Страница 246 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

71.15 [н] Какие энергетические переходы электрона в атоме приводят к ионизации атома (см. рис. X-1)?

$E_\infty = 0$

$r = \infty$

$E_5$

$E_4$

$E_3$

$E_2$

$E_1$

Основное состояние

Рис. X-1

Решение

Ионизация атома — это процесс отрыва электрона от атома. В результате ионизации атом превращается в положительно заряженный ион, а электрон становится свободным. На диаграмме энергетических уровней этому процессу соответствует переход электрона из связанного состояния (на одном из дискретных уровней $E_n$) в свободное состояние. Свободному электрону, находящемуся в покое на бесконечном удалении от ядра ($r = \infty$), условно приписывают нулевую энергию ($E_∞ = 0$). Все связанные состояния имеют отрицательную энергию ($E_n < 0$).

Для ионизации атому необходимо сообщить энергию, достаточную для того, чтобы электрон совершил переход на уровень $E_∞$ или выше. На схеме такие переходы показаны стрелками, направленными вверх (поглощение энергии) и заканчивающимися на уровне $E_∞$.

Рассмотрим переходы, показанные на рисунке X-1:

• Переходы, показанные стрелками вверх, но не достигающие уровня $E_∞$ (например, $E_1 \rightarrow E_2$, $E_1 \rightarrow E_5$, $E_3 \rightarrow E_4$), соответствуют возбуждению атома. Электрон переходит на более высокий энергетический уровень, но остается связанным с ядром.
• Переходы, заканчивающиеся на уровне $E_∞$, соответствуют ионизации. На рисунке показаны два таких перехода:
  1. Переход $E_1 \rightarrow E_∞$: ионизация атома из основного состояния.
  2. Переход $E_2 \rightarrow E_∞$: ионизация атома из возбужденного состояния.

Стрелки, направленные вниз, соответствуют излучению энергии (испусканию фотона) при переходе электрона на более низкий энергетический уровень и не имеют отношения к ионизации.

Ответ: К ионизации атома приводят энергетические переходы электрона, при которых он поглощает энергию и переходит из связанного состояния (с энергией $E_n$) в свободное состояние (с энергией $E \ge E_∞$). На данной схеме это переходы $E_1 \rightarrow E_∞$ и $E_2 \rightarrow E_∞$.

71.16 [н] Расположите энергетические переходы электрона в атоме (см. рис. X-1) в порядке убывания длины волны излучения: 1) при испускании кванта; 2) при поглощении кванта.

$E_\infty = 0$ $r = \infty$

$E_5$

$E_4$

$E_3$

$E_2$

$E_1$ Основное состояние

Рис. X-1

Согласно постулатам Бора, при переходе электрона между энергетическими уровнями $E_n$ и $E_k$ происходит излучение или поглощение кванта света (фотона) с энергией, равной разности энергий этих уровней: $ΔE = |E_n - E_k|$.

Энергия фотона связана с длиной волны излучения $λ$ соотношением: $ΔE = \frac{hc}{λ}$, где $h$ — постоянная Планка, а $c$ — скорость света.

Из этого следует, что длина волны $λ$ обратно пропорциональна разности энергий $ΔE$: $λ = \frac{hc}{ΔE}$.

Таким образом, чтобы расположить переходы в порядке убывания длины волны, необходимо расположить их в порядке возрастания разности энергий $ΔE$ для соответствующего перехода. Из диаграммы видно, что расстояние между энергетическими уровнями (разность энергий) уменьшается с ростом их номера.

При испускании кванта электрон переходит с более высокого энергетического уровня на более низкий. На схеме показаны следующие переходы с испусканием (стрелки вниз): $E_2 \rightarrow E_1$, $E_3 \rightarrow E_2$, $E_5 \rightarrow E_2$ и $E_{\infty} \rightarrow E_1$. Сравним разности энергий $ΔE$ для этих переходов.

Наименьшая разность энергий соответствует переходу $E_3 \rightarrow E_2$. Следующим по величине идет переход $E_5 \rightarrow E_2$. Далее следует переход $E_2 \rightarrow E_1$, так как из диаграммы видно, что разность энергий между первым и вторым уровнями больше, чем между вторым и пятым. Переход $E_{\infty} \rightarrow E_1$ соответствует наибольшей разности энергий.

Следовательно, порядок по возрастанию разности энергий $ΔE$ таков: $ΔE_{3 \rightarrow 2} < ΔE_{5 \rightarrow 2} < ΔE_{2 \rightarrow 1} < ΔE_{\infty \rightarrow 1}$. Этот порядок соответствует убыванию длины волны $λ$.

Ответ: переходы в порядке убывания длины волны излучения: $E_3 \rightarrow E_2$, $E_5 \rightarrow E_2$, $E_2 \rightarrow E_1$, $E_{\infty} \rightarrow E_1$.

При поглощении кванта электрон переходит с более низкого энергетического уровня на более высокий. На схеме показаны следующие переходы с поглощением (стрелки вверх): $E_1 \rightarrow E_2$, $E_3 \rightarrow E_4$ и $E_1 \rightarrow E_{\infty}$.

Сравним разности энергий $ΔE$ для этих переходов. Наименьшая разность энергий соответствует переходу $E_3 \rightarrow E_4$, так как уровни $E_3$ и $E_4$ расположены близко друг к другу по сравнению с нижними уровнями. Следующим по величине идет переход $E_1 \rightarrow E_2$. Переход $E_1 \rightarrow E_{\infty}$ (ионизация из основного состояния) соответствует наибольшей разности энергий.

Следовательно, порядок по возрастанию разности энергий $ΔE$ таков: $ΔE_{3 \rightarrow 4} < ΔE_{1 \rightarrow 2} < ΔE_{1 \rightarrow \infty}$. Этот порядок соответствует убыванию длины волны $λ$.

Ответ: переходы в порядке убывания длины волны излучения: $E_3 \rightarrow E_4$, $E_1 \rightarrow E_2$, $E_1 \rightarrow E_{\infty}$.

71.17 [н] Потенциальная энергия электрического взаимодействия электрона с

ядром атома стремится к нулю по мере удаления электрона от ядра на бесконечно большое расстояние.

В основном состоянии она принимает максимальное отрицательное значение (см. рис. X-1). При поглощении кванта излучения атом переходит в состояние с меньшим численным значением энергии.

Почему в таком случае мы говорим об увеличении энергии атома?

Предложите аналогию изменения энергии в поле силы тяжести.

$E_\infty = 0$

$r = \infty$

$E_5$

$E_4$

$E_3$

$E_2$

$E_1$

Основное состояние

Рис. X-1

Почему в таком случае мы говорим об увеличении энергии атома?

Энергия электрона, связанного с ядром в атоме, является отрицательной величиной. Это связано с выбором нулевого уровня энергии. По соглашению, за нулевой уровень ($E=0$) принимается энергия покоящегося электрона, который находится на бесконечно большом расстоянии от ядра. В этом состоянии электрон свободен и не взаимодействует с ядром.

Чтобы переместить электрон от ядра (где он находится в связанном состоянии с отрицательной энергией $E_n < 0$) на бесконечность, необходимо совершить работу против сил электростатического притяжения. Эта работа положительна, то есть системе «ядро + электрон» нужно сообщить энергию. Следовательно, энергия любого связанного состояния электрона в атоме меньше нуля.

Основное состояние ($E_1$) — это состояние с минимально возможной энергией. Она является наиболее отрицательной. При поглощении кванта излучения (фотона) с энергией $\Delta E > 0$ атом переходит в возбужденное состояние с более высокой энергией $E_n$. Новая энергия атома равна $E_n = E_{n-1} + \Delta E$.

Так как $E_{n-1}$ — отрицательное число, а $\Delta E$ — положительное, то новое значение энергии $E_n$ будет алгебраически больше, чем $E_{n-1}$ (то есть станет менее отрицательным, ближе к нулю). Например, если энергия основного состояния водорода $E_1 \approx -13.6$ эВ, а энергия первого возбужденного состояния $E_2 \approx -3.4$ эВ, то мы видим, что $E_2 > E_1$. При этом по абсолютному значению (по модулю) энергия уменьшилась: $|-3.4| < |-13.6|$. Фраза «состояние с меньшим численным значением энергии» как раз и означает уменьшение абсолютного значения энергии.

Таким образом, хотя абсолютное значение энергии уменьшается, ее алгебраическое значение растет, что и означает увеличение полной энергии атома.

Ответ: Мы говорим об увеличении энергии атома потому, что его полная энергия, будучи отрицательной величиной, становится менее отрицательной, то есть алгебраически увеличивается. Атом поглощает энергию, и его полная энергия возрастает, приближаясь к нулю.

Предложите аналогию изменения энергии в поле силы тяжести.

Аналогию можно провести с телом в гравитационном поле, например, с камнем, находящимся в глубоком колодце. Гравитационная сила, как и кулоновская сила в атоме, является силой притяжения. Потенциальная энергия взаимодействия в обоих случаях обратно пропорциональна расстоянию и является отрицательной, если за нуль принять энергию на бесконечном удалении.

Установим нулевой уровень потенциальной энергии ($U=0$) на уровне поверхности земли. Тогда камень, находящийся на дне колодца на глубине $h$, будет обладать отрицательной потенциальной энергией $U_{дна} = -mgh$, где $m$ — масса камня, а $g$ — ускорение свободного падения. Это состояние аналогично основному состоянию атома ($E_1$), где электрон наиболее сильно связан с ядром.

Чтобы поднять камень со дна, необходимо совершить работу, то есть сообщить ему энергию. Если поднять камень на некоторую высоту, но не до самого верха колодца, его потенциальная энергия увеличится и станет равной, например, $U_{промежут} = -mg(h/2)$. Мы видим, что энергия стала больше ($U_{промежут} > U_{дна}$), хотя ее значение все еще отрицательно. Это состояние аналогично возбужденному состоянию атома ($E_2, E_3, ...$).

Полное извлечение камня из колодца на поверхность земли, где его потенциальная энергия станет равной нулю ($U_{поверх} = 0$), аналогично ионизации атома — полному отрыву электрона от ядра, для чего требуется сообщить атому энергию, равную по модулю энергии связи электрона.

Ответ: Аналогией является тело (например, камень) на дне колодца. Нулевой уровень энергии соответствует поверхности земли. Чтобы поднять камень, нужно сообщить ему энергию. При этом его потенциальная энергия увеличивается (становится менее отрицательной), пока не достигнет нуля на поверхности. Дно колодца — это основное состояние, промежуточные положения в колодце — возбужденные состояния, а поверхность земли — состояние ионизации (свободного электрона).

71.18 [1644] Объясните превращения энергии при излучении света лампой накаливания.

Решение

Превращения энергии в лампе накаливания происходят в несколько этапов. Лампа накаливания — это тепловой источник света, в котором видимое излучение (свет) получается в результате нагрева тела (нити накала) до высокой температуры.

1. Электрическая энергия → Внутренняя (тепловая) энергия.
Когда лампа подключается к электрической сети, через её спираль (нить накала), изготовленную из тугоплавкого материала (обычно вольфрама) с высоким сопротивлением, начинает течь электрический ток. Согласно закону Джоуля-Ленца, при прохождении тока через проводник выделяется теплота. Таким образом, электрическая энергия, потребляемая лампой из сети, преобразуется во внутреннюю энергию нити накала, что приводит к её сильному разогреву до температуры около 2700 К.

2. Внутренняя (тепловая) энергия → Энергия электромагнитного излучения.
Сильно нагретая нить накала становится источником теплового электромагнитного излучения. Атомы в нити, обладая большой кинетической энергией, излучают электромагнитные волны в широком спектре. Таким образом, накопленная внутренняя (тепловая) энергия преобразуется в энергию излучения.

Это излучение состоит из:

• Световой энергии: небольшая часть (около 5-10%) энергии излучения приходится на видимый диапазон спектра, который человеческий глаз воспринимает как свет.
• Тепловой энергии: основная часть (около 90-95%) энергии излучается в невидимом инфракрасном диапазоне, который мы воспринимаем как тепло.

Следовательно, итоговая цепочка превращения энергии выглядит так: электрическая энергия преобразуется во внутреннюю энергию нити, а затем внутренняя энергия преобразуется в энергию электромагнитного излучения, которое состоит из света и тепла.

Ответ: При излучении света лампой накаливания электрическая энергия, поступающая в лампу, преобразуется во внутреннюю (тепловую) энергию нити накала. Затем эта внутренняя энергия преобразуется в энергию электромагнитного излучения, которое включает в себя световую энергию (видимый свет) и тепловую энергию (инфракрасное излучение).

71.19 [1645] На сколько уменьшилась энергия атома, если при переходе из одного энергетического состояния в другое атом излучил свет с длиной волны $6,56 \cdot 10^{-7}$ м?

Дано:

Длина волны излученного света, $\lambda = 6,56 \cdot 10^{-7}$ м.

Найти:

Уменьшение энергии атома, $\Delta E$.

Решение:

Согласно постулатам квантовой механики, при переходе атома из состояния с большей энергией $E_1$ в состояние с меньшей энергией $E_2$, он излучает фотон. Энергия этого фотона в точности равна разности энергий этих состояний. Таким образом, уменьшение энергии атома $\Delta E$ равно энергии излучённого фотона $E_{ф}$.

$\Delta E = E_1 - E_2 = E_{ф}$

Энергия фотона $E_{ф}$ связана с длиной волны излучения $\lambda$ по формуле Планка:

$E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$

где $h$ — постоянная Планка ($h \approx 6,63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с), а $c$ — скорость света в вакууме ($c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с).

Следовательно, уменьшение энергии атома можно рассчитать по этой же формуле:

$\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$

Подставим известные значения в формулу:

$\Delta E = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{6,56 \cdot 10^{-7} \text{ м}}$

Выполним вычисления:

$\Delta E = \frac{19,89 \cdot 10^{-26}}{6,56 \cdot 10^{-7}} \text{ Дж} \approx 3,032 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Округлив результат до трех значащих цифр, как в исходных данных, получаем:

$\Delta E \approx 3,03 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Ответ: энергия атома уменьшилась на $3,03 \cdot 10^{-19}$ Дж.

71.20 [н] Одним из способов ионизации атома является его бомбардировка электроном, ускоренным в электрическом поле. Какое напряжение надо приложить к электродам, чтобы сообщить электрону кинетическую энергию $21,76 \cdot 10^{-19}$ Дж, достаточную для ионизации атома водорода из основного (невозбуждённого) состояния?

Выразите энергию ионизации атома водорода в электрон-вольтах ($1 \text{ эВ} = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Дж).

Дано:

Кинетическая энергия электрона, равная энергии ионизации атома водорода, $E_k = 21.76 \cdot 10^{-19}$ Дж.
Элементарный заряд (заряд электрона), $e = 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл.
Соотношение для перевода единиц энергии, $1 \text{ эВ} = 1.6 \cdot 10^{-19}$ Дж.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$U$ — ?
$E_{ион}$ (в эВ) — ?

Решение:

Какое напряжение надо приложить к электродам, чтобы сообщить электрону кинетическую энергию $21,76 \cdot 10^{-19}$ Дж, достаточную для ионизации атома водорода из основного (невозбуждённого) состояния?

Когда электрон ускоряется в электрическом поле, работа $A$, совершаемая полем, полностью переходит в кинетическую энергию $E_k$ электрона (при условии, что его начальная скорость равна нулю). Это следует из теоремы о кинетической энергии:

$A = \Delta E_k = E_k - E_{k0} = E_k$

Работа электрического поля по перемещению заряда $e$ через разность потенциалов (напряжение) $U$ определяется формулой:

$A = e \cdot U$

Приравнивая оба выражения для работы, получаем связь между кинетической энергией электрона и напряжением ускоряющего поля:

$E_k = e \cdot U$

Из этого соотношения выражаем искомое напряжение $U$:

$U = \frac{E_k}{e}$

Подставим известные числовые значения:

$U = \frac{21.76 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} = 13.6 \text{ В}$

Ответ: чтобы сообщить электрону необходимую для ионизации атома водорода кинетическую энергию, к электродам нужно приложить напряжение 13,6 В.

Выразите энергию ионизации атома водорода в электрон-вольтах.

В условии сказано, что кинетическая энергия $E_k = 21.76 \cdot 10^{-19}$ Дж является достаточной для ионизации атома водорода. Это означает, что энергия ионизации $E_{ион}$ равна этой величине.

$E_{ион} = E_k = 21.76 \cdot 10^{-19}$ Дж

Электрон-вольт (эВ) — это внесистемная единица энергии, равная энергии, которую приобретает электрон, проходя через разность потенциалов в 1 вольт. Для перевода джоулей в электрон-вольты нужно разделить значение энергии в джоулях на величину элементарного заряда (или на значение 1 эВ в джоулях):

$E_{ион} \text{(в эВ)} = \frac{E_{ион} \text{(в Дж)}}{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ}}$

Произведем вычисление:

$E_{ион} = \frac{21.76 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} = 13.6 \text{ эВ}$

Ответ: энергия ионизации атома водорода составляет 13,6 эВ.

71.21 [н] Определите энергию фотона, длина волны которого равна:

1) 555 нм (зелёный свет);

2) 0,15 нм (рентгеновское излучение);

3) $10^{-3}$ нм ($\gamma$-излучение).

Ответ выразите в джоулях и электрон-вольтах ($1 \text{ эВ} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$).

Дано:

Длина волны фотона (зелёный свет) $\lambda_1 = 555 \text{ нм}$
Длина волны фотона (рентгеновское излучение) $\lambda_2 = 0,15 \text{ нм}$
Длина волны фотона ($\gamma$-излучение) $\lambda_3 = 10^{-3} \text{ нм}$
Постоянная Планка $h \approx 6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}$
Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$
Коэффициент перевода $1 \text{ эВ} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Найти:

Энергию фотона $E_1, E_2, E_3$ в джоулях (Дж) и электрон-вольтах (эВ).

Решение:

Энергия фотона $E$ определяется по формуле Планка, которая связывает энергию с длиной волны $\lambda$:

$E = \frac{hc}{\lambda}$

Рассчитаем энергию для каждого случая.

1) 555 нм (зелёный свет);

Сначала вычислим энергию в джоулях (Дж):
$E_1 = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{5,55 \cdot 10^{-7} \text{ м}} \approx \frac{19,878 \cdot 10^{-26} \text{ Дж}\cdot\text{м}}{5,55 \cdot 10^{-7} \text{ м}} \approx 3,58 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Теперь переведём полученное значение в электрон-вольты (эВ):
$E_1(\text{эВ}) = \frac{E_1(\text{Дж})}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} = \frac{3,58 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} \approx 2,24 \text{ эВ}$

Ответ: $E_1 \approx 3,58 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 2,24 \text{ эВ}$.

2) 0,15 нм (рентгеновское излучение);

Вычислим энергию в джоулях (Дж):
$E_2 = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1,5 \cdot 10^{-10} \text{ м}} \approx \frac{19,878 \cdot 10^{-26} \text{ Дж}\cdot\text{м}}{1,5 \cdot 10^{-10} \text{ м}} \approx 1,33 \cdot 10^{-15} \text{ Дж}$

Переведём значение в электрон-вольты (эВ):
$E_2(\text{эВ}) = \frac{1,33 \cdot 10^{-15} \text{ Дж}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} \approx 8312,5 \text{ эВ} \approx 8,3 \text{ кэВ}$ (килоэлектрон-вольт).

Ответ: $E_2 \approx 1,33 \cdot 10^{-15} \text{ Дж} \approx 8,3 \text{ кэВ}$.

3) 10⁻³ нм (γ-излучение).

Вычислим энергию в джоулях (Дж):
$E_3 = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1,0 \cdot 10^{-12} \text{ м}} \approx 1,99 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Переведём значение в электрон-вольты (эВ):
$E_3(\text{эВ}) = \frac{1,99 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} \approx 1,24 \cdot 10^6 \text{ эВ} = 1,24 \text{ МэВ}$ (мегаэлектрон-вольт).

Ответ: $E_3 \approx 1,99 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} \approx 1,24 \text{ МэВ}$.