Номер 75.9, страница 253 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 75. Элементарные частицы. Взаимосвязь энергии и массы. Глава 10. Квантовые явления - номер 75.9, страница 253.

75.9* [1699*] Определите дефект массы и энергию связи $E_{\text{св}} = \Delta mc^2$ ядра бора ${}_{5}^{10}\text{B}$. Какая энергия связи ядра приходится на один нуклон?

Дано:

Ядро бора: ${}_{5}^{10}\text{B}$

Масса атома водорода ${}^{1}\text{H}$: $m_H = 1.00783$ а.е.м.

Масса нейтрона: $m_n = 1.00866$ а.е.м.

Масса атома бора ${}^{10}\text{B}$: $M_{ат} = 10.01294$ а.е.м.

Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.

Атомная единица массы: $1 \text{ а.е.м.} = 1.66054 \cdot 10^{-27}$ кг.

Энергетический эквивалент $1$ а.е.м. $= 931.5$ МэВ.

Перевод в СИ:

$m_H = 1.00783 \text{ а.е.м.} \cdot 1.66054 \cdot 10^{-27} \frac{\text{кг}}{\text{а.е.м.}} \approx 1.67356 \cdot 10^{-27}$ кг

$m_n = 1.00866 \text{ а.е.м.} \cdot 1.66054 \cdot 10^{-27} \frac{\text{кг}}{\text{а.е.м.}} \approx 1.67492 \cdot 10^{-27}$ кг

$M_{ат} = 10.01294 \text{ а.е.м.} \cdot 1.66054 \cdot 10^{-27} \frac{\text{кг}}{\text{а.е.м.}} \approx 1.66274 \cdot 10^{-26}$ кг

Найти:

1. Дефект массы ядра $\Delta m$.

2. Энергию связи ядра $E_{св}$.

3. Энергию связи на один нуклон $E_{уд}$.

Решение:

Ядро атома бора ${}_{5}^{10}\text{B}$ состоит из $Z=5$ протонов и $N = A - Z = 10-5=5$ нейтронов. Общее число нуклонов в ядре $A=10$.

1. Определение дефекта массы

Дефект массы $\Delta m$ — это разность между суммой масс покоя нуклонов, составляющих ядро, и массой самого ядра. Для удобства расчетов, чтобы учесть массу электронов, используются массы нейтральных атомов (масса атома водорода ${}^{1}\text{H}$ вместо массы протона).

Формула для расчета дефекта масс с использованием масс атомов:

$\Delta m = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - M_{ат}({}^{10}\text{B})$

Подставим значения масс в атомных единицах массы (а.е.м.):

$\Delta m = (5 \cdot 1.00783 \text{ а.е.м.} + 5 \cdot 1.00866 \text{ а.е.м.}) - 10.01294 \text{ а.е.м.}$

$\Delta m = (5.03915 \text{ а.е.м.} + 5.04330 \text{ а.е.м.}) - 10.01294 \text{ а.е.м.}$

$\Delta m = 10.08245 \text{ а.е.м.} - 10.01294 \text{ а.е.м.} = 0.06951 \text{ а.е.м.}$

Переведем дефект массы в килограммы (СИ):

$\Delta m = 0.06951 \text{ а.е.м.} \cdot 1.66054 \cdot 10^{-27} \frac{\text{кг}}{\text{а.е.м.}} \approx 1.154 \cdot 10^{-28} \text{ кг}$

Ответ: Дефект массы ядра бора ${}_{5}^{10}\text{B}$ равен $0.06951$ а.е.м. или приблизительно $1.154 \cdot 10^{-28}$ кг.

2. Определение энергии связи

Энергия связи $E_{св}$ — это энергия, которая выделяется при образовании ядра из отдельных нуклонов. Она эквивалентна дефекту массы согласно соотношению Эйнштейна $E_{св} = \Delta m c^2$.

Удобнее всего вычислять энергию связи в мегаэлектронвольтах (МэВ), используя энергетический эквивалент $1$ а.е.м., который равен $931.5$ МэВ.

$E_{св} = \Delta m \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}}$

$E_{св} = 0.06951 \text{ а.е.м.} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 64.75 \text{ МэВ}$

Можно также рассчитать энергию в джоулях (СИ):

$E_{св} = \Delta m \cdot c^2 = (1.154 \cdot 10^{-28} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 \approx 1.039 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}$

Ответ: Энергия связи ядра бора ${}_{5}^{10}\text{B}$ составляет приблизительно $64.75$ МэВ или $1.039 \cdot 10^{-11}$ Дж.

3. Определение энергии связи, приходящейся на один нуклон

Энергия связи, приходящаяся на один нуклон (удельная энергия связи $E_{уд}$), характеризует прочность ядра. Она равна отношению полной энергии связи к числу нуклонов в ядре $A$.

$E_{уд} = \frac{E_{св}}{A}$

Для ядра бора ${}_{5}^{10}\text{B}$ число нуклонов $A=10$.

$E_{уд} = \frac{64.75 \text{ МэВ}}{10} = 6.475 \frac{\text{МэВ}}{\text{нуклон}}$

Ответ: Энергия связи, приходящаяся на один нуклон, составляет $6.475$ МэВ/нуклон.