Страница 239 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

69.20 [1602] Где была расположена горящая свеча относительно собирающей линзы, если её изображение получилось уменьшенным? Какое это изображение: прямое или перевёрнутое, мнимое или действительное?

Где была расположена горящая свеча относительно собирающей линзы, если её изображение получилось уменьшенным?

Для анализа воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой линейного увеличения.
Формула тонкой линзы связывает расстояние от предмета до линзы $d$, расстояние от линзы до изображения $f$ и фокусное расстояние линзы $F$:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$
Для собирающей линзы $F > 0$.
Линейное увеличение линзы $Γ$ показывает, во сколько раз изображение больше или меньше предмета. Оно равно отношению расстояния до изображения к расстоянию до предмета:
$Γ = \frac{f}{d}$
По условию задачи, изображение получилось уменьшенным, это означает, что линейное увеличение меньше единицы:
$Γ < 1 \implies \frac{f}{d} < 1 \implies f < d$
Теперь выразим $f$ из формулы тонкой линзы и подставим в это неравенство.
$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{dF} \implies f = \frac{dF}{d-F}$
Собирающая линза дает уменьшенное изображение, только если оно действительное (см. следующий пункт). Для действительного изображения $f > 0$. Так как $d > 0$ и $F > 0$, из формулы для $f$ следует, что знаменатель должен быть положительным: $d - F > 0$, то есть $d > F$.
Подставим выражение для $f$ в неравенство $f < d$:
$\frac{dF}{d-F} < d$
Поскольку $d > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на $d$, не меняя его знака:
$\frac{F}{d-F} < 1$
Так как мы установили, что $d-F > 0$, можно умножить обе части на $(d-F)$:
$F < d-F$
Перенеся $F$ вправо, получим:
$2F < d$
Таким образом, чтобы получить уменьшенное изображение с помощью собирающей линзы, свечу необходимо расположить на расстоянии от линзы, превышающем её двойное фокусное расстояние.

Ответ: Горящая свеча была расположена на расстоянии от собирающей линзы, которое больше её двойного фокусного расстояния ($d > 2F$).

Какое это изображение: прямое или перевёрнутое, мнимое или действительное?

Характеристики изображения напрямую следуют из расположения свечи ($d > 2F$), определённого в предыдущем пункте.
Действительное или мнимое?
Как было показано ранее, при $d > F$ (а в нашем случае $d > 2F$), расстояние до изображения $f = \frac{dF}{d-F}$ является положительной величиной ($f > 0$). Это означает, что изображение формируется по другую сторону линзы в результате пересечения самих преломлённых лучей. Такое изображение называется действительным.
Прямое или перевёрнутое?
Любое действительное изображение, создаваемое одной собирающей линзой, является перевёрнутым. Это можно показать с помощью геометрического построения хода лучей или из формулы увеличения, учитывающей знаки: $Γ_{полн.} = -\frac{f}{d}$. Так как $d > 0$ и $f > 0$, полное увеличение будет отрицательным ($Γ_{полн.} < 0$), что и указывает на то, что изображение перевёрнуто относительно предмета.
Следовательно, полученное изображение является действительным и перевёрнутым.

Ответ: Изображение является действительным и перевёрнутым.

69.21 [1603] С помощью линзы девочка получала на экране увеличенное изображение нити накала лампы. Каким было изображение: прямым или перевёрнутым, мнимым или действительным?

Решение

Для определения характеристик изображения проанализируем условия задачи.

В задаче сказано, что изображение нити накала было получено на экране. Изображение, которое можно спроецировать на экран, формируется в результате пересечения самих световых лучей, а не их продолжений. Такое изображение по определению является действительным. Мнимые изображения, в отличие от действительных, нельзя получить на экране.

Далее определим, является ли изображение прямым или перевёрнутым. Действительное изображение можно получить только с помощью собирающей линзы. Важным свойством всех действительных изображений, получаемых с помощью одиночной собирающей линзы, является то, что они перевёрнутые.

Условие, что изображение было увеличенным, лишь уточняет расположение нити накала относительно линзы: она находилась между фокусом ($F$) и двойным фокусным расстоянием ($2F$).

Это также следует из формулы линейного увеличения линзы: $\Gamma = -\frac{f}{d}$. Здесь $d$ — расстояние от предмета до линзы, а $f$ — расстояние от линзы до изображения. Для действительного предмета $d > 0$. Поскольку изображение действительное, оно находится по другую сторону от линзы, и расстояние $f$ также положительно ($f > 0$). Таким образом, коэффициент увеличения $\Gamma$ будет отрицательным. Отрицательный знак увеличения как раз и означает, что изображение является перевёрнутым.

Ответ: изображение было перевёрнутым и действительным.

69.22 [1604] При помощи линзы было получено увеличенное перевёрнутое изображение пламени свечи. Где находилась свеча относительно линзы?

Решение

В задаче указано, что с помощью линзы получено увеличенное и перевёрнутое изображение. Разберем эти характеристики по порядку.

1. Тип изображения и линзы. Перевёрнутое изображение, создаваемое одной линзой, всегда является действительным. Действительное изображение предмета может создать только собирающая (выпуклая) линза. Рассеивающая (вогнутая) линза всегда даёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение. Следовательно, в задаче используется собирающая линза.

2. Расположение предмета. Рассмотрим, в каком случае собирающая линза даёт увеличенное и перевёрнутое изображение. Положение и характеристики изображения, создаваемого собирающей линзой, зависят от расстояния $d$ от предмета до линзы, где $F$ – фокусное расстояние линзы.

• Если предмет находится за двойным фокусом ($d > 2F$), изображение будет действительным, перевёрнутым и уменьшенным.
• Если предмет находится в двойном фокусе ($d = 2F$), изображение будет действительным, перевёрнутым и равным по размеру предмету.
• Если предмет находится между фокусом и двойным фокусом ($F < d < 2F$), изображение будет действительным, перевёрнутым и увеличенным.
• Если предмет находится в фокусе ($d = F$), изображение не формируется (лучи идут параллельно).
• Если предмет находится между линзой и фокусом ($d < F$), изображение будет мнимым, прямым и увеличенным.

Условия задачи (изображение увеличенное и перевёрнутое) соответствуют только одному случаю: когда предмет находится между фокусом и двойным фокусом линзы.

Это можно также показать с помощью формулы тонкой линзы и формулы линейного увеличения. Формула тонкой линзы: $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $, где $d$ – расстояние от предмета до линзы, $f$ – расстояние от линзы до изображения. Линейное увеличение $\Gamma$ определяется как $\Gamma = \frac{f}{d}$.

По условию, изображение увеличенное, значит $\Gamma > 1$. Отсюда следует, что $f/d > 1$, то есть $f > d$. Подставим это неравенство в формулу линзы, выразив $1/f$: $ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} $ Поскольку $f > d$, то $1/f < 1/d$. Тогда $ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} < \frac{1}{d} + \frac{1}{d} = \frac{2}{d} $. Получаем неравенство $ \frac{1}{F} < \frac{2}{d} $, из которого следует, что $d < 2F$.

Также, для получения действительного изображения ($f>0$) в собирающей линзе ($F>0$) предмет должен находиться дальше фокуса, то есть $d > F$.

Объединяя два полученных условия ($d < 2F$ и $d > F$), получаем, что свеча должна находиться на расстоянии $d$ от линзы, удовлетворяющем условию $F < d < 2F$.

Ответ: Свеча находилась между фокусом и двойным фокусным расстоянием собирающей линзы.

69.23 [1605] При каком условии собирающая линза может дать изображение предмета, равное по размеру самому предмету?

Дано:

Собирающая линза

Размер изображения $H$ равен размеру предмета $h$: $H = h$

Найти:

Расстояние от предмета до линзы $d$.

Решение:

Для нахождения условия, при котором собирающая линза дает изображение, равное по размеру предмету, воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой линейного увеличения.

Формула тонкой линзы имеет вид:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

где $F$ — фокусное расстояние линзы (для собирающей линзы $F > 0$), $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения.

Линейное увеличение линзы $\Gamma$ определяется как отношение размера изображения $H$ к размеру предмета $h$, а также как отношение расстояния от линзы до изображения $f$ к расстоянию от предмета до линзы $d$:

$\Gamma = \frac{H}{h} = \frac{f}{d}$

Согласно условию задачи, размер изображения равен размеру предмета:

$H = h$

Это означает, что линейное увеличение равно единице:

$\Gamma = \frac{H}{h} = 1$

Из формулы для увеличения следует:

$\frac{f}{d} = 1$

Отсюда получаем, что расстояние от линзы до изображения равно расстоянию от предмета до линзы:

$f = d$

Теперь подставим это равенство в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d}$

$\frac{1}{F} = \frac{2}{d}$

Выразим из этого соотношения искомое расстояние $d$:

$d = 2F$

Таким образом, для получения изображения, равного по размеру предмету, необходимо поместить предмет на двойном фокусном расстоянии от собирающей линзы. Изображение при этом также будет находиться на двойном фокусном расстоянии с другой стороны линзы, будет действительным и перевернутым.

Ответ:

Собирающая линза дает изображение, равное по размеру самому предмету, при условии, что предмет находится от линзы на расстоянии, равном двойному фокусному расстоянию ($d = 2F$).