Страница 240 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

69.24 [1606] При каком условии линза с фокусным расстоянием 8 см может дать прямое увеличенное изображение видимого в ней предмета? Каким будет изображение: действительным или мнимым?

Дано:

Фокусное расстояние линзы: $F = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$
Требуемое изображение: прямое, увеличенное.

Найти:

1. Условие, при котором линза дает прямое увеличенное изображение.
2. Тип изображения (действительное или мнимое).

Решение:

Для получения увеличенного изображения предмета необходима собирающая линза, так как рассеивающая линза всегда дает уменьшенное изображение. У собирающей линзы фокусное расстояние является положительной величиной, $F > 0$.

При каком условии линза с фокусным расстоянием 8 см может дать прямое увеличенное изображение видимого в ней предмета?

Прямое изображение, даваемое собирающей линзой, всегда является мнимым. Для получения такого изображения предмет должен быть расположен между оптическим центром линзы и ее главным фокусом. Проверим это с помощью формулы тонкой линзы:
$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} $
где $d$ — расстояние от предмета до линзы, а $f$ — расстояние от линзы до изображения. Для мнимого изображения $f < 0$.
Выразим из формулы величину, обратную расстоянию до изображения:
$ \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{d \cdot F} $
Чтобы $f$ было отрицательным, необходимо, чтобы $1/f$ также было отрицательным. Поскольку $d > 0$ и $F > 0$, знаменатель $d \cdot F$ всегда положителен. Следовательно, числитель должен быть отрицательным:
$ d - F < 0 \implies d < F $
Это условие для получения прямого (мнимого) изображения.
Теперь проверим, будет ли изображение увеличенным. Линейное увеличение линзы определяется как $Г = \frac{|f|}{d}$. Изображение увеличено, если $Г > 1$, то есть $|f| > d$.
Найдем $|f|$:
$ |f| = |\frac{d \cdot F}{d - F}| = \frac{d \cdot F}{-(d - F)} = \frac{d \cdot F}{F - d} $ (так как $d < F$, то $d-F$ отрицательно).
Проверим неравенство $|f| > d$:
$ \frac{d \cdot F}{F - d} > d $
Поскольку $d > 0$, можно сократить на $d$:
$ \frac{F}{F - d} > 1 $
Так как $F-d > 0$, умножим обе части на $F-d$:
$ F > F - d \implies 0 > -d \implies d > 0 $
Это условие всегда выполняется для реального предмета. Таким образом, любое положение предмета в пределах фокусного расстояния ($0 < d < F$) дает прямое и увеличенное изображение.

Ответ: Линза даст прямое увеличенное изображение, если предмет находится на расстоянии от линзы, меньшем ее фокусного расстояния, то есть $d < 8 \text{ см}$.

Каким будет изображение: действительным или мнимым?

Как было установлено в предыдущем пункте, прямое изображение, создаваемое одной собирающей линзой, может быть только мнимым. Это является следствием расположения предмета на расстоянии $d < F$. В этом случае лучи, выходящие из линзы, являются расходящимися, и их продолжения пересекаются с той же стороны от линзы, где находится предмет, формируя мнимое изображение. В формуле тонкой линзы это соответствует отрицательному значению расстояния до изображения $f$.

Ответ: Изображение будет мнимым.

$69.25^\circ [1607^\circ]$ Как нужно расположить собирающую линзу, чтобы видеть в ней изображения букв этой строки увеличенными? Какими будут изображения букв: действительными или мнимыми?

Как нужно расположить собирающую линзу, чтобы видеть в ней изображения букв этой строки увеличенными?
Чтобы увидеть увеличенное изображение, собирающую линзу необходимо использовать как лупу. Для этого предмет (буквы) следует расположить между линзой и её передним фокусом. Это означает, что расстояние от букв до оптического центра линзы $d$ должно быть меньше фокусного расстояния линзы $F$.
Математически это условие записывается как $d < F$.

Ответ: собирающую линзу нужно расположить так, чтобы расстояние от нее до букв было меньше ее фокусного расстояния.

Какими будут изображения букв: действительными или мнимыми?
Когда предмет расположен ближе к собирающей линзе, чем ее фокусное расстояние ($d < F$), линза формирует прямое, увеличенное и мнимое изображение. Такое изображение образуется в результате пересечения не самих световых лучей, а их продолжений, проведенных в обратную сторону. Мнимое изображение нельзя спроецировать на экран, но его можно наблюдать глазом, смотрящим через линзу. Стоит отметить, что действительное изображение, получаемое с помощью одной собирающей линзы, всегда является перевернутым, что сделало бы чтение текста невозможным.

Ответ: изображения букв будут мнимыми.

$69.26^\circ [1608^\circ]$

Какими будут изображения букв этой строки, если рассматривать их с помощью рассеивающей линзы: прямыми или перевёрнутыми; увеличенными или уменьшенными; мнимыми или действительными?

Изображение любого действительного предмета (в данном случае, букв), рассматриваемого через рассеивающую линзу, всегда обладает определёнными характеристиками. Чтобы их определить, воспользуемся основными формулами геометрической оптики.

Формула тонкой линзы связывает расстояние от предмета до линзы $d$, расстояние от линзы до изображения $f$ и фокусное расстояние линзы $F$:

$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $

Линейное увеличение линзы $Г$ показывает отношение размера изображения к размеру предмета и его ориентацию:

$ Г = -\frac{f}{d} $

В соответствии с правилом знаков, для рассеивающей линзы фокусное расстояние считается отрицательным ($F < 0$). Предмет (буквы) является действительным, поэтому расстояние до него положительно ($d > 0$).

Прямыми или перевёрнутыми

Ориентация изображения (прямое или перевёрнутое) зависит от знака линейного увеличения $Г$. Если $Г > 0$, изображение прямое. Если $Г < 0$, изображение перевёрнутое. Для определения знака $Г$ необходимо сначала найти знак расстояния до изображения $f$.

Из формулы тонкой линзы выразим $1/f$:

$ \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} $

Поскольку $F < 0$ (рассеивающая линза) и $d > 0$ (действительный предмет), то величина $1/F$ отрицательна, и величина $-1/d$ также отрицательна. Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна, следовательно, $1/f < 0$, а значит и $f < 0$.

Теперь подставим знаки в формулу увеличения:

$ Г = -\frac{f}{d} = - \frac{(\text{отрицательное число})}{(\text{положительное число})} > 0 $

Так как увеличение $Г$ положительно, изображение является прямым.

Ответ: прямыми.

Увеличенными или уменьшенными

Размер изображения относительно предмета определяется модулем увеличения $|Г|$. Если $|Г| > 1$, изображение увеличенное, а если $|Г| < 1$ — уменьшенное.

Рассмотрим выражение для $1/f$ по модулю: $ |\frac{1}{f}| = | \frac{1}{F} - \frac{1}{d} | $. Поскольку $f$ и $F$ отрицательны, а $d$ положительно, это можно переписать как $ \frac{1}{|f|} = \frac{1}{|F|} + \frac{1}{d} $. Из этого равенства следует, что $ \frac{1}{|f|} > \frac{1}{d} $, что в свою очередь означает $|f| < d$.

Теперь рассмотрим модуль увеличения:

$ |Г| = |-\frac{f}{d}| = \frac{|f|}{d} $

Поскольку $|f| < d$, то отношение $ \frac{|f|}{d} < 1 $. Следовательно, $|Г| < 1$, и изображение всегда будет уменьшенным.

Ответ: уменьшенными.

Мнимыми или действительными

Изображение является действительным, если оно формируется пересечением самих световых лучей ($f > 0$), и мнимым, если оно формируется пересечением их продолжений ($f < 0$).

Как было установлено в первом пункте, при рассмотрении действительного предмета ($d > 0$) в рассеивающей линзе ($F < 0$), расстояние до изображения $f$ всегда получается отрицательным ($f < 0$). Отрицательное значение $f$ однозначно указывает на то, что изображение является мнимым. Оно находится по ту же сторону от линзы, что и сам предмет.

Ответ: мнимыми.

69.27 [1609] У какой из линз больше оптическая сила, если они сделаны из одинакового стекла (см. рис. IX-47)?

69.27 [1609]

Оптическая сила линзы $D$ — это физическая величина, характеризующая преломляющую способность линзы. Она обратно пропорциональна фокусному расстоянию линзы $F$ ($D = 1/F$).

Оптическая сила зависит от показателя преломления материала, из которого сделана линза, и от радиусов кривизны ее поверхностей. Для тонкой линзы, находящейся в воздухе, эта зависимость выражается формулой (формулой шлифовщика линз):

$D = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$

где $n$ — показатель преломления материала линзы, а $R_1$ и $R_2$ — радиусы кривизны ее поверхностей.

По условию задачи, линзы сделаны из одинакового стекла. Это означает, что показатель преломления $n$ для них одинаков. Следовательно, различие в их оптических силах будет определяться только геометрическим фактором, то есть выражением в скобках $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.

Чем более выпуклыми (крутыми) являются поверхности линзы, тем меньше их радиусы кривизны. Для собирающей линзы (например, двояковыпуклой) радиус первой по ходу луча поверхности $R_1$ положителен, а второй $R_2$ отрицателен. Формула тогда показывает, что чем меньше абсолютные значения радиусов $R_1$ и $R_2$, тем больше будет значение всего выражения и, соответственно, тем больше будет оптическая сила линзы $D$.

Таким образом, большей оптической силой обладает та линза, у которой поверхности более изогнуты. Визуально такая линза будет выглядеть более "толстой" в центре по сравнению с линзой с меньшей оптической силой при одинаковом диаметре.

Ответ: большей оптической силой обладает линза с большей кривизной поверхностей (то есть с меньшими радиусами кривизны).

69.28 [1610] Одинаковую ли оптическую силу имеют линзы, описанные в задаче 69.4?

Для ответа на вопрос необходимо обратиться к условиям задачи 69.4. В этой задаче рассматриваются две линзы с заданными оптическими силами.

Дано:

Оптическая сила первой линзы: $D_1 = +5$ дптр
Оптическая сила второй линзы: $D_2 = -5$ дптр

Найти:

Определить, одинаковы ли оптические силы линз, то есть выполняется ли равенство $D_1 = D_2$.

Решение:

Оптическая сила линзы — это физическая величина, которая характеризует её преломляющую способность. Оптическая сила является алгебраической величиной, то есть она имеет не только числовое значение, но и знак.

Знак оптической силы определяет тип линзы и характер её действия на световые лучи:

1. Если оптическая сила положительна ($D > 0$), линза является собирающей. Первая линза с $D_1 = +5$ дптр является собирающей.

2. Если оптическая сила отрицательна ($D < 0$), линза является рассеивающей. Вторая линза с $D_2 = -5$ дптр является рассеивающей.

Сравним данные значения оптических сил: $D_1 = +5$ дптр и $D_2 = -5$ дптр. Очевидно, что $+5 \neq -5$. Следовательно, оптические силы этих линз не являются одинаковыми.

Хотя абсолютные значения (модули) их оптических сил равны ($|D_1| = |D_2| = 5$ дптр), сами величины различны из-за противоположных знаков. Разные знаки указывают на то, что линзы оказывают противоположное действие на параллельные пучки света: одна собирает их в фокусе, а другая — рассеивает.

Ответ: нет, оптические силы линз, описанных в задаче 69.4, не одинаковы. Они равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку ($D_1 = +5$ дптр, а $D_2 = -5$ дптр), что означает, что одна линза собирающая, а другая — рассеивающая.

69.29 [1611] Измерив на рисунке IX-48 фокусные расстояния линз, определите оптическую силу каждой из них.

Поскольку в задаче требуется провести измерения по рисунку IX-48, который не предоставлен, решение будет основано на гипотетических данных, которые могли бы быть получены с такого рисунка. Предположим, что на рисунке изображены две линзы (собирающая и рассеивающая) на координатной сетке, где масштаб одной клетки равен 1 см.

Дано:

Предположим, что измерения по рисунку дали следующие фокусные расстояния:

Для собирающей линзы: $F_1 = 2 \text{ см}$

Для рассеивающей линзы: $F_2 = -5 \text{ см}$ (фокусное расстояние рассеивающей линзы отрицательно)

Перевод в систему СИ:

$F_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$F_2 = -5 \text{ см} = -0.05 \text{ м}$

Найти:

$D_1, D_2$ — оптические силы линз.

Решение:

Оптическая сила линзы $(D)$ — это физическая величина, обратная её фокусному расстоянию $(F)$, выраженному в метрах. Единицей измерения оптической силы является диоптрия (дптр).

Формула для расчёта оптической силы: $D = \frac{1}{F}$

1. Оптическая сила собирающей линзы

Используем измеренное фокусное расстояние для первой (собирающей) линзы $F_1 = 0.02 \text{ м}$.

$D_1 = \frac{1}{F_1} = \frac{1}{0.02 \text{ м}} = 50 \text{ дптр}$

Ответ: Оптическая сила собирающей линзы равна $50 \text{ дптр}$.

2. Оптическая сила рассеивающей линзы

Используем измеренное фокусное расстояние для второй (рассеивающей) линзы $F_2 = -0.05 \text{ м}$. Фокусное расстояние для рассеивающей линзы по определению является отрицательной величиной, поэтому и ее оптическая сила будет отрицательной.

$D_2 = \frac{1}{F_2} = \frac{1}{-0.05 \text{ м}} = -20 \text{ дптр}$

Ответ: Оптическая сила рассеивающей линзы равна $-20 \text{ дптр}$.

69.30 [1612] Фокусные расстояния трёх линз равны $1,25 \text{ м}$; $0,5 \text{ м}$; $0,04 \text{ м}$. Чему равна оптическая сила каждой линзы?

Дано:

Фокусное расстояние первой линзы $F_1 = 1,25$ м
Фокусное расстояние второй линзы $F_2 = 0,5$ м
Фокусное расстояние третьей линзы $F_3 = 0,04$ м

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Оптическую силу каждой линзы: $D_1, D_2, D_3$ - ?

Решение:

Оптическая сила линзы ($D$) является величиной, обратной её фокусному расстоянию ($F$), выраженному в метрах. Единицей измерения оптической силы является диоптрия (дптр). Расчёт производится по формуле:

$D = \frac{1}{F}$

Рассчитаем оптическую силу для каждой из трёх линз.

Оптическая сила первой линзы

Для линзы с фокусным расстоянием $F_1 = 1,25$ м оптическая сила равна:

$D_1 = \frac{1}{1,25 \text{ м}} = 0,8 \text{ дптр}$

Ответ: оптическая сила первой линзы равна 0,8 дптр.

Оптическая сила второй линзы

Для линзы с фокусным расстоянием $F_2 = 0,5$ м оптическая сила равна:

$D_2 = \frac{1}{0,5 \text{ м}} = 2 \text{ дптр}$

Ответ: оптическая сила второй линзы равна 2 дптр.

Оптическая сила третьей линзы

Для линзы с фокусным расстоянием $F_3 = 0,04$ м оптическая сила равна:

$D_3 = \frac{1}{0,04 \text{ м}} = 25 \text{ дптр}$

Ответ: оптическая сила третьей линзы равна 25 дптр.

69.31 [1613] Фокусные расстояния трёх линз равны 0,8 м; 250 см; 200 мм. Чему равна оптическая сила каждой линзы?

Дано:

Фокусное расстояние первой линзы $F_1 = 0,8$ м

Фокусное расстояние второй линзы $F_2 = 250$ см

Фокусное расстояние третьей линзы $F_3 = 200$ мм

$F_1 = 0,8$ м
$F_2 = 250 \text{ см} = 2,5 \text{ м}$
$F_3 = 200 \text{ мм} = 0,2 \text{ м}$

Найти:

Оптическую силу каждой линзы — $D_1, D_2, D_3$.

Решение:

Оптическая сила линзы $D$ — это величина, обратная её фокусному расстоянию $F$. Для расчета оптической силы фокусное расстояние должно быть выражено в метрах (система СИ). Формула имеет вид:

$D = \frac{1}{F}$

Единицей измерения оптической силы является диоптрия (дптр), где $1 \text{ дптр} = 1 \text{ м}^{-1}$.

Рассчитаем оптическую силу для каждой линзы, используя их фокусные расстояния, переведенные в метры.

Расчет для линзы с фокусным расстоянием 0,8 м

Фокусное расстояние $F_1 = 0,8$ м.

Оптическая сила первой линзы:

$D_1 = \frac{1}{F_1} = \frac{1}{0,8 \text{ м}} = 1,25$ дптр.

Ответ: оптическая сила линзы равна $1,25$ дптр.

Расчет для линзы с фокусным расстоянием 250 см

Фокусное расстояние, переведенное в метры: $F_2 = 2,5$ м.

Оптическая сила второй линзы:

$D_2 = \frac{1}{F_2} = \frac{1}{2,5 \text{ м}} = 0,4$ дптр.

Ответ: оптическая сила линзы равна $0,4$ дптр.

Расчет для линзы с фокусным расстоянием 200 мм

Фокусное расстояние, переведенное в метры: $F_3 = 0,2$ м.

Оптическая сила третьей линзы:

$D_3 = \frac{1}{F_3} = \frac{1}{0,2 \text{ м}} = 5$ дптр.

Ответ: оптическая сила линзы равна $5$ дптр.

69.32 [1614] Оптическая сила линз у очков: 1,25 дптр; 2 дптр; 4 дптр. Чему равны фокусные расстояния таких линз?

Дано:

Оптическая сила первой линзы $D_1 = 1,25$ дптр

Оптическая сила второй линзы $D_2 = 2$ дптр

Оптическая сила третьей линзы $D_3 = 4$ дптр

Единица оптической силы, диоптрия (дптр), является производной единицей СИ и равна $1 \text{ дптр} = 1 \text{ м}^{-1}$. Перевод данных в другую систему единиц не требуется.

Найти:

Фокусные расстояния линз $F_1, F_2, F_3$.

Решение:

Оптическая сила линзы $D$ — это величина, обратная её фокусному расстоянию $F$. Связь между ними выражается формулой:

$D = \frac{1}{F}$

Соответственно, фокусное расстояние можно найти по формуле:

$F = \frac{1}{D}$

При подстановке в эту формулу значения оптической силы в диоптриях (дптр), фокусное расстояние получается в метрах (м). Выполним расчеты для каждого из заданных значений оптической силы.

1,25 дптр

Найдем фокусное расстояние для линзы с оптической силой $D_1 = 1,25$ дптр:

$F_1 = \frac{1}{1,25} = 0,8 \text{ м}$

В сантиметрах это составляет $80 \text{ см}$.

Ответ: 0,8 м (80 см).

2 дптр

Найдем фокусное расстояние для линзы с оптической силой $D_2 = 2$ дптр:

$F_2 = \frac{1}{2} = 0,5 \text{ м}$

В сантиметрах это составляет $50 \text{ см}$.

Ответ: 0,5 м (50 см).

4 дптр

Найдем фокусное расстояние для линзы с оптической силой $D_3 = 4$ дптр:

$F_3 = \frac{1}{4} = 0,25 \text{ м}$

В сантиметрах это составляет $25 \text{ см}$.

Ответ: 0,25 м (25 см).

69.33 [1615] У сильных микроскопов оптическая сила объективов примерно равна 500 дптр, а у самых сильных – 800 дптр. Оцените фокусные расстояния этих микроскопов.

Дано:

Оптическая сила объектива сильного микроскопа $D_1 = 500$ дптр
Оптическая сила объектива самого сильного микроскопа $D_2 = 800$ дптр

Диоптрия (дптр) является единицей измерения оптической силы, обратной метру. Перевод в систему СИ: $D_1 = 500 \text{ м}^{-1}$
$D_2 = 800 \text{ м}^{-1}$

Найти:

Фокусные расстояния объективов $F_1$ и $F_2$ - ?

Решение:

Оптическая сила линзы $D$ и ее фокусное расстояние $F$ связаны соотношением, где фокусное расстояние выражается в метрах: $D = \frac{1}{F}$

Следовательно, для нахождения фокусного расстояния необходимо использовать формулу: $F = \frac{1}{D}$

Фокусное расстояние у сильных микроскопов
Рассчитаем фокусное расстояние $F_1$ для объектива с оптической силой $D_1 = 500$ дптр: $F_1 = \frac{1}{500 \text{ дптр}} = 0.002 \text{ м}$
Для наглядности представим результат в миллиметрах, зная, что $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$: $F_1 = 0.002 \cdot 1000 = 2 \text{ мм}$

Ответ: фокусное расстояние объектива сильного микроскопа составляет 2 мм.

Фокусное расстояние у самых сильных микроскопов
Рассчитаем фокусное расстояние $F_2$ для объектива с оптической силой $D_2 = 800$ дптр: $F_2 = \frac{1}{800 \text{ дптр}} = 0.00125 \text{ м}$
Переведем результат в миллиметры: $F_2 = 0.00125 \cdot 1000 = 1.25 \text{ мм}$

Ответ: фокусное расстояние объектива самого сильного микроскопа составляет 1.25 мм.

69.34 [1616] В каком случае хрусталик глаза делается более выпуклым: если мы смотрим на близкие или далёкие предметы?

В каком случае хрусталик глаза делается более выпуклым: если мы смотрим на близкие или далёкие предметы?

Решение

Хрусталик глаза — это живая двояковыпуклая линза, способная изменять свою кривизну, а следовательно, и свою оптическую силу, чтобы фокусировать изображение объектов, находящихся на разном расстоянии, точно на сетчатку. Этот процесс называется аккомодацией. Расстояние от оптического центра хрусталика до сетчатки в глазу можно считать постоянным.

Связь между расстоянием до объекта $d$, расстоянием до изображения $f$ (в данном случае, до сетчатки) и оптической силой линзы $D$ (или её фокусным расстоянием $F$) описывается формулой тонкой линзы: $D = \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

Рассмотрим два предельных случая:

1. Когда мы смотрим на далёкие предметы. В этом случае расстояние до объекта $d$ очень велико, и его можно считать стремящимся к бесконечности ($d \to \infty$). Тогда величина $\frac{1}{d}$ стремится к нулю, и формула упрощается: $D \approx \frac{1}{f}$. Для фокусировки требуется минимальная оптическая сила. В этом состоянии цилиарные мышцы, которые управляют формой хрусталика, максимально расслаблены. Хрусталик под действием натяжения связок становится наиболее плоским (наименее выпуклым).

2. Когда мы смотрим на близкие предметы. При переводе взгляда на близкий объект расстояние $d$ значительно уменьшается. Поскольку $d$ находится в знаменателе, величина $\frac{1}{d}$ возрастает. Чтобы изображение по-прежнему было чётким, то есть оставалось на сетчатке (величина $f$ постоянна), согласно формуле линзы, оптическая сила $D$ должна увеличиться. Увеличение оптической силы линзы соответствует уменьшению её фокусного расстояния. Это достигается за счет сокращения цилиарных мышц, что приводит к ослаблению натяжения связок хрусталика. В результате хрусталик, благодаря своей эластичности, принимает более сферическую, то есть более выпуклую форму.

Следовательно, для фокусировки на близких объектах глазу необходимо увеличить оптическую силу, для чего хрусталик становится более выпуклым.

Ответ: Хрусталик глаза делается более выпуклым, когда мы смотрим на близкие предметы.

69.35* [1617*] Диаметр Солнца в 400 раз больше диаметра Луны. Почему же их видимые размеры почти одинаковы?

Дано:

Соотношение диаметров Солнца ($D_С$) и Луны ($D_Л$): $D_С = 400 \cdot D_Л$

Найти:

Объяснить, почему видимые размеры Солнца и Луны почти одинаковы.

Решение:

Видимый размер объекта для наблюдателя определяется не его реальным (линейным) размером, а угловым размером. Угловой размер — это угол, который образуют лучи, идущие от крайних точек объекта к глазу наблюдателя.

Для объектов, находящихся на большом расстоянии, угловой размер $\alpha$ (выраженный в радианах) можно приблизительно рассчитать по формуле:

$\alpha \approx \frac{D}{L}$

где $D$ — это линейный диаметр объекта, а $L$ — расстояние от наблюдателя до объекта.

Давайте запишем эту формулу для Солнца и Луны:

Угловой размер Солнца: $\alpha_С \approx \frac{D_С}{L_С}$

Угловой размер Луны: $\alpha_Л \approx \frac{D_Л}{L_Л}$

Здесь $L_С$ — расстояние от Земли до Солнца, а $L_Л$ — расстояние от Земли до Луны.

Тот факт, что их видимые размеры почти одинаковы, означает, что их угловые размеры почти равны:

$\alpha_С \approx \alpha_Л$

Следовательно, мы можем приравнять отношения:

$\frac{D_С}{L_С} \approx \frac{D_Л}{L_Л}$

Из условия задачи мы знаем, что $D_С = 400 \cdot D_Л$. Подставим это в наше равенство:

$\frac{400 \cdot D_Л}{L_С} \approx \frac{D_Л}{L_Л}$

Теперь мы можем сократить $D_Л$ (так как диаметр Луны не равен нулю), чтобы найти соотношение расстояний:

$\frac{400}{L_С} \approx \frac{1}{L_Л}$

Выразим отсюда $L_С$:

$L_С \approx 400 \cdot L_Л$

Это означает, что видимые размеры Солнца и Луны почти одинаковы, потому что Солнце находится примерно в 400 раз дальше от Земли, чем Луна. Это удивительное космическое совпадение. Во сколько раз Солнце больше Луны по диаметру, примерно во столько же раз оно и дальше от нас. Именно поэтому мы можем наблюдать полные солнечные затмения, когда диск Луны практически идеально закрывает диск Солнца.

Ответ: Видимые размеры Солнца и Луны почти одинаковы, потому что отношение их линейных размеров практически равно отношению расстояний от них до Земли. Солнце, будучи примерно в 400 раз больше Луны по диаметру, находится и примерно в 400 раз дальше от Земли.

69.36 [1618] Какие линзы (собирающие или рассеивающие) в очках у близорукого человека?

Решение

Близорукость, или миопия, — это дефект зрения, при котором человек хорошо видит объекты, расположенные на близком расстоянии, но плохо различает удалённые предметы. Причиной этого является то, что оптическая система глаза (хрусталик и роговица) имеет слишком большую преломляющую (оптическую) силу. Вследствие этого параллельные лучи света, идущие от далёких предметов, после преломления в глазу собираются в фокус не на сетчатке, а перед ней. На самой сетчатке получается расплывчатое изображение.

Чтобы скорректировать этот дефект, необходимо уменьшить общую оптическую силу системы «линза очков + глаз». Для этого перед глазом помещают линзу, которая бы ослабляла преломление лучей. Такие линзы называются рассеивающими.

Оптическая сила $D$ линзы является величиной, обратной её фокусному расстоянию $F$. Для системы из двух тонких линз (линза очков $D_{оч}$ и оптическая система глаза $D_{гл}$), расположенных вплотную, их общая оптическая сила $D_{общ}$ равна сумме их оптических сил:

$D_{общ} = D_{гл} + D_{оч}$

Так как у близорукого глаза оптическая сила $D_{гл}$ избыточна (слишком велика), для её компенсации и получения нормального зрения (т.е. для уменьшения $D_{общ}$) необходимо, чтобы оптическая сила линзы в очках $D_{оч}$ была отрицательной.

Линзы, имеющие отрицательную оптическую силу, являются рассеивающими. Они делают пучок параллельных лучей расходящимся, как бы отодвигая мнимое изображение объекта на конечное расстояние (в точку ясного видения близорукого глаза), которое глаз затем способен сфокусировать на сетчатке.

Ответ: В очках у близорукого человека используют рассеивающие линзы.

69.37 [1619] Вам дали очки. Как, не касаясь рукой линз очков, определить, для близоруких или для дальнозорких глаз они предназначены?

Решение

Чтобы определить, для коррекции близорукости или дальнозоркости предназначены очки, нужно выяснить, какой тип линз в них установлен. Очки для дальнозорких людей содержат собирающие (выпуклые) линзы, а очки для близоруких — рассеивающие (вогнутые) линзы. Определить тип линзы можно, не касаясь ее, с помощью наблюдения за оптическими эффектами, которые она создает.

Существует два основных способа это сделать.

1. Наблюдение за направлением смещения изображения.

Нужно взять очки за оправу и посмотреть сквозь одну из линз на любой предмет (например, на текст в книге, узор на обоях или любой вертикальный объект). Затем следует медленно перемещать очки в горизонтальном направлении (вправо-влево), наблюдая за изображением предмета в линзе.

• Если изображение смещается в противоположную сторону от направления движения очков (вы двигаете очки вправо, а изображение смещается влево), то линза в очках — собирающая. Такие линзы имеют положительную оптическую силу ($D > 0$). Это очки для дальнозорких.
• Если изображение смещается в ту же сторону, что и очки (вы двигаете очки вправо, и изображение также смещается вправо), то линза — рассеивающая. Такие линзы имеют отрицательную оптическую силу ($D < 0$). Это очки для близоруких.

2. Наблюдение за размером изображения.

Нужно поднести очки близко к какому-либо предмету (например, к тексту) и посмотреть на него через линзу.

• Если линза действует как увеличительное стекло и изображение предмета кажется крупнее его реального размера, то это собирающая линза. Следовательно, очки предназначены для дальнозорких.
• Если изображение предмета в линзе кажется меньше его реального размера, то это рассеивающая линза. Следовательно, очки предназначены для близоруких.

Первый способ является более универсальным и надежным для определения типа линзы.

Ответ:

Следует посмотреть на какой-либо предмет через линзу очков и перемещать их из стороны в сторону. Если изображение предмета перемещается в сторону, противоположную движению очков, то линзы собирающие, и очки предназначены для дальнозорких. Если изображение перемещается в ту же сторону, что и очки, то линзы рассеивающие, и очки предназначены для близоруких.

69.38 [1620] Какой оптический прибор по своему устройству наиболее похож на глаз человека?

Оптическим прибором, наиболее похожим по своему устройству на глаз человека, является фотоаппарат. Их сходство можно проследить, сравнив основные функциональные части.

Фокусирующая система (объектив и хрусталик)
В фотоаппарате имеется объектив — система линз, которая собирает лучи света и строит действительное, уменьшенное и перевернутое изображение. В глазу человека аналогичную функцию выполняет хрусталик — биологическая двояковыпуклая линза. Фокусировка на объектах, находящихся на разном расстоянии, в фотоаппарате достигается изменением расстояния между объективом и светочувствительным элементом, а в глазу — изменением кривизны хрусталика с помощью мышц (этот процесс называется аккомодацией).

Регулятор светового потока (диафрагма и зрачок)
Для регулирования количества света, попадающего внутрь, в объективе фотоаппарата установлена диафрагма — непрозрачная перегородка с отверстием, диаметр которого можно изменять. Аналогом диафрагмы в глазу является радужная оболочка, а отверстием в ней — зрачок. В зависимости от освещенности зрачок рефлекторно сужается (при ярком свете) или расширяется (в темноте).

Светочувствительная поверхность (матрица/пленка и сетчатка)
Сфокусированное изображение в фотоаппарате проецируется на светочувствительную поверхность. В современных цифровых аппаратах это электронная матрица (ПЗС или КМОП), а в старых моделях — фотопленка. В глазу эту роль выполняет сетчатка — сложная оболочка на задней стенке глаза, состоящая из светочувствительных клеток (палочек и колбочек), которые преобразуют свет в нервные импульсы.

Светонепроницаемая камера (корпус и глазное яблоко)
Чтобы на светочувствительный элемент попадал только свет, прошедший через объектив, все компоненты фотоаппарата заключены в светонепроницаемый корпус. По сути, это камера-обскура. В глазу эту функцию выполняет глазное яблоко, внутренняя поверхность которого (сосудистая оболочка) имеет темный пигмент, поглощающий рассеянный свет и предотвращающий засветку.

Таким образом, фотоаппарат является техническим аналогом глаза, повторяя его ключевые оптические принципы работы.

Ответ: фотоаппарат.

69.39 [1621] Почему проекционный аппарат даёт увеличенное изображение, а фотоаппарат — уменьшенное?

Решение

Различие в получаемых изображениях от проекционного аппарата и фотоаппарата объясняется их разным предназначением и, как следствие, разным расположением объекта относительно собирающей линзы (объектива). В основе работы обоих устройств лежит способность собирающей линзы формировать действительное изображение. Характер этого изображения (увеличенное или уменьшенное) зависит от расстояния до объекта.

Связь между расстоянием от объекта до линзы $d$, расстоянием от линзы до изображения $f$ и фокусным расстоянием линзы $F$ описывается формулой тонкой линзы: $$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $$ Линейное увеличение $\Gamma$, показывающее отношение размера изображения к размеру объекта, определяется формулой: $$ \Gamma = \frac{f}{d} $$ Изображение считается увеличенным, если $\Gamma > 1$, и уменьшенным, если $\Gamma < 1$.

Проекционный аппарат

Цель проектора — получить на экране большое изображение маленького объекта (слайда). Для этого необходимо, чтобы изображение было увеличенным, то есть $\Gamma > 1$. Из формулы увеличения следует, что расстояние до изображения $f$ должно быть больше расстояния до объекта $d$.

Чтобы выполнить это условие и получить действительное изображение, слайд (объект) помещают на расстояние $d$ от объектива, которое находится в промежутке между фокусным и двойным фокусным расстоянием: $F < d < 2F$. В этом случае, согласно формуле линзы, действительное, перевернутое и увеличенное изображение формируется на расстоянии $f > 2F$. Так как $f > 2F$ и $d < 2F$, условие $f > d$ выполняется.

Фотоаппарат

Цель фотоаппарата — получить на небольшой светочувствительной матрице уменьшенное изображение большого, как правило, удаленного объекта. Для этого необходимо, чтобы изображение было уменьшенным, то есть $\Gamma < 1$. Это означает, что расстояние до изображения $f$ должно быть меньше расстояния до объекта $d$.

Фотографируемые объекты обычно находятся далеко от камеры, поэтому расстояние до них $d$ значительно превышает двойное фокусное расстояние объектива: $d > 2F$. При таком условии действительное, перевернутое и уменьшенное изображение формируется на расстоянии $f$, близком к фокусному: $F < f \le 2F$. Поскольку $d$ очень велико, а $f$ мало, условие $f < d$ всегда соблюдается, и изображение получается уменьшенным.

Ответ: Проекционный аппарат дает увеличенное изображение, так как объект (слайд) располагается близко к фокусу объектива ($F < d < 2F$), что формирует увеличенное изображение на большом расстоянии от линзы. Фотоаппарат дает уменьшенное изображение, так как фотографируемый объект находится на большом расстоянии от объектива ($d > 2F$), в результате чего его уменьшенное изображение формируется вблизи фокуса линзы. Ключевым фактором является расстояние от объекта до объектива.