Номер 75.13, страница 253 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 75. Элементарные частицы. Взаимосвязь энергии и массы. Глава 10. Квантовые явления - номер 75.13, страница 253.

75.13* [1702*] Какое из ядер — $ _{2}^{4}\text{He} $ или $ _{5}^{10}\text{B} $ — обладает большей устойчивостью?

Дано:

Ядро гелия-4: $_{2}^{4}\text{He}$
Ядро бора-10: $_{5}^{10}\text{B}$
Масса атома водорода ($_{1}^{1}\text{H}$): $m_{H} = 1.007825 \text{ а.е.м.}$
Масса нейтрона ($n$): $m_n = 1.008665 \text{ а.е.м.}$
Масса атома гелия-4 ($_{2}^{4}\text{He}$): $M_{He} = 4.002603 \text{ а.е.м.}$
Масса атома бора-10 ($_{5}^{10}\text{B}$): $M_{B} = 10.012937 \text{ а.е.м.}$
Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 \approx 931.5 \text{ МэВ}$

Найти:

Какое из ядер, $_{2}^{4}\text{He}$ или $_{5}^{10}\text{B}$, обладает большей устойчивостью?

Решение:

Мерой устойчивости атомного ядра служит удельная энергия связи, то есть энергия связи, приходящаяся на один нуклон. Чем больше удельная энергия связи, тем более устойчивым является ядро.

Удельная энергия связи $\epsilon$ вычисляется по формуле: $ \epsilon = \frac{E_{св}}{A} = \frac{\Delta m \cdot c^2}{A} $ где $E_{св}$ – полная энергия связи ядра, $A$ – массовое число (общее число нуклонов в ядре), а $\Delta m$ – дефект масс.

Дефект масс $\Delta m$ — это разность между суммой масс составляющих ядро свободных протонов и нейтронов и массой самого ядра. Удобнее использовать массы атомов, так как массы электронов сокращаются: $ \Delta m = (Z \cdot m_{H} + N \cdot m_n) - M_{атома} $ где $Z$ – число протонов, $N$ – число нейтронов, $m_{H}$ – масса атома водорода, $m_n$ – масса нейтрона, $M_{атома}$ – масса атома рассматриваемого изотопа.

Вычислим удельную энергию связи для каждого ядра.

Для ядра гелия $_{2}^{4}\text{He}$: Число протонов $Z = 2$, число нейтронов $N = A - Z = 4 - 2 = 2$.
Дефект масс: $ \Delta m_{He} = (2 \cdot m_{H} + 2 \cdot m_n) - M_{He} $
$ \Delta m_{He} = (2 \cdot 1.007825 \text{ а.е.м.} + 2 \cdot 1.008665 \text{ а.е.м.}) - 4.002603 \text{ а.е.м.} $
$ \Delta m_{He} = (2.01565 + 2.01733) \text{ а.е.м.} - 4.002603 \text{ а.е.м.} = 4.03298 \text{ а.е.м.} - 4.002603 \text{ а.е.м.} = 0.030377 \text{ а.е.м.} $
Энергия связи: $ E_{св, He} = \Delta m_{He} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} = 0.030377 \cdot 931.5 \text{ МэВ} \approx 28.296 \text{ МэВ} $
Удельная энергия связи: $ \epsilon_{He} = \frac{E_{св, He}}{A} = \frac{28.296 \text{ МэВ}}{4} \approx 7.074 \frac{\text{МэВ}}{\text{нуклон}} $

Для ядра бора $_{5}^{10}\text{B}$: Число протонов $Z = 5$, число нейтронов $N = A - Z = 10 - 5 = 5$.
Дефект масс: $ \Delta m_{B} = (5 \cdot m_{H} + 5 \cdot m_n) - M_{B} $
$ \Delta m_{B} = (5 \cdot 1.007825 \text{ а.е.м.} + 5 \cdot 1.008665 \text{ а.е.м.}) - 10.012937 \text{ а.е.м.} $
$ \Delta m_{B} = (5.039125 + 5.043325) \text{ а.е.м.} - 10.012937 \text{ а.е.м.} = 10.08245 \text{ а.е.м.} - 10.012937 \text{ а.е.м.} = 0.069513 \text{ а.е.м.} $
Энергия связи: $ E_{св, B} = \Delta m_{B} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} = 0.069513 \cdot 931.5 \text{ МэВ} \approx 64.751 \text{ МэВ} $
Удельная энергия связи: $ \epsilon_{B} = \frac{E_{св, B}}{A} = \frac{64.751 \text{ МэВ}}{10} \approx 6.475 \frac{\text{МэВ}}{\text{нуклон}} $

Сравнивая полученные значения, видим, что удельная энергия связи ядра гелия ($ \epsilon_{He} \approx 7.074 \text{ МэВ/нуклон} $) больше, чем удельная энергия связи ядра бора ($ \epsilon_{B} \approx 6.475 \text{ МэВ/нуклон} $).

Ответ: Ядро гелия $_{2}^{4}\text{He}$ обладает большей устойчивостью.