Страница 235 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

69.1 [1583] На рисунке IX-46 изображены в разрезе линзы различной формы. Какие из этих линз собирающие, а какие рассеивающие? Какие из них имеют мнимый фокус?

Решение

Для решения задачи необходимо классифицировать представленные линзы и определить, какая из них обладает наименьшим фокусным расстоянием. Так как сам рисунок IX-46, на который ссылается условие, отсутствует, приведем общие принципы и рассуждения, которые позволят дать ответ при наличии изображения.

Какие из этих линз собирающие, а какие рассеивающие?

Линзы делятся на собирающие и рассеивающие в зависимости от их формы. Будем считать, что линзы изготовлены из материала с показателем преломления большим, чем у окружающей среды (например, стеклянная линза в воздухе).

• Собирающие линзы — это линзы, которые в центральной части толще, чем по краям. Они собирают параллельный пучок лучей в одной точке (фокусе). К этому типу относятся: двояковыпуклые, плоско-выпуклые и вогнуто-выпуклые (собирающие мениски).
• Рассеивающие линзы — это линзы, которые в центральной части тоньше, чем по краям. Они делают параллельный пучок лучей расходящимся. К этому типу относятся: двояковогнутые, плоско-вогнутые и выпукло-вогнутые (рассеивающие мениски).

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно посмотреть на рисунок и для каждой линзы сравнить ее толщину в центре и на краях.

Ответ: Собирающими являются линзы, у которых середина толще краев. Рассеивающими являются линзы, у которых середина тоньше краев.

Какие из них имеют минимальный фокус?

Фокусное расстояние линзы ($F$), или "фокус", обратно пропорционально ее оптической силе ($D$): $D = 1/F$. В свою очередь, оптическая сила тонкой линзы определяется ее геометрическими параметрами и показателем преломления материала ($n$) по формуле создателей линз:

$D = \frac{1}{F} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$

где $R_1$ и $R_2$ — радиусы кривизны сферических поверхностей линзы.

Минимальное фокусное расстояние (по абсолютной величине $|F|$) соответствует максимальной оптической силе (по абсолютной величине $|D|$). Из формулы следует, что оптическая сила максимальна, когда кривизна поверхностей наибольшая, то есть когда радиусы кривизны $|R_1|$ и $|R_2|$ минимальны.

Если сравнить разные типы линз, изготовленные из одного материала и имеющие одинаковую максимальную кривизну (т.е. одинаковый наименьший радиус кривизны поверхностей), то наибольшую оптическую силу будут иметь:

• Двояковыпуклая линза среди собирающих. Ее обе поверхности являются выпуклыми, и их вклады в оптическую силу суммируются.
• Двояковогнутая линза среди рассеивающих. Ее обе поверхности являются вогнутыми, и их вклады также суммируются, давая максимальную по модулю отрицательную оптическую силу.

Следовательно, на рисунке нужно найти линзу, у которой поверхности наиболее изогнуты ("крутые"). Визуально это будет самая "толстая" в центре собирающая линза или самая "тонкая" в центре рассеивающая линза.

Ответ: Минимальное фокусное расстояние (наибольшую оптическую силу) имеет линза с наибольшей кривизной поверхностей. При прочих равных условиях, это двояковыпуклая или двояковогнутая линза.

69.2 [1584] Иногда линзу называют «зажигательным стеклом». К каким линзам, изображённым на рисунке IX-46, такое название применить нельзя? Почему?

1 Двояковыпуклая

2 Выпукло-вогнутая

3 Плоско-выпуклая

4 Вогнуто-выпуклая

5 Плоско-вогнутая

6 Двояковогнутая

Рис. IX-46

Решение

Название «зажигательное стекло» исторически закрепилось за оптическими приборами, способными концентрировать солнечные лучи в небольшой области, создавая высокую температуру, достаточную для воспламенения горючих материалов. Таким свойством обладают только собирающие линзы.

Собирающая линза преломляет параллельный пучок лучей (например, от Солнца) таким образом, что после прохождения через линзу лучи пересекаются в одной точке — главном фокусе линзы. Вся энергия светового потока, падающего на линзу, концентрируется в этой точке. Собирающие линзы, как правило, имеют утолщение в центре по сравнению с краями. Их оптическая сила $D$ положительна.

Рассеивающие линзы, напротив, преобразуют параллельный пучок света в расходящийся. Они не имеют действительного фокуса, где бы собирались лучи. Вместо этого у них есть мнимый фокус — точка, из которой, как кажется, выходят расходящиеся лучи. Такие линзы тоньше в середине, чем по краям, и не способны концентрировать энергию света. Их оптическая сила $D$ отрицательна.

Проанализируем линзы, представленные на рисунке IX-46:

• Линзы 1 (двояковыпуклая), 3 (плоско-выпуклая) и 4 (вогнуто-выпуклая) являются собирающими, так как их центральная часть толще краев. Они могут быть использованы как «зажигательные стекла».
• Линзы 2 (выпукло-вогнутая), 5 (плоско-вогнутая) и 6 (двояковогнутая) являются рассеивающими, так как их центральная часть тоньше краев. Они рассеивают световые лучи.

Следовательно, название «зажигательное стекло» не может быть применено к рассеивающим линзам, так как они не собирают, а рассеивают энергию солнечного света.

Ответ: Название «зажигательное стекло» нельзя применить к линзам 2, 5 и 6. Это связано с тем, что данные линзы (выпукло-вогнутая, плоско-вогнутая и двояковогнутая) являются рассеивающими. Они не собирают параллельные лучи света в одной точке (фокусе), а, наоборот, делают их расходящимися, тем самым уменьшая плотность энергии светового потока и не позволяя достичь температуры воспламенения.

69.3 [1585] Линзы, изображённые на рисунке IX-47, изготовлены из одинакового стекла. Какая из них имеет меньшее фокусное расстояние?

Рис. IX-47

Дано:

На рисунке изображены две двояковыпуклые линзы (1 и 2). Линзы изготовлены из одинакового материала, следовательно, их показатели преломления равны: $n_1 = n_2 = n$. Линзы находятся в одинаковой среде (например, в воздухе), поэтому показатель преломления среды для обеих линз также одинаков: $n_{среды1} = n_{среды2} = n_{среды}$. Из рисунка видно, что линза 2 имеет большую кривизну поверхностей (более выпуклая), чем линза 1.

Найти:

Какая из линз, 1 или 2, имеет меньшее фокусное расстояние $F$.

Решение:

Оптическая сила $D$ тонкой линзы связана с ее фокусным расстоянием $F$ соотношением $D = \frac{1}{F}$. В свою очередь, оптическая сила определяется по формуле тонкой линзы:

$D = (\frac{n_{линзы}}{n_{среды}} - 1) \cdot (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})$

Здесь $n_{линзы}$ — абсолютный показатель преломления материала линзы, $n_{среды}$ — абсолютный показатель преломления окружающей среды, а $R_1$ и $R_2$ — радиусы кривизны сферических поверхностей линзы.

Согласно условию, обе линзы изготовлены из одного и того же материала и находятся в одной и той же среде. Это означает, что множитель $(\frac{n_{линзы}}{n_{среды}} - 1)$ для обеих линз имеет одинаковое значение.

Таким образом, оптическая сила линзы $D$ в данном случае зависит только от суммы обратных радиусов кривизны ее поверхностей $(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})$. Эта величина характеризует общую кривизну линзы.

Из рисунка видно, что линза 2 является более выпуклой, то есть ее поверхности имеют большую кривизну по сравнению с линзой 1. Большая кривизна поверхности соответствует меньшему радиусу кривизны. Если мы обозначим радиусы кривизны линзы 1 как $R_{1,1}$ и $R_{1,2}$, а линзы 2 — как $R_{2,1}$ и $R_{2,2}$, то будут выполняться неравенства: $R_{2,1} < R_{1,1}$ и $R_{2,2} < R_{1,2}$.

Так как радиусы кривизны у линзы 2 меньше, то обратные им величины будут больше. Следовательно, и сумма этих величин для линзы 2 будет больше, чем для линзы 1:

$(\frac{1}{R_{2,1}} + \frac{1}{R_{2,2}}) > (\frac{1}{R_{1,1}} + \frac{1}{R_{1,2}})$

Это означает, что оптическая сила линзы 2 больше оптической силы линзы 1: $D_2 > D_1$.

Фокусное расстояние обратно пропорционально оптической силе ($F = 1/D$). Поэтому линза с большей оптической силой обладает меньшим фокусным расстоянием. Так как $D_2 > D_1$, отсюда следует, что $F_2 < F_1$.

Ответ: меньшее фокусное расстояние имеет линза 2.

69.4 [1586] Как называются линзы, изображённые на рисунке IX-48? Какая из них имеет действительный фокус, а какая — мнимый? Одинаково ли у них фокусное расстояние?

a) $F$, $O$

б) $F$, $O$

Рис. IX-48

Как называются линзы, изображённые на рисунке IX-48?

На рисунке а) изображена рассеивающая линза. Она имеет вогнутую форму, то есть она тоньше в центре, чем по краям. Такие линзы преобразуют параллельный пучок света в расходящийся.

На рисунке б) изображена собирающая линза. Она имеет выпуклую форму, то есть она толще в центре, чем по краям. Такие линзы преобразуют параллельный пучок света в сходящийся, собирая его в одной точке.

Ответ: На рисунке а) изображена рассеивающая линза, а на рисунке б) — собирающая линза.

Какая из них имеет действительный фокус, а какая — мнимый?

Действительный (или вещественный) фокус — это точка на главной оптической оси, в которой пересекаются сами световые лучи после их преломления в линзе. Такой фокус имеет собирающая линза, что и показано на рисунке б).

Мнимый фокус — это точка на главной оптической оси, в которой пересекаются продолжения преломлённых лучей (построенные в сторону, противоположную распространению света). Такой фокус имеет рассеивающая линза, что показано на рисунке а).

Ответ: Собирающая линза (б) имеет действительный фокус, а рассеивающая линза (а) — мнимый фокус.

Одинаково ли у них фокусное расстояние?

Фокусное расстояние — это расстояние от оптического центра линзы (точка О) до её главного фокуса (точка F). Модуль фокусного расстояния обозначается как $|F|$. Если визуально сравнить отрезки OF на обоих рисунках, можно заметить, что их длины различны. На рисунке а) фокусное расстояние несколько больше, чем на рисунке б). Следовательно, фокусные расстояния этих линз не одинаковы.

Ответ: Нет, судя по рисунку, фокусные расстояния у линз неодинаковы.

69.5 [1587] Линзу обрезали сверху и снизу (в вертикальном положении). Изменилось ли при этом её фокусное расстояние?

Решение

Фокусное расстояние линзы является её фундаментальной оптической характеристикой, которая зависит от кривизны её поверхностей и показателя преломления материала, из которого она сделана. Для тонкой линзы эта зависимость выражается формулой:

$D = \frac{1}{F} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$

где $F$ – фокусное расстояние, $D$ – оптическая сила, $n$ – показатель преломления материала линзы, а $R_1$ и $R_2$ – радиусы кривизны её сферических поверхностей.

Когда линзу обрезают сверху и снизу, изменяется только её размер (апертура), то есть уменьшается площадь поверхности, через которую может проходить свет. Однако ключевые параметры, определяющие фокусное расстояние, остаются неизменными:

1. 1. Показатель преломления $n$ не меняется, так как материал линзы остался тем же.
2. 2. Радиусы кривизны $R_1$ и $R_2$ также не меняются. Оставшаяся часть линзы является фрагментом тех же самых сфер, что и исходная целая линза.

Поскольку все величины в правой части формулы ($n$, $R_1$, $R_2$) не изменились, то и фокусное расстояние $F$ останется прежним. Каждый участок линзы способен фокусировать параллельные лучи в одной и той же точке — главном фокусе.

Основное последствие обрезания линзы — уменьшение её светосилы. Через меньшую по площади линзу будет проходить меньше света, поэтому изображение, создаваемое ею, станет более тусклым, но его положение и размер (для заданного положения предмета) не изменятся.

Ответ: Нет, фокусное расстояние линзы при этом не изменилось.