Номер 69.20, страница 239 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 69. Линзы. Глава 9. Оптические явления - номер 69.20, страница 239.

69.20 [1602] Где была расположена горящая свеча относительно собирающей линзы, если её изображение получилось уменьшенным? Какое это изображение: прямое или перевёрнутое, мнимое или действительное?

Где была расположена горящая свеча относительно собирающей линзы, если её изображение получилось уменьшенным?

Для анализа воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой линейного увеличения.
Формула тонкой линзы связывает расстояние от предмета до линзы $d$, расстояние от линзы до изображения $f$ и фокусное расстояние линзы $F$:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$
Для собирающей линзы $F > 0$.
Линейное увеличение линзы $Γ$ показывает, во сколько раз изображение больше или меньше предмета. Оно равно отношению расстояния до изображения к расстоянию до предмета:
$Γ = \frac{f}{d}$
По условию задачи, изображение получилось уменьшенным, это означает, что линейное увеличение меньше единицы:
$Γ < 1 \implies \frac{f}{d} < 1 \implies f < d$
Теперь выразим $f$ из формулы тонкой линзы и подставим в это неравенство.
$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{dF} \implies f = \frac{dF}{d-F}$
Собирающая линза дает уменьшенное изображение, только если оно действительное (см. следующий пункт). Для действительного изображения $f > 0$. Так как $d > 0$ и $F > 0$, из формулы для $f$ следует, что знаменатель должен быть положительным: $d - F > 0$, то есть $d > F$.
Подставим выражение для $f$ в неравенство $f < d$:
$\frac{dF}{d-F} < d$
Поскольку $d > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на $d$, не меняя его знака:
$\frac{F}{d-F} < 1$
Так как мы установили, что $d-F > 0$, можно умножить обе части на $(d-F)$:
$F < d-F$
Перенеся $F$ вправо, получим:
$2F < d$
Таким образом, чтобы получить уменьшенное изображение с помощью собирающей линзы, свечу необходимо расположить на расстоянии от линзы, превышающем её двойное фокусное расстояние.

Ответ: Горящая свеча была расположена на расстоянии от собирающей линзы, которое больше её двойного фокусного расстояния ($d > 2F$).

Какое это изображение: прямое или перевёрнутое, мнимое или действительное?

Характеристики изображения напрямую следуют из расположения свечи ($d > 2F$), определённого в предыдущем пункте.
Действительное или мнимое?
Как было показано ранее, при $d > F$ (а в нашем случае $d > 2F$), расстояние до изображения $f = \frac{dF}{d-F}$ является положительной величиной ($f > 0$). Это означает, что изображение формируется по другую сторону линзы в результате пересечения самих преломлённых лучей. Такое изображение называется действительным.
Прямое или перевёрнутое?
Любое действительное изображение, создаваемое одной собирающей линзой, является перевёрнутым. Это можно показать с помощью геометрического построения хода лучей или из формулы увеличения, учитывающей знаки: $Γ_{полн.} = -\frac{f}{d}$. Так как $d > 0$ и $f > 0$, полное увеличение будет отрицательным ($Γ_{полн.} < 0$), что и указывает на то, что изображение перевёрнуто относительно предмета.
Следовательно, полученное изображение является действительным и перевёрнутым.

Ответ: Изображение является действительным и перевёрнутым.