Номер 75.12, страница 253 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 75. Элементарные частицы. Взаимосвязь энергии и массы. Глава 10. Квантовые явления - номер 75.12, страница 253.

75.12* [1701*] Вычислив удельную энергию связи, определите, какое из ядер — $\text{}_4^9\text{Be}$ или $\text{}_{13}^{27}\text{Al}$ — является более устойчивым.

Дано:

Изотоп бериллия: $_{4}^{9}\text{Be}$

Изотоп алюминия: $_{13}^{27}\text{Al}$

Масса атома бериллия-9: $M_{Be} = 9.012182 \text{ а.е.м.}$

Масса атома алюминия-27: $M_{Al} = 26.981538 \text{ а.е.м.}$

Масса атома водорода: $m_H = 1.007825 \text{ а.е.м.}$

Масса нейтрона: $m_n = 1.008665 \text{ а.е.м.}$

Энергетический эквивалент атомной единицы массы: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 = 931.5 \text{ МэВ}$

Найти:

Удельные энергии связи ядер $\epsilon_{Be}$, $\epsilon_{Al}$ и определить, какое из ядер более устойчиво.

Решение:

Устойчивость атомного ядра характеризуется удельной энергией связи — энергией связи, приходящейся на один нуклон в ядре. Чем больше удельная энергия связи, тем устойчивее ядро.

Удельная энергия связи $\epsilon$ вычисляется по формуле:

$\epsilon = \frac{E_{св}}{A}$

где $E_{св}$ — энергия связи ядра, $A$ — массовое число (общее число нуклонов в ядре).

Энергия связи ядра определяется дефектом масс $\Delta M$ согласно соотношению Эйнштейна:

$E_{св} = \Delta M \cdot c^2$

Дефект масс — это разность между суммарной массой свободных нуклонов (протонов и нейтронов), из которых состоит ядро, и реальной массой ядра. Для вычислений удобнее использовать массы нейтральных атомов. В этом случае формула для дефекта масс имеет вид:

$\Delta M = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - M_{атома}$

где $Z$ — зарядовое число (число протонов), $N$ — число нейтронов ($N = A - Z$), $m_H$ — масса атома водорода, $m_n$ — масса нейтрона, $M_{атома}$ — масса атома данного изотопа.

Расчет для ядра бериллия-9 ($_{4}^{9}\text{Be}$)

Для ядра бериллия-9 имеем:

Массовое число: $A = 9$

Число протонов: $Z = 4$

Число нейтронов: $N = A - Z = 9 - 4 = 5$

Вычислим дефект масс $\Delta M_{Be}$:

$\Delta M_{Be} = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - M_{Be}$

$\Delta M_{Be} = (4 \cdot 1.007825 \text{ а.е.м.} + 5 \cdot 1.008665 \text{ а.е.м.}) - 9.012182 \text{ а.е.м.}$

$\Delta M_{Be} = (4.031300 + 5.043325) \text{ а.е.м.} - 9.012182 \text{ а.е.м.} = 9.074625 \text{ а.е.м.} - 9.012182 \text{ а.е.м.} = 0.062443 \text{ а.е.м.}$

Энергия связи ядра бериллия-9:

$E_{св, Be} = \Delta M_{Be} \cdot c^2 = 0.062443 \text{ а.е.м.} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 58.163 \text{ МэВ}$

Удельная энергия связи ядра бериллия-9:

$\epsilon_{Be} = \frac{E_{св, Be}}{A} = \frac{58.163 \text{ МэВ}}{9} \approx 6.463 \text{ МэВ/нуклон}$

Расчет для ядра алюминия-27 ($_{13}^{27}\text{Al}$)

Для ядра алюминия-27 имеем:

Массовое число: $A = 27$

Число протонов: $Z = 13$

Число нейтронов: $N = A - Z = 27 - 13 = 14$

Вычислим дефект масс $\Delta M_{Al}$:

$\Delta M_{Al} = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - M_{Al}$

$\Delta M_{Al} = (13 \cdot 1.007825 \text{ а.е.м.} + 14 \cdot 1.008665 \text{ а.е.м.}) - 26.981538 \text{ а.е.м.}$

$\Delta M_{Al} = (13.101725 + 14.121310) \text{ а.е.м.} - 26.981538 \text{ а.е.м.} = 27.223035 \text{ а.е.м.} - 26.981538 \text{ а.е.м.} = 0.241497 \text{ а.е.м.}$

Энергия связи ядра алюминия-27:

$E_{св, Al} = \Delta M_{Al} \cdot c^2 = 0.241497 \text{ а.е.м.} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 224.954 \text{ МэВ}$

Удельная энергия связи ядра алюминия-27:

$\epsilon_{Al} = \frac{E_{св, Al}}{A} = \frac{224.954 \text{ МэВ}}{27} \approx 8.332 \text{ МэВ/нуклон}$

Сравнение устойчивости ядер

Сравним полученные значения удельной энергии связи:

$\epsilon_{Be} \approx 6.463 \text{ МэВ/нуклон}$

$\epsilon_{Al} \approx 8.332 \text{ МэВ/нуклон}$

Поскольку удельная энергия связи ядра алюминия-27 больше, чем удельная энергия связи ядра бериллия-9 ($\epsilon_{Al} > \epsilon_{Be}$), ядро алюминия-27 является более прочным и, следовательно, более устойчивым.

Ответ: удельная энергия связи ядра бериллия-9 равна примерно $6.463 \text{ МэВ/нуклон}$, удельная энергия связи ядра алюминия-27 — примерно $8.332 \text{ МэВ/нуклон}$. Ядро $_{13}^{27}\text{Al}$ является более устойчивым.