Страница 253 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

75.5 [н] Дефект массы ядра какого-либо элемента вычисляют по формуле $ \Delta m = (Nm_n + Zm_p) - m_{\text{ядра}} $. Изменится ли результат вычисления, если вместо массы протона в формулу подставить значение массы атома водорода, а вместо массы ядра элемента — массу его атома?

Решение

Дефект массы ядра $\Delta m$ по определению — это разница между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов), из которых состоит ядро, и массой самого ядра. Исходная формула:

$\Delta m = (Nm_n + Zm_p) - m_{ядра}$

где $N$ — число нейтронов, $Z$ — число протонов (зарядовое число), $m_n$ — масса свободного нейтрона, $m_p$ — масса свободного протона, а $m_{ядра}$ — масса ядра.

Теперь выполним замены, предложенные в задаче. Вместо массы протона $m_p$ будем использовать массу атома водорода $m_H$, а вместо массы ядра $m_{ядра}$ — массу атома данного элемента $m_{атома}$. Обозначим новый результат как $\Delta m'$.

$\Delta m' = (Nm_n + Zm_H) - m_{атома}$

Чтобы сравнить $\Delta m'$ с $\Delta m$, выразим массы атомов через массы их составляющих. Массу атома водорода можно представить как сумму масс протона и электрона ($m_e$), пренебрегая энергией связи электрона, которая ничтожно мала по сравнению с массами частиц:

$m_H \approx m_p + m_e$

Аналогично, масса атома элемента с зарядовым числом $Z$ состоит из массы ядра и массы $Z$ электронов на его орбиталях. Пренебрегая суммарной энергией связи этих электронов, получаем:

$m_{атома} \approx m_{ядра} + Zm_e$

Подставим эти выражения в формулу для $\Delta m'$:

$\Delta m' \approx (Nm_n + Z(m_p + m_e)) - (m_{ядра} + Zm_e)$

Раскроем скобки в выражении:

$\Delta m' \approx Nm_n + Zm_p + Zm_e - m_{ядра} - Zm_e$

Как видно, член $Zm_e$, представляющий суммарную массу электронов, прибавляется и вычитается, то есть взаимно уничтожается:

$\Delta m' \approx Nm_n + Zm_p - m_{ядра}$

Таким образом, новое выражение для $\Delta m'$ в рамках сделанных допущений полностью совпадает с исходной формулой для $\Delta m$. Разница, обусловленная энергиями связи электронов в атомах, на несколько порядков меньше величины самого дефекта масс и в большинстве расчетов ею пренебрегают. На практике такая замена является стандартной, так как массы нейтральных атомов известны из эксперимента с гораздо большей точностью, чем массы "голых" ядер.

Ответ: Результат вычисления практически не изменится, так как добавленная к сумме масс нуклонов масса $Z$ электронов (при замене массы протонов на массы атомов водорода) будет скомпенсирована вычитанием той же массы $Z$ электронов (при замене массы ядра на массу атома).

75.6 [н] Чему равен дефект массы ядер: протия; дейтерия; трития?

Дано:

Ядра изотопов водорода: протий (${}^1_1H$), дейтерий (${}^2_1H$), тритий (${}^3_1H$).

Масса протона: $m_p = 1.007276 \text{ а.е.м.}$

Масса нейтрона: $m_n = 1.008665 \text{ а.е.м.}$

Масса ядра дейтерия (дейтрона): $m_d = 2.013553 \text{ а.е.м.}$

Масса ядра трития (тритона): $m_t = 3.015500 \text{ а.е.м.}$

Найти:

Дефект массы ядра протия: $Δm_p$

Дефект массы ядра дейтерия: $Δm_d$

Дефект массы ядра трития: $Δm_t$

Решение:

Дефект массы ядра $Δm$ — это разность между суммой масс всех нуклонов (протонов и нейтронов), из которых состоит ядро, и действительной массой самого ядра. Он рассчитывается по формуле:

$Δm = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - m_{ядра}$

где $Z$ — число протонов в ядре (зарядовое число), $N$ — число нейтронов, $m_p$ — масса протона, $m_n$ — масса нейтрона, а $m_{ядра}$ — масса ядра.

протия

Ядро протия (${}^1_1H$) состоит из одного протона. Следовательно, число протонов $Z=1$, а число нейтронов $N=0$. Масса ядра протия равна массе одного протона $m_{ядра} = m_p$.

Подставим эти значения в формулу для дефекта массы:

$Δm_p = (1 \cdot m_p + 0 \cdot m_n) - m_p = m_p - m_p = 0$

Дефект массы для ядра протия равен нулю, так как ядро состоит из одного нуклона и нет энергии связи, которая проявляется как дефект массы.

Ответ: $Δm_p = 0 \text{ а.е.м.}$

дейтерия

Ядро дейтерия (${}^2_1H$), или дейтрон, состоит из одного протона ($Z=1$) и одного нейтрона ($N=1$).

Сумма масс составляющих его нуклонов:

$Z \cdot m_p + N \cdot m_n = 1 \cdot 1.007276 \text{ а.е.м.} + 1 \cdot 1.008665 \text{ а.е.м.} = 2.015941 \text{ а.е.м.}$

Масса ядра дейтерия $m_d = 2.013553 \text{ а.е.м.}$.

Дефект массы ядра дейтерия:

$Δm_d = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - m_d = 2.015941 \text{ а.е.м.} - 2.013553 \text{ а.е.м.} = 0.002388 \text{ а.е.м.}$

Ответ: $Δm_d = 0.002388 \text{ а.е.м.}$

трития

Ядро трития (${}^3_1H$), или тритон, состоит из одного протона ($Z=1$) и двух нейтронов ($N=2$).

Сумма масс составляющих его нуклонов:

$Z \cdot m_p + N \cdot m_n = 1 \cdot 1.007276 \text{ а.е.м.} + 2 \cdot 1.008665 \text{ а.е.м.} = 1.007276 \text{ а.е.м.} + 2.017330 \text{ а.е.м.} = 3.024606 \text{ а.е.м.}$

Масса ядра трития $m_t = 3.015500 \text{ а.е.м.}$.

Дефект массы ядра трития:

$Δm_t = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - m_t = 3.024606 \text{ а.е.м.} - 3.015500 \text{ а.е.м.} = 0.009106 \text{ а.е.м.}$

Ответ: $Δm_t = 0.009106 \text{ а.е.м.}$

75.7 [1698] Пользуясь таблицами 20 и 21, определите дефект массы $\Delta m$ (в атомных единицах массы) ядра атома $^4_2\text{He}$.

Дано:

Ядро атома гелия $ _{2}^{4}\text{He} $.

Для решения задачи воспользуемся табличными значениями масс частиц:

• Масса протона: $ m_p \approx 1,00728 \text{ а.е.м.} $
• Масса нейтрона: $ m_n \approx 1,00866 \text{ а.е.м.} $
• Масса ядра гелия: $ m_я(^{4}\text{He}) \approx 4,00260 \text{ а.е.м.} $ (В большинстве таблиц приводится масса атома, которая незначительно отличается от массы ядра. Для данной задачи будем считать, что это масса ядра, либо воспользуемся более точным методом ниже).

Найти:

Дефект массы $ \Delta m $

Решение:

Дефект массы ядра ($ \Delta m $) — это разница между суммой масс покоя свободных нуклонов (протонов и нейтронов), из которых состоит ядро, и массой самого ядра.

Ядро атома гелия $ _{2}^{4}\text{He} $ состоит из:

• $ Z = 2 $ протонов
• $ N = A - Z = 4 - 2 = 2 $ нейтронов

Формула для расчёта дефекта массы:

$ \Delta m = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - m_я $

Сначала рассчитаем суммарную массу нуклонов, составляющих ядро гелия:

$ m_{нуклонов} = Z \cdot m_p + N \cdot m_n = 2 \cdot 1,00728 \text{ а.е.м.} + 2 \cdot 1,00866 \text{ а.е.м.} $

$ m_{нуклонов} = 2,01456 \text{ а.е.м.} + 2,01732 \text{ а.е.м.} = 4,03188 \text{ а.е.м.} $

Теперь найдем дефект массы. Вместо массы ядра $ m_я $ часто используют массу атома $ m_a $, а вместо массы протона $ m_p $ — массу атома водорода $ m_H $. Результат при этом практически не меняется. Воспользуемся табличным значением массы атома гелия $ m_a(^{4}\text{He}) \approx 4,00260 \text{ а.е.м.} $ и рассчитаем дефект массы по эквивалентной формуле с использованием масс атомов (масса атома водорода $ m_H \approx 1,00783 \text{ а.е.м.} $):

$ \Delta m = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - m_a(^{4}\text{He}) $

$ \Delta m = (2 \cdot 1,00783 + 2 \cdot 1,00866) - 4,00260 $

$ \Delta m = (2,01566 + 2,01732) - 4,00260 $

$ \Delta m = 4,03298 - 4,00260 = 0,03038 \text{ а.е.м.} $

Ответ: $ \Delta m = 0,03038 \text{ а.е.м.} $

75.8 [н] Полная энергия одной атомной единицы массы равна 931,5 МэВ. Воспользуйтесь ответом к предыдущей задаче и определите (в МэВ) энергию связи нуклида ${}_{2}^{4}\text{He}$.

Дано:

Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $C = 931.5$ МэВ/а.е.м.

Нуклид: гелий-4 $(^4_2\text{He})$

Примечание: для решения задачи необходимо использовать справочные данные о массах частиц, которые, предположительно, являются ответом или частью данных из предыдущей задачи.

Масса атома водорода $(^1_1\text{H})$: $m_H \approx 1.00783$ а.е.м.

Масса нейтрона $(^1_0\text{n})$: $m_n \approx 1.00867$ а.е.м.

Масса атома гелия $(^4_2\text{He})$: $m_a \approx 4.00260$ а.е.м.

Найти:

Энергию связи нуклида $^4_2\text{He}$: $E_{св}$

Решение:

Энергия связи ядра — это энергия, которая выделяется при образовании ядра из составляющих его свободных нуклонов (протонов и нейтронов). Она определяется дефектом масс $\Delta m$ в соответствии с формулой Эйнштейна о связи массы и энергии.

Дефект масс — это разница между суммарной массой нуклонов, из которых состоит ядро, и массой самого ядра. Ядро гелия-4 $(^4_2\text{He})$ состоит из $Z=2$ протонов и $N = A - Z = 4 - 2 = 2$ нейтронов.

Дефект масс $\Delta m$ можно рассчитать по формуле:

$\Delta m = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - m_я$

где $m_p$ — масса протона, $m_n$ — масса нейтрона, а $m_я$ — масса ядра гелия. Чтобы избежать необходимости вычитать массы электронов, удобнее использовать массы нейтральных атомов: атома водорода $m_H$ (включает массу протона и электрона) и атома гелия $m_a$ (включает массу ядра и двух электронов). В этом случае массы электронов взаимно сокращаются.

$\Delta m = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - m_a$

Подставим значения для ядра гелия-4:

$\Delta m = (2 \cdot m_H + 2 \cdot m_n) - m_a(^{4}\text{He})$

$\Delta m = (2 \cdot 1.00783 \text{ а.е.м.} + 2 \cdot 1.00867 \text{ а.е.м.}) - 4.00260 \text{ а.е.м.}$

$\Delta m = (2.01566 \text{ а.е.м.} + 2.01734 \text{ а.е.м.}) - 4.00260 \text{ а.е.м.}$

$\Delta m = 4.03300 \text{ а.е.м.} - 4.00260 \text{ а.е.м.} = 0.03040 \text{ а.е.м.}$

Это значение дефекта масс, скорее всего, и является ответом к предыдущей задаче.

Теперь найдем энергию связи, умножив дефект масс на энергетический эквивалент атомной единицы массы, данный в условии:

$E_{св} = \Delta m \cdot C$

$E_{св} = 0.03040 \text{ а.е.м.} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 28.3176 \text{ МэВ}$

Округлим результат до десятых:

$E_{св} \approx 28.3 \text{ МэВ}$

Ответ: энергия связи нуклида $^4_2\text{He}$ равна приблизительно $28.3$ МэВ.

75.9* [1699*] Определите дефект массы и энергию связи $E_{\text{св}} = \Delta mc^2$ ядра бора ${}_{5}^{10}\text{B}$. Какая энергия связи ядра приходится на один нуклон?

Дано:

Ядро бора: ${}_{5}^{10}\text{B}$

Масса атома водорода ${}^{1}\text{H}$: $m_H = 1.00783$ а.е.м.

Масса нейтрона: $m_n = 1.00866$ а.е.м.

Масса атома бора ${}^{10}\text{B}$: $M_{ат} = 10.01294$ а.е.м.

Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.

Атомная единица массы: $1 \text{ а.е.м.} = 1.66054 \cdot 10^{-27}$ кг.

Энергетический эквивалент $1$ а.е.м. $= 931.5$ МэВ.

Найти:

1. Дефект массы ядра $\Delta m$.

2. Энергию связи ядра $E_{св}$.

3. Энергию связи на один нуклон $E_{уд}$.

Решение:

Ядро атома бора ${}_{5}^{10}\text{B}$ состоит из $Z=5$ протонов и $N = A - Z = 10-5=5$ нейтронов. Общее число нуклонов в ядре $A=10$.

1. Определение дефекта массы

Дефект массы $\Delta m$ — это разность между суммой масс покоя нуклонов, составляющих ядро, и массой самого ядра. Для удобства расчетов, чтобы учесть массу электронов, используются массы нейтральных атомов (масса атома водорода ${}^{1}\text{H}$ вместо массы протона).

Формула для расчета дефекта масс с использованием масс атомов:

$\Delta m = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - M_{ат}({}^{10}\text{B})$

Подставим значения масс в атомных единицах массы (а.е.м.):

$\Delta m = (5 \cdot 1.00783 \text{ а.е.м.} + 5 \cdot 1.00866 \text{ а.е.м.}) - 10.01294 \text{ а.е.м.}$

$\Delta m = (5.03915 \text{ а.е.м.} + 5.04330 \text{ а.е.м.}) - 10.01294 \text{ а.е.м.}$

$\Delta m = 10.08245 \text{ а.е.м.} - 10.01294 \text{ а.е.м.} = 0.06951 \text{ а.е.м.}$

Переведем дефект массы в килограммы (СИ):

$\Delta m = 0.06951 \text{ а.е.м.} \cdot 1.66054 \cdot 10^{-27} \frac{\text{кг}}{\text{а.е.м.}} \approx 1.154 \cdot 10^{-28} \text{ кг}$

Ответ: Дефект массы ядра бора ${}_{5}^{10}\text{B}$ равен $0.06951$ а.е.м. или приблизительно $1.154 \cdot 10^{-28}$ кг.

2. Определение энергии связи

Энергия связи $E_{св}$ — это энергия, которая выделяется при образовании ядра из отдельных нуклонов. Она эквивалентна дефекту массы согласно соотношению Эйнштейна $E_{св} = \Delta m c^2$.

Удобнее всего вычислять энергию связи в мегаэлектронвольтах (МэВ), используя энергетический эквивалент $1$ а.е.м., который равен $931.5$ МэВ.

$E_{св} = \Delta m \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}}$

$E_{св} = 0.06951 \text{ а.е.м.} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 64.75 \text{ МэВ}$

Можно также рассчитать энергию в джоулях (СИ):

$E_{св} = \Delta m \cdot c^2 = (1.154 \cdot 10^{-28} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 \approx 1.039 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}$

Ответ: Энергия связи ядра бора ${}_{5}^{10}\text{B}$ составляет приблизительно $64.75$ МэВ или $1.039 \cdot 10^{-11}$ Дж.

3. Определение энергии связи, приходящейся на один нуклон

Энергия связи, приходящаяся на один нуклон (удельная энергия связи $E_{уд}$), характеризует прочность ядра. Она равна отношению полной энергии связи к числу нуклонов в ядре $A$.

$E_{уд} = \frac{E_{св}}{A}$

Для ядра бора ${}_{5}^{10}\text{B}$ число нуклонов $A=10$.

$E_{уд} = \frac{64.75 \text{ МэВ}}{10} = 6.475 \frac{\text{МэВ}}{\text{нуклон}}$

Ответ: Энергия связи, приходящаяся на один нуклон, составляет $6.475$ МэВ/нуклон.

75.10* [1700*] Степень устойчивости ядер элементов определяется удельной энергией связи ядра, т. е. энергией связи, приходящейся на один нуклон. Определите удельную энергию связи ядра атома лития $_{3}^{7}\text{Li}$.

Дано:

Ядро атома лития $_{3}^{7}\text{Li}$.
Из обозначения ядра следует:
Массовое число (число нуклонов) $A = 7$.
Зарядовое число (число протонов) $Z = 3$.
Число нейтронов $N = A - Z = 7 - 3 = 4$.

Справочные данные:
Масса атома водорода (протон + электрон) $m_H \approx 1.00783 \text{ а.е.м.}$
Масса нейтрона $m_n \approx 1.00867 \text{ а.е.м.}$
Масса атома лития-7 $m_{а}(^{7}\text{Li}) \approx 7.01601 \text{ а.е.м.}$
Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 \approx 931.5 \text{ МэВ}$.

Найти:

Удельную энергию связи ядра $E_{уд}$.

Решение

Удельная энергия связи ядра представляет собой энергию связи, которая приходится на один нуклон. Она рассчитывается по формуле: $E_{уд} = \frac{E_{св}}{A}$ где $E_{св}$ — это полная энергия связи ядра, а $A$ — массовое число.

Полная энергия связи ядра $E_{св}$ определяется дефектом масс $\Delta m$ и связана с ним соотношением Эйнштейна: $E_{св} = \Delta m \cdot c^2$

Дефект масс — это разность между суммой масс всех нуклонов (протонов и нейтронов) в свободном состоянии и массой самого ядра. Для удобства вычислений используют массы нейтральных атомов, что позволяет автоматически учесть массы электронов. Формула для дефекта масс в этом случае выглядит так: $\Delta m = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - m_{а}(^{7}\text{Li})$ где $Z$ — число протонов, $N$ — число нейтронов, $m_H$ — масса атома водорода, $m_n$ — масса нейтрона, а $m_{а}(^{7}\text{Li})$ — масса атома лития-7.

Вычислим дефект масс для ядра лития-7, подставив известные значения: $\Delta m = (3 \cdot 1.00783 \text{ а.е.м.} + 4 \cdot 1.00867 \text{ а.е.м.}) - 7.01601 \text{ а.е.м.}$
$\Delta m = (3.02349 \text{ а.е.м.} + 4.03468 \text{ а.е.м.}) - 7.01601 \text{ а.е.м.}$
$\Delta m = 7.05817 \text{ а.е.м.} - 7.01601 \text{ а.е.м.} = 0.04216 \text{ а.е.м.}$

Теперь найдем полную энергию связи, умножив дефект масс на энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $E_{св} = 0.04216 \text{ а.е.м.} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 39.268 \text{ МэВ}$

Наконец, определим удельную энергию связи, разделив полную энергию связи на число нуклонов в ядре ($A=7$): $E_{уд} = \frac{E_{св}}{A} = \frac{39.268 \text{ МэВ}}{7} \approx 5.61 \frac{\text{МэВ}}{\text{нуклон}}$

Ответ: удельная энергия связи ядра атома лития $_{3}^{7}\text{Li}$ равна приблизительно $5.61 \text{ МэВ/нуклон}$.

75.11 [н] Ядро изотопа железа $^\text{56}_\text{26}\text{Fe}$ является одним из самых устойчивых. Определите удельную энергию связи этого ядра.

Дано:

Ядро изотопа железа: $ _{26}^{56}\text{Fe} $
Массовое число: $ A = 56 $
Зарядовое число (количество протонов): $ Z = 26 $
Масса атома водорода: $ m_H \approx 1.007825 \text{ а.е.м.} $
Масса нейтрона: $ m_n \approx 1.008665 \text{ а.е.м.} $
Масса атома изотопа железа $ _{26}^{56}\text{Fe} $: $ m_{ат} \approx 55.934937 \text{ а.е.м.} $
Энергетический эквивалент атомной единицы массы: $ 1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 \approx 931.5 \text{ МэВ} $

Найти:

Удельную энергию связи ядра $ _{26}^{56}\text{Fe} $: $ E_{уд} $ - ?

Решение:

Удельная энергия связи $ E_{уд} $ – это энергия связи, приходящаяся на один нуклон в ядре. Она определяется по формуле: $$ E_{уд} = \frac{E_{связи}}{A} $$ где $ E_{связи} $ – полная энергия связи ядра, а $ A $ – массовое число (общее число нуклонов в ядре).

Энергия связи ядра равна энергии, которая выделяется при образовании ядра из отдельных протонов и нейтронов. Согласно соотношению Эйнштейна, она связана с дефектом массы $ \Delta m $ ядра: $$ E_{связи} = \Delta m \cdot c^2 $$ Дефект массы – это разность между суммой масс свободных нуклонов, составляющих ядро, и массой самого ядра. Для удобства расчетов дефект массы вычисляют, используя массы нейтральных атомов. В этом случае массы электронов взаимно сокращаются. $$ \Delta m = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - m_{ат} $$ где $ Z $ – число протонов, $ N $ – число нейтронов, $ m_H $ – масса атома водорода, $ m_n $ – масса нейтрона, $ m_{ат} $ – масса атома данного изотопа.

1. Определим число нейтронов $ N $ в ядре изотопа железа $ _{26}^{56}\text{Fe} $: $$ N = A - Z = 56 - 26 = 30 $$

2. Рассчитаем суммарную массу составляющих ядро нуклонов (26 протонов и 30 нейтронов), используя массы атома водорода и нейтрона: $$ M_{сост} = Z \cdot m_H + N \cdot m_n = 26 \cdot 1.007825 \text{ а.е.м.} + 30 \cdot 1.008665 \text{ а.е.м.} $$ $$ M_{сост} = 26.20345 \text{ а.е.м.} + 30.25995 \text{ а.е.м.} = 56.46340 \text{ а.е.м.} $$

3. Найдем дефект массы $ \Delta m $: $$ \Delta m = M_{сост} - m_{ат}(_{}^{56}\text{Fe}) = 56.46340 \text{ а.е.м.} - 55.934937 \text{ а.е.м.} = 0.528463 \text{ а.е.м.} $$

4. Вычислим полную энергию связи $ E_{связи} $ в мегаэлектронвольтах (МэВ), используя энергетический эквивалент 1 а.е.м. ($ 931.5 \text{ МэВ} $): $$ E_{связи} = \Delta m \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} = 0.528463 \text{ а.е.м.} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 492.26 \text{ МэВ} $$

5. Наконец, определим удельную энергию связи $ E_{уд} $: $$ E_{уд} = \frac{E_{связи}}{A} = \frac{492.26 \text{ МэВ}}{56} \approx 8.79 \frac{\text{МэВ}}{\text{нуклон}} $$

Ответ: удельная энергия связи ядра изотопа железа $ _{26}^{56}\text{Fe} $ составляет приблизительно $ 8.79 \text{ МэВ/нуклон} $.

75.12* [1701*] Вычислив удельную энергию связи, определите, какое из ядер — $\text{}_4^9\text{Be}$ или $\text{}_{13}^{27}\text{Al}$ — является более устойчивым.

Дано:

Изотоп бериллия: $_{4}^{9}\text{Be}$

Изотоп алюминия: $_{13}^{27}\text{Al}$

Масса атома бериллия-9: $M_{Be} = 9.012182 \text{ а.е.м.}$

Масса атома алюминия-27: $M_{Al} = 26.981538 \text{ а.е.м.}$

Масса атома водорода: $m_H = 1.007825 \text{ а.е.м.}$

Масса нейтрона: $m_n = 1.008665 \text{ а.е.м.}$

Энергетический эквивалент атомной единицы массы: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 = 931.5 \text{ МэВ}$

Найти:

Удельные энергии связи ядер $\epsilon_{Be}$, $\epsilon_{Al}$ и определить, какое из ядер более устойчиво.

Решение:

Устойчивость атомного ядра характеризуется удельной энергией связи — энергией связи, приходящейся на один нуклон в ядре. Чем больше удельная энергия связи, тем устойчивее ядро.

Удельная энергия связи $\epsilon$ вычисляется по формуле:

$\epsilon = \frac{E_{св}}{A}$

где $E_{св}$ — энергия связи ядра, $A$ — массовое число (общее число нуклонов в ядре).

Энергия связи ядра определяется дефектом масс $\Delta M$ согласно соотношению Эйнштейна:

$E_{св} = \Delta M \cdot c^2$

Дефект масс — это разность между суммарной массой свободных нуклонов (протонов и нейтронов), из которых состоит ядро, и реальной массой ядра. Для вычислений удобнее использовать массы нейтральных атомов. В этом случае формула для дефекта масс имеет вид:

$\Delta M = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - M_{атома}$

где $Z$ — зарядовое число (число протонов), $N$ — число нейтронов ($N = A - Z$), $m_H$ — масса атома водорода, $m_n$ — масса нейтрона, $M_{атома}$ — масса атома данного изотопа.

Расчет для ядра бериллия-9 ($_{4}^{9}\text{Be}$)

Для ядра бериллия-9 имеем:

Массовое число: $A = 9$

Число протонов: $Z = 4$

Число нейтронов: $N = A - Z = 9 - 4 = 5$

Вычислим дефект масс $\Delta M_{Be}$:

$\Delta M_{Be} = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - M_{Be}$

$\Delta M_{Be} = (4 \cdot 1.007825 \text{ а.е.м.} + 5 \cdot 1.008665 \text{ а.е.м.}) - 9.012182 \text{ а.е.м.}$

$\Delta M_{Be} = (4.031300 + 5.043325) \text{ а.е.м.} - 9.012182 \text{ а.е.м.} = 9.074625 \text{ а.е.м.} - 9.012182 \text{ а.е.м.} = 0.062443 \text{ а.е.м.}$

Энергия связи ядра бериллия-9:

$E_{св, Be} = \Delta M_{Be} \cdot c^2 = 0.062443 \text{ а.е.м.} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 58.163 \text{ МэВ}$

Удельная энергия связи ядра бериллия-9:

$\epsilon_{Be} = \frac{E_{св, Be}}{A} = \frac{58.163 \text{ МэВ}}{9} \approx 6.463 \text{ МэВ/нуклон}$

Расчет для ядра алюминия-27 ($_{13}^{27}\text{Al}$)

Для ядра алюминия-27 имеем:

Массовое число: $A = 27$

Число протонов: $Z = 13$

Число нейтронов: $N = A - Z = 27 - 13 = 14$

Вычислим дефект масс $\Delta M_{Al}$:

$\Delta M_{Al} = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - M_{Al}$

$\Delta M_{Al} = (13 \cdot 1.007825 \text{ а.е.м.} + 14 \cdot 1.008665 \text{ а.е.м.}) - 26.981538 \text{ а.е.м.}$

$\Delta M_{Al} = (13.101725 + 14.121310) \text{ а.е.м.} - 26.981538 \text{ а.е.м.} = 27.223035 \text{ а.е.м.} - 26.981538 \text{ а.е.м.} = 0.241497 \text{ а.е.м.}$

Энергия связи ядра алюминия-27:

$E_{св, Al} = \Delta M_{Al} \cdot c^2 = 0.241497 \text{ а.е.м.} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 224.954 \text{ МэВ}$

Удельная энергия связи ядра алюминия-27:

$\epsilon_{Al} = \frac{E_{св, Al}}{A} = \frac{224.954 \text{ МэВ}}{27} \approx 8.332 \text{ МэВ/нуклон}$

Сравнение устойчивости ядер

Сравним полученные значения удельной энергии связи:

$\epsilon_{Be} \approx 6.463 \text{ МэВ/нуклон}$

$\epsilon_{Al} \approx 8.332 \text{ МэВ/нуклон}$

Поскольку удельная энергия связи ядра алюминия-27 больше, чем удельная энергия связи ядра бериллия-9 ($\epsilon_{Al} > \epsilon_{Be}$), ядро алюминия-27 является более прочным и, следовательно, более устойчивым.

Ответ: удельная энергия связи ядра бериллия-9 равна примерно $6.463 \text{ МэВ/нуклон}$, удельная энергия связи ядра алюминия-27 — примерно $8.332 \text{ МэВ/нуклон}$. Ядро $_{13}^{27}\text{Al}$ является более устойчивым.

75.13* [1702*] Какое из ядер — $ _{2}^{4}\text{He} $ или $ _{5}^{10}\text{B} $ — обладает большей устойчивостью?

Дано:

Ядро гелия-4: $_{2}^{4}\text{He}$
Ядро бора-10: $_{5}^{10}\text{B}$
Масса атома водорода ($_{1}^{1}\text{H}$): $m_{H} = 1.007825 \text{ а.е.м.}$
Масса нейтрона ($n$): $m_n = 1.008665 \text{ а.е.м.}$
Масса атома гелия-4 ($_{2}^{4}\text{He}$): $M_{He} = 4.002603 \text{ а.е.м.}$
Масса атома бора-10 ($_{5}^{10}\text{B}$): $M_{B} = 10.012937 \text{ а.е.м.}$
Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 \approx 931.5 \text{ МэВ}$

Найти:

Какое из ядер, $_{2}^{4}\text{He}$ или $_{5}^{10}\text{B}$, обладает большей устойчивостью?

Решение:

Мерой устойчивости атомного ядра служит удельная энергия связи, то есть энергия связи, приходящаяся на один нуклон. Чем больше удельная энергия связи, тем более устойчивым является ядро.

Удельная энергия связи $\epsilon$ вычисляется по формуле: $ \epsilon = \frac{E_{св}}{A} = \frac{\Delta m \cdot c^2}{A} $ где $E_{св}$ – полная энергия связи ядра, $A$ – массовое число (общее число нуклонов в ядре), а $\Delta m$ – дефект масс.

Дефект масс $\Delta m$ — это разность между суммой масс составляющих ядро свободных протонов и нейтронов и массой самого ядра. Удобнее использовать массы атомов, так как массы электронов сокращаются: $ \Delta m = (Z \cdot m_{H} + N \cdot m_n) - M_{атома} $ где $Z$ – число протонов, $N$ – число нейтронов, $m_{H}$ – масса атома водорода, $m_n$ – масса нейтрона, $M_{атома}$ – масса атома рассматриваемого изотопа.

Вычислим удельную энергию связи для каждого ядра.

Для ядра гелия $_{2}^{4}\text{He}$: Число протонов $Z = 2$, число нейтронов $N = A - Z = 4 - 2 = 2$.
Дефект масс: $ \Delta m_{He} = (2 \cdot m_{H} + 2 \cdot m_n) - M_{He} $
$ \Delta m_{He} = (2 \cdot 1.007825 \text{ а.е.м.} + 2 \cdot 1.008665 \text{ а.е.м.}) - 4.002603 \text{ а.е.м.} $
$ \Delta m_{He} = (2.01565 + 2.01733) \text{ а.е.м.} - 4.002603 \text{ а.е.м.} = 4.03298 \text{ а.е.м.} - 4.002603 \text{ а.е.м.} = 0.030377 \text{ а.е.м.} $
Энергия связи: $ E_{св, He} = \Delta m_{He} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} = 0.030377 \cdot 931.5 \text{ МэВ} \approx 28.296 \text{ МэВ} $
Удельная энергия связи: $ \epsilon_{He} = \frac{E_{св, He}}{A} = \frac{28.296 \text{ МэВ}}{4} \approx 7.074 \frac{\text{МэВ}}{\text{нуклон}} $

Для ядра бора $_{5}^{10}\text{B}$: Число протонов $Z = 5$, число нейтронов $N = A - Z = 10 - 5 = 5$.
Дефект масс: $ \Delta m_{B} = (5 \cdot m_{H} + 5 \cdot m_n) - M_{B} $
$ \Delta m_{B} = (5 \cdot 1.007825 \text{ а.е.м.} + 5 \cdot 1.008665 \text{ а.е.м.}) - 10.012937 \text{ а.е.м.} $
$ \Delta m_{B} = (5.039125 + 5.043325) \text{ а.е.м.} - 10.012937 \text{ а.е.м.} = 10.08245 \text{ а.е.м.} - 10.012937 \text{ а.е.м.} = 0.069513 \text{ а.е.м.} $
Энергия связи: $ E_{св, B} = \Delta m_{B} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} = 0.069513 \cdot 931.5 \text{ МэВ} \approx 64.751 \text{ МэВ} $
Удельная энергия связи: $ \epsilon_{B} = \frac{E_{св, B}}{A} = \frac{64.751 \text{ МэВ}}{10} \approx 6.475 \frac{\text{МэВ}}{\text{нуклон}} $

Сравнивая полученные значения, видим, что удельная энергия связи ядра гелия ($ \epsilon_{He} \approx 7.074 \text{ МэВ/нуклон} $) больше, чем удельная энергия связи ядра бора ($ \epsilon_{B} \approx 6.475 \text{ МэВ/нуклон} $).

Ответ: Ядро гелия $_{2}^{4}\text{He}$ обладает большей устойчивостью.

75.14* [1703*] Выделяется или поглощается энергия при реакции

$^{14}_{7}\text{N} + ^{4}_{2}\text{He} \rightarrow ^{17}_{8}\text{O} + ^{1}_{1}\text{H}?$

Дано:

Ядерная реакция: $ ^{14}_{7}\text{N} + ^{4}_{2}\text{He} \rightarrow ^{17}_{8}\text{O} + ^{1}_{1}\text{H} $

Массы атомов (в атомных единицах массы, а.е.м.):

• $ m(^{14}_{7}\text{N}) = 14.003074 \text{ а.е.м.} $
• $ m(^{4}_{2}\text{He}) = 4.002603 \text{ а.е.м.} $
• $ m(^{17}_{8}\text{O}) = 16.999132 \text{ а.е.м.} $
• $ m(^{1}_{1}\text{H}) = 1.007825 \text{ а.е.м.} $

Найти:

Выделяется или поглощается энергия в данной реакции?

Решение:

Чтобы определить, выделяется или поглощается энергия в ходе ядерной реакции, необходимо сравнить суммарную массу частиц до реакции (реагентов) с суммарной массой частиц после реакции (продуктов). Энергетический выход реакции $ Q $ определяется разностью масс реагентов и продуктов (дефектом масс $ \Delta m $):

$ Q = \Delta E = \Delta m \cdot c^2 = (m_{реагентов} - m_{продуктов}) \cdot c^2 $

где $ c $ — скорость света в вакууме.

Если дефект масс $ \Delta m > 0 $ (то есть масса реагентов больше массы продуктов), то реакция идет с выделением энергии (экзоэнергетическая).

Если дефект масс $ \Delta m < 0 $ (то есть масса реагентов меньше массы продуктов), то реакция идет с поглощением энергии (эндоэнергетическая).

1. Рассчитаем суммарную массу реагентов:

$ m_{реагентов} = m(^{14}_{7}\text{N}) + m(^{4}_{2}\text{He}) $

$ m_{реагентов} = 14.003074 \text{ а.е.м.} + 4.002603 \text{ а.е.м.} = 18.005677 \text{ а.е.м.} $

2. Рассчитаем суммарную массу продуктов реакции:

$ m_{продуктов} = m(^{17}_{8}\text{O}) + m(^{1}_{1}\text{H}) $

$ m_{продуктов} = 16.999132 \text{ а.е.м.} + 1.007825 \text{ а.е.м.} = 18.006957 \text{ а.е.м.} $

3. Найдем дефект масс $ \Delta m $:

$ \Delta m = m_{реагентов} - m_{продуктов} $

$ \Delta m = 18.005677 \text{ а.е.м.} - 18.006957 \text{ а.е.м.} = -0.00128 \text{ а.е.м.} $

Так как дефект масс $ \Delta m $ отрицателен, это означает, что суммарная масса продуктов реакции больше суммарной массы исходных ядер. Следовательно, для осуществления такой реакции необходимо затратить энергию. Реакция является эндоэнергетической, то есть идет с поглощением энергии.

Энергия, которая поглощается в ходе реакции, равна:

$ Q = \Delta m \cdot c^2 = -0.00128 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 $

Используя энергетический эквивалент атомной единицы массы $ 1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 \approx 931.5 \text{ МэВ} $, получаем:

$ Q \approx -0.00128 \cdot 931.5 \text{ МэВ} \approx -1.19 \text{ МэВ} $

Отрицательное значение энергетического выхода $ Q $ подтверждает, что энергия поглощается.

Ответ:

При реакции $ ^{14}_{7}\text{N} + ^{4}_{2}\text{He} \rightarrow ^{17}_{8}\text{O} + ^{1}_{1}\text{H} $ энергия поглощается.

75.15 [1704] Высвобождается или поглощается энергия при следующих реакциях?

1) $^7_3\text{Li} + ^4_2\text{He} \rightarrow ^{10}_5\text{B} + ^1_0\text{n}$

2) $^2_1\text{H} + ^2_1\text{H} \rightarrow ^1_1\text{H} + ^3_1\text{H}$

3) $^2_1\text{H} + ^2_1\text{H} \rightarrow ^3_2\text{He} + ^1_0\text{n}$

4) $^6_3\text{Li} + ^2_1\text{H} \rightarrow ^4_2\text{He} + ^4_2\text{He}$

Для определения того, высвобождается или поглощается энергия в ядерной реакции, необходимо рассчитать энергетический выход реакции $Q$. Энергетический выход определяется по формуле Эйнштейна $Q = \Delta m \cdot c^2$, где $\Delta m$ — дефект масс, а $c$ — скорость света. Дефект масс — это разница между суммарной массой частиц до реакции (реагентов) и суммарной массой частиц после реакции (продуктов):

$\Delta m = \sum m_{реагентов} - \sum m_{продуктов}$

Если $\Delta m > 0$ ($Q > 0$), то масса продуктов меньше массы реагентов, и недостающая масса превращается в энергию. В этом случае энергия высвобождается (экзотермическая реакция).

Если $\Delta m < 0$ ($Q < 0$), то масса продуктов больше массы реагентов, и для осуществления реакции требуется дополнительная энергия. В этом случае энергия поглощается (эндотермическая реакция).

Для расчетов будем использовать точные массы атомов в атомных единицах массы (а.е.м.).

Дано:

Массы изотопов и частиц (в а.е.м.):
$m(_{3}^{7}\textrm{Li}) = 7.016004$ а.е.м.
$m(_{2}^{4}\textrm{He}) = 4.002603$ а.е.м.
$m(_{5}^{10}\textrm{B}) = 10.012937$ а.е.м.
$m(_{0}^{1}\textrm{n}) = 1.008665$ а.е.м.
$m(_{1}^{2}\textrm{H}) = 2.014102$ а.е.м.
$m(_{1}^{1}\textrm{H}) = 1.007825$ а.е.м.
$m(_{1}^{3}\textrm{H}) = 3.016049$ а.е.м.
$m(_{2}^{3}\textrm{He}) = 3.016029$ а.е.м.
$m(_{3}^{6}\textrm{Li}) = 6.015122$ а.е.м.

Найти:

Высвобождается или поглощается энергия в каждой из четырех реакций.

Решение:

1) Для реакции $_{3}^{7}\textrm{Li} + _{2}^{4}\textrm{He} \rightarrow _{5}^{10}\textrm{B} + _{0}^{1}\textrm{n}$

Рассчитаем дефект масс $\Delta m_1$:
Масса реагентов: $m_{реаг} = m(_{3}^{7}\textrm{Li}) + m(_{2}^{4}\textrm{He}) = 7.016004 \text{ а.е.м.} + 4.002603 \text{ а.е.м.} = 11.018607$ а.е.м.
Масса продуктов: $m_{прод} = m(_{5}^{10}\textrm{B}) + m(_{0}^{1}\textrm{n}) = 10.012937 \text{ а.е.м.} + 1.008665 \text{ а.е.м.} = 11.021602$ а.е.м.
Дефект масс: $\Delta m_1 = m_{реаг} - m_{прод} = 11.018607 \text{ а.е.м.} - 11.021602 \text{ а.е.м.} = -0.002995$ а.е.м.
Так как $\Delta m_1 < 0$, энергия в ходе реакции поглощается.

Ответ: Энергия поглощается.

2) Для реакции $_{1}^{2}\textrm{H} + _{1}^{2}\textrm{H} \rightarrow _{1}^{1}\textrm{H} + _{1}^{3}\textrm{H}$

Рассчитаем дефект масс $\Delta m_2$:
Масса реагентов: $m_{реаг} = 2 \cdot m(_{1}^{2}\textrm{H}) = 2 \cdot 2.014102 \text{ а.е.м.} = 4.028204$ а.е.м.
Масса продуктов: $m_{прод} = m(_{1}^{1}\textrm{H}) + m(_{1}^{3}\textrm{H}) = 1.007825 \text{ а.е.м.} + 3.016049 \text{ а.е.м.} = 4.023874$ а.е.м.
Дефект масс: $\Delta m_2 = m_{реаг} - m_{прод} = 4.028204 \text{ а.е.м.} - 4.023874 \text{ а.е.м.} = 0.00433$ а.е.м.
Так как $\Delta m_2 > 0$, энергия в ходе реакции высвобождается.

Ответ: Энергия высвобождается.

3) Для реакции $_{1}^{2}\textrm{H} + _{1}^{2}\textrm{H} \rightarrow _{2}^{3}\textrm{He} + _{0}^{1}\textrm{n}$

Рассчитаем дефект масс $\Delta m_3$:
Масса реагентов: $m_{реаг} = 2 \cdot m(_{1}^{2}\textrm{H}) = 2 \cdot 2.014102 \text{ а.е.м.} = 4.028204$ а.е.м.
Масса продуктов: $m_{прод} = m(_{2}^{3}\textrm{He}) + m(_{0}^{1}\textrm{n}) = 3.016029 \text{ а.е.м.} + 1.008665 \text{ а.е.м.} = 4.024694$ а.е.м.
Дефект масс: $\Delta m_3 = m_{реаг} - m_{прод} = 4.028204 \text{ а.е.м.} - 4.024694 \text{ а.е.м.} = 0.00351$ а.е.м.
Так как $\Delta m_3 > 0$, энергия в ходе реакции высвобождается.

Ответ: Энергия высвобождается.

4) Для реакции $_{3}^{6}\textrm{Li} + _{1}^{2}\textrm{H} \rightarrow _{2}^{4}\textrm{He} + _{2}^{4}\textrm{He}$

Рассчитаем дефект масс $\Delta m_4$:
Масса реагентов: $m_{реаг} = m(_{3}^{6}\textrm{Li}) + m(_{1}^{2}\textrm{H}) = 6.015122 \text{ а.е.м.} + 2.014102 \text{ а.е.м.} = 8.029224$ а.е.м.
Масса продуктов: $m_{прод} = 2 \cdot m(_{2}^{4}\textrm{He}) = 2 \cdot 4.002603 \text{ а.е.м.} = 8.005206$ а.е.м.
Дефект масс: $\Delta m_4 = m_{реаг} - m_{прод} = 8.029224 \text{ а.е.м.} - 8.005206 \text{ а.е.м.} = 0.024018$ а.е.м.
Так как $\Delta m_4 > 0$, энергия в ходе реакции высвобождается.

Ответ: Энергия высвобождается.