Номер 69.24, страница 240 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 69. Линзы. Глава 9. Оптические явления - номер 69.24, страница 240.

69.24 [1606] При каком условии линза с фокусным расстоянием 8 см может дать прямое увеличенное изображение видимого в ней предмета? Каким будет изображение: действительным или мнимым?

Дано:

Фокусное расстояние линзы: $F = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$
Требуемое изображение: прямое, увеличенное.

Найти:

1. Условие, при котором линза дает прямое увеличенное изображение.
2. Тип изображения (действительное или мнимое).

Решение:

Для получения увеличенного изображения предмета необходима собирающая линза, так как рассеивающая линза всегда дает уменьшенное изображение. У собирающей линзы фокусное расстояние является положительной величиной, $F > 0$.

При каком условии линза с фокусным расстоянием 8 см может дать прямое увеличенное изображение видимого в ней предмета?

Прямое изображение, даваемое собирающей линзой, всегда является мнимым. Для получения такого изображения предмет должен быть расположен между оптическим центром линзы и ее главным фокусом. Проверим это с помощью формулы тонкой линзы:
$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} $
где $d$ — расстояние от предмета до линзы, а $f$ — расстояние от линзы до изображения. Для мнимого изображения $f < 0$.
Выразим из формулы величину, обратную расстоянию до изображения:
$ \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{d \cdot F} $
Чтобы $f$ было отрицательным, необходимо, чтобы $1/f$ также было отрицательным. Поскольку $d > 0$ и $F > 0$, знаменатель $d \cdot F$ всегда положителен. Следовательно, числитель должен быть отрицательным:
$ d - F < 0 \implies d < F $
Это условие для получения прямого (мнимого) изображения.
Теперь проверим, будет ли изображение увеличенным. Линейное увеличение линзы определяется как $Г = \frac{|f|}{d}$. Изображение увеличено, если $Г > 1$, то есть $|f| > d$.
Найдем $|f|$:
$ |f| = |\frac{d \cdot F}{d - F}| = \frac{d \cdot F}{-(d - F)} = \frac{d \cdot F}{F - d} $ (так как $d < F$, то $d-F$ отрицательно).
Проверим неравенство $|f| > d$:
$ \frac{d \cdot F}{F - d} > d $
Поскольку $d > 0$, можно сократить на $d$:
$ \frac{F}{F - d} > 1 $
Так как $F-d > 0$, умножим обе части на $F-d$:
$ F > F - d \implies 0 > -d \implies d > 0 $
Это условие всегда выполняется для реального предмета. Таким образом, любое положение предмета в пределах фокусного расстояния ($0 < d < F$) дает прямое и увеличенное изображение.

Ответ: Линза даст прямое увеличенное изображение, если предмет находится на расстоянии от линзы, меньшем ее фокусного расстояния, то есть $d < 8 \text{ см}$.

Каким будет изображение: действительным или мнимым?

Как было установлено в предыдущем пункте, прямое изображение, создаваемое одной собирающей линзой, может быть только мнимым. Это является следствием расположения предмета на расстоянии $d < F$. В этом случае лучи, выходящие из линзы, являются расходящимися, и их продолжения пересекаются с той же стороны от линзы, где находится предмет, формируя мнимое изображение. В формуле тонкой линзы это соответствует отрицательному значению расстояния до изображения $f$.

Ответ: Изображение будет мнимым.