плоском зеркале мнимое изображение юного спортсмена с мячом имеет вид, показанный на рисунке IX-25.

В какой руке спортсмен держит мяч?

Рис. IX-25

Решение

Изображение, получаемое в плоском зеркале, обладает свойством латеральной (зеркальной) инверсии. Это означает, что правая сторона объекта в отражении становится левой, а левая — правой. Представьте, что вы стоите перед зеркалом и поднимаете правую руку. Ваше отражение поднимет руку, которая находится слева с вашей точки зрения.

На рисунке IX-25 показано мнимое изображение спортсмена в зеркале. В этом изображении спортсмен держит мяч в своей левой руке. Поскольку изображение в зеркале инвертировано по горизонтали, левая рука изображения соответствует правой руке реального спортсмена.

Таким образом, в действительности спортсмен держит мяч в правой руке.

Ответ: Спортсмен держит мяч в правой руке.

67.22 [1556] Девочка стоит в полутора метрах от плоского зеркала. На каком расстоянии от себя она видит в нём своё изображение?

Дано:

Расстояние от девочки до зеркала, $d_o = 1.5$ м.

Данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Расстояние от девочки до её изображения, $L$.

Решение:

Изображение предмета в плоском зеркале является мнимым и располагается симметрично предмету относительно плоскости зеркала. Это означает, что расстояние от изображения до зеркала ($d_i$) равно расстоянию от предмета (девочки) до зеркала ($d_o$).

$d_i = d_o$

Расстояние, на котором девочка видит своё изображение, равно сумме расстояния от неё до зеркала и расстояния от зеркала до её изображения. Девочка, её изображение и точка на зеркале, в которую она смотрит, находятся на одной прямой, перпендикулярной зеркалу.

Искомое расстояние $L$ вычисляется по формуле:

$L = d_o + d_i$

Так как $d_i = d_o$, мы можем переписать формулу следующим образом:

$L = d_o + d_o = 2d_o$

Подставим в формулу значение из условия задачи:

$L = 2 \times 1.5 \text{ м} = 3 \text{ м}$

Таким образом, девочка видит своё изображение на расстоянии 3 метров от себя.

Ответ: 3 м.

67.23 [1557] Девочка стоит перед плоским зеркалом. Как изменится расстояние между ней и её изображением в зеркале, если она отступит от зеркала на 1 м?

Дано:

Изменение расстояния девочки от зеркала: $\Delta d = 1 \text{ м}$

Найти:

Изменение расстояния между девочкой и её изображением: $\Delta L - ?$

Решение:

Изображение предмета в плоском зеркале является мнимым и располагается на таком же расстоянии за зеркалом, на каком предмет находится перед ним. Расстояние между предметом и его изображением всегда вдвое больше, чем расстояние от предмета до зеркала.

Пусть первоначальное расстояние девочки от зеркала было $d_1$. Тогда расстояние от её изображения до зеркала было также $d_1$. Общее расстояние между девочкой и её изображением $L_1$ составляло:

$L_1 = d_1 + d_1 = 2d_1$

Девочка отступила от зеркала на 1 м. Новое расстояние от девочки до зеркала, $d_2$, стало:

$d_2 = d_1 + 1 \text{ м}$

Соответственно, новое расстояние от её изображения до зеркала также стало $d_2$. Новое общее расстояние между девочкой и её изображением, $L_2$, теперь равно:

$L_2 = d_2 + d_2 = 2d_2 = 2(d_1 + 1 \text{ м}) = 2d_1 + 2 \text{ м}$

Чтобы найти, как изменилось расстояние, найдем разницу между новым и первоначальным расстояниями:

$\Delta L = L_2 - L_1 = (2d_1 + 2 \text{ м}) - 2d_1 = 2 \text{ м}$

Таким образом, когда девочка удаляется от зеркала на 1 м, ее изображение также удаляется от зеркала на 1 м в противоположную сторону. Следовательно, общее расстояние между ними увеличивается на сумму этих двух расстояний: $1 \text{ м} + 1 \text{ м} = 2 \text{ м}$.

Ответ: Расстояние между ней и её изображением в зеркале увеличится на 2 м.

67.24 [1558] Девочка приближается к плоскому зеркалу со скоростью 0,25 м/с. С какой скоростью она сближается со своим изображением?

Дано:

Скорость девочки относительно зеркала $v_д = 0,25$ м/с.

Найти:

Скорость сближения девочки со своим изображением $v_{сбл}$ - ?

Решение:

Изображение в плоском зеркале находится на таком же расстоянии за зеркалом, на каком предмет находится перед зеркалом. Когда девочка приближается к зеркалу со скоростью $v_д$, ее изображение также приближается к зеркалу с той же скоростью $v_{из}$ с другой стороны.

Таким образом, скорость изображения относительно зеркала равна скорости девочки относительно зеркала:

$v_{из} = v_д = 0,25$ м/с.

Девочка и ее изображение движутся навстречу друг другу. Скорость их сближения $v_{сбл}$ равна сумме их скоростей относительно неподвижного зеркала.

Формула для скорости сближения:

$v_{сбл} = v_д + v_{из}$

Подставим известные значения в формулу:

$v_{сбл} = 0,25 \text{ м/с} + 0,25 \text{ м/с} = 0,5 \text{ м/с}$

Ответ: скорость, с которой девочка сближается со своим изображением, равна $0,5$ м/с.

67.25 [1559] Против двух зеркал (рис. IX-26) находится непрозрачный экран с вырезанным в нём отверстием ab, на которое падает пучок параллельных лучей света. Постройте дальнейший ход этих лучей и определите положение изображения пучка на экране.

Рис. IX-26

Для решения данной задачи необходимо построить ход лучей, используя закон отражения света, или воспользоваться методом изображений для системы из двух плоских зеркал.

Система из двух плоских зеркал, расположенных под прямым углом ($90^{\circ}$) друг к другу, образует так называемый "уголковый отражатель". Особенностью такого отражателя является то, что луч света, отразившийся последовательно от обеих зеркальных поверхностей, распространяется в направлении, строго противоположном первоначальному.

Проследим за ходом крайних лучей пучка, которые проходят через точки a (верхний край отверстия) и b (нижний край отверстия). Изначально лучи параллельны друг другу и перпендикулярны плоскости экрана Э.

Рис. 1. Построение хода лучей для определения положения изображения.

1. Построение хода луча, проходящего через точку 'a'.

• Луч, проходящий через точку a, движется горизонтально и падает на верхнее зеркало (обозначим его M1) в некоторой точке A1.
• Из рисунка видно, что зеркала расположены под углом $90^{\circ}$ друг к другу. Для простоты будем считать, что они наклонены под углом $45^{\circ}$ к горизонтали. Горизонтальный луч падает на зеркало M1 под углом падения $45^{\circ}$. Согласно закону отражения, угол отражения также равен $45^{\circ}$, и луч отражается строго вертикально вниз.
• Этот вертикальный луч падает на нижнее зеркало (M2) в точке A2. Угол падения на зеркало M2 также составляет $45^{\circ}$.
• После второго отражения от зеркала M2 луч снова меняет свое направление на $90^{\circ}$ и становится горизонтальным, но теперь он движется в обратном направлении (справа налево на рисунке).
• Этот луч возвращается на экран Э и попадает в точку a'.

2. Построение хода луча, проходящего через точку 'b'.

• Аналогично, нижний луч пучка, проходящий через точку b, отражается от зеркала M1 в точке B1, затем от зеркала M2 в точке B2 и возвращается на экран в точку b'.

3. Определение положения изображения пучка.

Поскольку все лучи в пучке параллельны, после двух отражений они также останутся параллельными друг другу и будут двигаться в направлении, противоположном исходному. Таким образом, на экране появится световое пятно a'b', которое является изображением пучка.

Для нахождения положения изображения a'b' можно использовать свойство симметрии для уголкового отражателя. Изображение, формируемое после двух отражений в зеркалах, расположенных под углом $90^{\circ}$, симметрично источнику относительно вершины V, где зеркала пересекаются.

Это означает, что изображение a'b' на экране будет:

• Равным по размеру отверстию аб.
• Перевернутым относительно отверстия аб. Точка a' (изображение точки a) будет находиться ниже точки b' (изображение точки b).
• Симметричным отверстию аб относительно горизонтальной оси, проходящей через вершину V. То есть, расстояние от этой оси до точки a равно расстоянию от оси до точки a', и то же самое справедливо для точек b и b'.

На Рис. 1 показано это построение. Пунктирные линии от a и b к a' и b' пересекаются в вершине V, что иллюстрирует центральную симметрию.

Ответ: Дальнейший ход лучей показан на рисунке. После двух отражений пучок света меняет направление на противоположное и возвращается на экран. Изображение пучка на экране будет являться отрезком a'b', который равен по величине отверстию аб, перевернут и расположен симметрично отверстию аб относительно горизонтальной линии, проходящей через вершину угла между зеркалами.

67.26 [н] В конструкции дровяной печи есть канал для удаления сажи, расположенный перпендикулярно к верхней вертикальной части дымохода. Как с помощью зеркала вы можете определить, пора ли приглашать трубочиста?

Для того чтобы определить, нужно ли чистить дымоход, можно использовать плоское зеркало. Этот метод основан на законе отражения света, который гласит, что угол падения луча света на зеркальную поверхность равен углу его отражения, и оба луча (падающий и отраженный) лежат в одной плоскости с перпендикуляром, восстановленным к точке падения.

Свет от выхода дымохода распространяется вниз по вертикальной трубе. Чтобы увидеть внутреннее состояние трубы, необходимо направить эти лучи света в глаз наблюдателя, который смотрит в горизонтальный канал для удаления сажи. Для этого нужно изменить направление распространения света на 90 градусов.

Чтобы изменить направление световых лучей на 90 градусов, необходимо поместить плоское зеркало в месте пересечения вертикального дымохода и горизонтального канала. Зеркало следует расположить под углом 45 градусов к вертикальной оси дымохода. Отражающая поверхность зеркала должна быть направлена вверх и в сторону наблюдателя, то есть к выходу из канала.

При таком расположении лучи света, идущие вертикально вниз по дымоходу, будут падать на зеркало. Если считать ось дымохода вертикальной, то угол между падающим лучом и нормалью к поверхности зеркала (линией, перпендикулярной зеркалу) составит 45 градусов. Согласно закону отражения, луч отразится под таким же углом к нормали. В результате общее изменение направления луча составит 45° + 45° = 90°, и он пойдет по горизонтальному каналу прямо к глазу наблюдателя.

Таким образом, посмотрев в зеркало, можно увидеть изображение просвета дымохода и состояние его стенок. Если просвет хорошо виден и он не сужен, а стенки относительно чистые, то чистка не требуется. Если же на стенках виден толстый слой сажи, а просвет дымохода значительно сужен, то пора приглашать трубочиста. По сути, зеркало позволяет создать простейший перископ.

Ответ: Необходимо поместить плоское зеркало в канал для удаления сажи на пересечении с дымоходом под углом 45 градусов к его вертикальной оси. Посмотрев в зеркало, можно будет увидеть внутреннюю поверхность дымохода и оценить количество сажи на его стенках.