Страница 241 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

69.40 [1622] Зачем у диапозитивов, вставляемых в проекционный аппарат, предварительно определяют верх и низ кадра; его правую и левую сторону?

Это необходимо из-за особенностей работы объектива проекционного аппарата. Объектив проектора представляет собой собирающую линзу. Согласно законам геометрической оптики, собирающая линза создает на экране действительное, увеличенное и перевернутое изображение объекта (в данном случае — диапозитива).

Свойство «перевернутое» означает, что изображение переворачивается в двух плоскостях:

1. Вертикальный переворот: то, что было вверху кадра, на экране оказывается внизу, и наоборот. Чтобы изображение на экране было ориентировано правильно по вертикали, диапозитив нужно вставлять в аппарат «вверх ногами».
2. Горизонтальный переворот (зеркальное отражение): то, что было на диапозитиве справа, на экране оказывается слева, и наоборот. Чтобы изображение на экране не было зеркальным (например, чтобы можно было прочитать текст), диапозитив нужно вставлять так, чтобы его левая сторона оказалась справа, а правая — слева.

Таким образом, предварительное определение всех сторон кадра необходимо для того, чтобы правильно сориентировать диапозитив при его установке в проектор и получить на экране прямое, а не перевернутое и не зеркальное изображение.

Ответ: Объектив проекционного аппарата (собирающая линза) дает перевернутое изображение. Чтобы на экране изображение было прямым, диапозитив необходимо вставлять в аппарат перевернутым как по вертикали («вверх ногами»), так и по горизонтали (зеркально). Для этого и нужно предварительно определить верх, низ, правую и левую стороны кадра.

69.41 [1623] Почему объективы у проекционных аппаратов и фотоаппаратов должны быть подвижными?

Подвижность объективов у проекционных аппаратов и фотоаппаратов необходима для выполнения процесса фокусировки, то есть для получения резкого изображения объектов. Принцип работы этих оптических приборов основан на свойстве собирающей линзы (или сложной системы линз, которой является объектив) формировать действительное изображение.

Взаимосвязь между расстоянием от центра линзы до объекта ($d$), расстоянием от центра линзы до формируемого изображения ($f$) и главным фокусным расстоянием линзы ($F$) описывается формулой тонкой линзы:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$
Из этой формулы видно, что для линзы с постоянным фокусным расстоянием ($F$) расстояние до изображения ($f$) напрямую зависит от расстояния до объекта ($d$). Для получения резкого изображения необходимо, чтобы оно формировалось точно в определенной плоскости (на фотопленке/матрице или на экране).

В фотоаппарате светочувствительный элемент (матрица или пленка), на котором должно сформироваться резкое изображение, находится на фиксированном расстоянии от корпуса аппарата. Однако объекты съемки могут находиться на самых разных расстояниях ($d$) от объектива. Чтобы изображение получилось резким именно на плоскости сенсора, необходимо, чтобы расстояние от объектива до сенсора ($f$) соответствовало формуле линзы для текущего расстояния до объекта ($d$). Перемещая объектив вдоль оптической оси, мы изменяем расстояние $f$ и добиваемся того, чтобы плоскость резкого изображения совпала с плоскостью сенсора.

В проекционном аппарате ситуация несколько иная. Объект (слайд или матрица дисплея) находится внутри аппарата, и его расстояние до объектива ($d$) можно регулировать. Изображение же проецируется на экран, который может быть установлен на разном расстоянии ($f$) от проектора. Для получения резкого изображения на экране, необходимо, изменяя расстояние ($d$) от слайда до объектива, удовлетворить формуле линзы для заданного расстояния до экрана ($f$). Это изменение расстояния $d$ также осуществляется путем перемещения объектива.

Таким образом, подвижность объектива — это конструктивная необходимость, позволяющая настраивать оптическую систему для получения резкого изображения при изменяющихся условиях (изменение расстояния до объекта съемки или до экрана).

Ответ: Подвижность объективов в проекторах и фотоаппаратах необходима для фокусировки, то есть для наведения на резкость. Так как расстояние до снимаемого объекта (в фотоаппарате) или до экрана (в проекторе) может меняться, перемещение объектива позволяет изменить расстояние между ним и плоскостью формирования изображения (в фотоаппарате) или плоскостью объекта (в проекторе) в соответствии с формулой линзы, чтобы изображение оставалось четким.

69.42 [1624] Склеив два часовых стекла, мальчик получил двояковыпуклую «воздушную» линзу. Собирающей или рассеивающей будет эта линза, если её поместить на пути лучей в сосуде с водой?

Для определения того, будет ли линза собирающей или рассеивающей, необходимо сравнить показатель преломления материала линзы с показателем преломления окружающей среды.

Дано:

Материал линзы – воздух. Показатель преломления воздуха $n_{линзы} = n_{возд} \approx 1,0$.
Окружающая среда – вода. Показатель преломления воды $n_{среды} = n_{воды} \approx 1,33$.
Форма линзы – двояковыпуклая.

Найти:

Будет ли линза собирающей или рассеивающей.

Решение:

Оптическая сила линзы $D$ (и ее фокусное расстояние $F$) определяется по формуле для тонкой линзы (формула линзмейкера):

$D = \frac{1}{F} = (\frac{n_{линзы}}{n_{среды}} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$

где $n_{линзы}$ – показатель преломления материала линзы, $n_{среды}$ – показатель преломления окружающей среды, а $R_1$ и $R_2$ – радиусы кривизны поверхностей линзы.

Знак оптической силы $D$ определяет тип линзы:

• Если $D > 0$ (фокусное расстояние $F > 0$), линза является собирающей.
• Если $D < 0$ (фокусное расстояние $F < 0$), линза является рассеивающей.

Рассмотрим множители в формуле:

1. Геометрический фактор $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$. Для двояковыпуклой линзы (у которой обе поверхности выпуклые) этот множитель всегда положителен.

2. Фактор показателей преломления $(\frac{n_{линзы}}{n_{среды}} - 1)$. В нашем случае линза воздушная ($n_{линзы} \approx 1,0$), а среда – вода ($n_{среды} \approx 1,33$).
Поскольку показатель преломления линзы меньше показателя преломления среды ($n_{линзы} < n_{среды}$), то отношение $\frac{n_{линзы}}{n_{среды}} < 1$.

Следовательно, разность будет отрицательной:

$(\frac{n_{линзы}}{n_{среды}} - 1) = (\frac{1,0}{1,33} - 1) \approx (0,75 - 1) = -0,25 < 0$

Поскольку оптическая сила $D$ является произведением положительного геометрического фактора и отрицательного фактора показателей преломления, она будет отрицательной ($D < 0$).

Линза, имеющая отрицательную оптическую силу, является рассеивающей. Это происходит потому, что лучи света, входящие в линзу из оптически более плотной среды (воды) в оптически менее плотную (воздух), преломляются, отклоняясь от главной оптической оси на выпуклых границах раздела сред. Таким образом, двояковыпуклая по форме линза в таких условиях действует как двояковогнутая.

Ответ: Двояковыпуклая «воздушная» линза, помещенная в воду, будет рассеивающей.

$69.43^{\circ} [1625^{\circ}]$ Даны две собирающие линзы. Как надо их расположить, чтобы параллельные лучи, пройдя сквозь обе линзы, остались параллельными?

Решение

Чтобы понять, как нужно расположить две собирающие линзы, рассмотрим последовательно прохождение света через каждую из них.

1. Когда пучок параллельных лучей падает на первую собирающую линзу (объектив), она собирает эти лучи в одной точке. Эта точка называется задним главным фокусом линзы и находится на расстоянии, равном ее фокусному расстоянию $f_1$, от оптического центра линзы.

2. Теперь эти сходящиеся лучи падают на вторую собирающую линзу (окуляр). Чтобы после прохождения второй линзы лучи снова стали параллельными, они должны падать на нее так, как будто исходят из ее переднего главного фокуса. Это следует из принципа обратимости световых лучей: если источник света поместить в фокус собирающей линзы, то после преломления в ней лучи пойдут параллельным пучком. Пусть фокусное расстояние второй линзы равно $f_2$.

3. Таким образом, чтобы выполнить условие задачи, необходимо, чтобы точка, в которой первая линза собирает лучи (ее задний фокус), совпадала с точкой, из которой должны исходить лучи для второй линзы (ее передний фокус).

Это означает, что линзы должны быть расположены соосно (их главные оптические оси должны лежать на одной прямой), а расстояние $d$ между их оптическими центрами должно быть равно сумме их фокусных расстояний:

$d = f_1 + f_2$

Такая система линз является основной для телескопа-рефрактора (трубы Кеплера), который используется для наблюдения удаленных объектов. Входящие параллельные лучи от удаленного объекта выходят из системы также параллельными, что удобно для наблюдения глазом.

Ответ: Две собирающие линзы необходимо расположить так, чтобы их главные оптические оси совпадали, а задний фокус первой линзы совпадал с передним фокусом второй линзы. Расстояние между оптическими центрами линз должно быть равно сумме их фокусных расстояний ($d = f_1 + f_2$).

69.44 [1626] Перед собирающей линзой надо поместить горящую свечу так, чтобы расстояние между пламенем и действительным его изображением было наименьшим. Где должна стоять свеча по отношению к линзе?

Дано:
Линза – собирающая, фокусное расстояние $F$.
Изображение – действительное.
$d$ – расстояние от предмета (пламени свечи) до линзы.
$f$ – расстояние от изображения до линзы.
$L$ – расстояние между пламенем и его изображением.

Найти:
$d$, при котором $L$ будет наименьшим ($L \to min$).

Решение:
Поскольку линза собирающая, а изображение действительное, предмет и изображение находятся по разные стороны от линзы. Расстояние между ними $L$ равно сумме расстояний от предмета до линзы ($d$) и от линзы до изображения ($f$):
$L = d + f$
Связь между этими величинами и фокусным расстоянием линзы $F$ описывается формулой тонкой линзы:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$
Для получения действительного изображения в собирающей линзе предмет должен находиться на расстоянии, большем фокусного, то есть $d > F$.
Выразим расстояние $f$ из формулы тонкой линзы:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{dF}$
$f = \frac{dF}{d - F}$
Подставим это выражение в формулу для расстояния $L$:
$L(d) = d + \frac{dF}{d - F}$
Чтобы найти наименьшее значение $L$, нужно исследовать эту функцию на экстремум. Для этого найдем производную функции $L(d)$ по $d$ и приравняем ее к нулю.
$\frac{dL}{dd} = \frac{d}{dd}\left(d + \frac{dF}{d - F}\right) = 1 + \frac{\frac{d}{dd}(dF) \cdot (d-F) - dF \cdot \frac{d}{dd}(d-F)}{(d-F)^2} = 1 + \frac{F(d-F) - dF(1)}{(d-F)^2}$
$\frac{dL}{dd} = 1 + \frac{dF - F^2 - dF}{(d-F)^2} = 1 - \frac{F^2}{(d-F)^2}$
Приравняем производную к нулю:
$1 - \frac{F^2}{(d-F)^2} = 0$
$(d-F)^2 = F^2$
Извлекая квадратный корень, получаем два возможных решения:
1) $d - F = F \Rightarrow d = 2F$
2) $d - F = -F \Rightarrow d = 0$
Второй корень $d=0$ не имеет физического смысла. Условие $d > F$ выполняется для первого корня $d = 2F$.
Таким образом, расстояние между предметом и его действительным изображением будет наименьшим, если предмет поместить на расстоянии, равном двум фокусным расстояниям от линзы. При этом изображение также будет находиться на расстоянии $2F$ от линзы с другой стороны, а минимальное расстояние между предметом и изображением составит $L_{min} = 2F + 2F = 4F$.

Ответ: Свеча должна стоять на расстоянии, равном двум фокусным расстояниям от линзы ($d=2F$).

69.45 [1627] С помощью линзы на экране получено чёткое изображение свечи. Как изменится изображение, если поменять местами свечу и экран?

Решение

Это явление объясняется принципом обратимости световых лучей. Согласно этому принципу, траектория светового луча не изменится, если поменять направление его распространения на противоположное. Это означает, что если мы поменяем местами источник света (предмет) и его изображение, то лучи света пройдут по тем же путям, но в обратном направлении.

Математически это можно доказать с помощью формулы тонкой линзы: $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $ где $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения, а $F$ — фокусное расстояние линзы.

Пусть в начальном состоянии расстояние от свечи до линзы было $d_1$, а расстояние от линзы до экрана, на котором получено чёткое изображение, было $f_1$. Для них выполняется соотношение: $ \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F} $

Теперь поменяем местами свечу и экран. Новое расстояние от предмета (свечи) до линзы будет $d_2 = f_1$. Экран же теперь находится на расстоянии $d_1$ от линзы. Найдем, где сформируется новое изображение. Пусть расстояние от линзы до нового изображения равно $f_2$. Запишем для этой ситуации формулу тонкой линзы: $ \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F} \implies \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F} $

Сравнивая полученное уравнение с исходным ($ \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F} $), мы можем заключить, что $ \frac{1}{f_2} = \frac{1}{d_1} $, и, следовательно, $f_2 = d_1$.

Это означает, что новое чёткое изображение сформируется на расстоянии $d_1$ от линзы, то есть точно там, где теперь находится экран. Таким образом, изображение на экране останется чётким.

Однако изменится размер изображения. Линейное увеличение линзы $G$ равно отношению расстояния до изображения к расстоянию до предмета: $G = \frac{f}{d}$.

Изначальное увеличение было $G_1 = \frac{f_1}{d_1}$.

Новое увеличение стало $G_2 = \frac{f_2}{d_2} = \frac{d_1}{f_1}$.

Как видно, $G_2 = \frac{1}{G_1}$. Это значит, что если первоначальное изображение было увеличенным ($G_1 > 1$), то новое станет уменьшенным ($G_2 < 1$), и наоборот. Если же изначально размеры предмета и изображения были одинаковы ($d_1 = f_1$, что возможно при $d_1 = 2F$), то и после перестановки размер изображения не изменится ($G_1 = G_2 = 1$). Характер изображения (действительное, перевёрнутое) не изменится.

Ответ: Изображение останется чётким, так как оно сформируется на новом месте экрана. Однако его размер изменится: если изображение было увеличенным, оно станет уменьшенным, и наоборот. Если размер изображения был равен размеру предмета, он не изменится.

69.46* [1628*] С помощью линзы на экране получено перевернутое изображение пламени свечи. Изменится ли протяжённость этого изображения, если часть линзы заслонить листом картона?

69.46* [1628]

Решение

Изображение предмета, в данном случае пламени свечи, формируется линзой путем преломления световых лучей, исходящих от каждой точки предмета. В случае собирающей линзы, которая дает действительное перевёрнутое изображение на экране, лучи от одной точки предмета, пройдя через разные части линзы, собираются в одной точке изображения.

Каждая точка на поверхности линзы вносит свой вклад в формирование изображения каждой точки объекта. Это означает, что даже через небольшой участок линзы проходят лучи от всего пламени свечи, и этот участок формирует полное, хотя и очень тусклое, изображение.

Положение и размер изображения определяются фокусным расстоянием линзы $F$, расстоянием от предмета до линзы $d$ и расстоянием от линзы до изображения $f$. Эти величины связаны формулой тонкой линзы: $$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $$ Протяжённость (линейный размер) изображения $H$ зависит от размера предмета $h$ и линейного увеличения $\Gamma$: $$ \Gamma = \frac{H}{h} = \frac{f}{d} $$

Когда часть линзы заслоняется картоном, ни фокусное расстояние линзы $F$, ни расстояние до предмета $d$ не изменяются. Следовательно, из формулы линзы следует, что расстояние до изображения $f$ также останется неизменным. Поскольку $f$ и $d$ не меняются, то и увеличение $\Gamma$, а значит и протяжённость изображения $H$, останутся прежними.

Изменится только количество света, которое формирует изображение. Поскольку картон блокирует часть лучей, через линзу пройдет меньший световой поток. В результате изображение на экране станет менее ярким (более тусклым), но его размер и положение не изменятся.

Ответ: Протяжённость изображения не изменится. Изображение станет только менее ярким.

69.47 [1629] При каком условии изображение предмета в собирающей линзе получается мнимым? Можно ли видеть это изображение? Можно ли его сфотографировать? Можно ли получить это изображение на экране?

При каком условии изображение предмета в собирающей линзе получается мнимым?

Изображение предмета в собирающей линзе получается мнимым, если предмет находится между оптическим центром линзы и ее главным фокусом. То есть расстояние от предмета до линзы $d$ должно быть меньше ее фокусного расстояния $F$.

Это следует из формулы тонкой линзы: $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $ где $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения, $F$ — фокусное расстояние линзы. Для собирающей линзы $F > 0$.

Изображение является мнимым, если оно формируется с той же стороны от линзы, что и предмет. По правилу знаков это соответствует отрицательному значению расстояния до изображения: $f < 0$.

Выразим $ \frac{1}{f} $ из формулы: $ \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{dF} $

Следовательно, расстояние до изображения равно: $ f = \frac{dF}{d - F} $

Поскольку $d$ и $F$ — положительные величины, для того чтобы $f$ было отрицательным ($f < 0$), необходимо, чтобы знаменатель дроби был отрицательным: $ d - F < 0 $, что равносильно $ d < F $.

Такой принцип используется, например, в лупе.

Ответ: Изображение предмета в собирающей линзе получается мнимым, если предмет расположен между линзой и её фокусом ($d < F$).

Можно ли видеть это изображение?

Да, такое мнимое изображение можно видеть. Лучи света, выходящие из линзы, являются расходящимися. Когда эти лучи попадают в глаз наблюдателя, хрусталик (который тоже является собирающей линзой) фокусирует их на сетчатке, формируя там действительное изображение. Мозг интерпретирует эти сигналы так, как будто лучи исходят из точки мнимого изображения. Именно так мы видим предметы через лупу.

Ответ: Да, можно.

Можно ли его сфотографировать?

Да, мнимое изображение можно сфотографировать. Объектив фотоаппарата работает по тому же принципу, что и человеческий глаз. Он представляет собой систему линз, которая соберет расходящиеся лучи света, формирующие мнимое изображение, и создаст их действительное, перевернутое изображение на светочувствительной матрице или пленке.

Ответ: Да, можно.

Можно ли получить это изображение на экране?

Нет, мнимое изображение нельзя получить на экране. Для получения изображения на экране необходимо, чтобы световые лучи реально сходились в точках на поверхности экрана. Мнимое изображение образуется на пересечении продолжений расходящихся лучей, а не самих лучей. Если поместить экран в то место, где наблюдается мнимое изображение, на нем не будет никакой четкой картинки, так как лучи света в этой области пространства расходятся.

Ответ: Нет, нельзя.

69.48 [1630] Лампа находится на очень большом расстоянии от собирающей линзы. Её приближают к линзе до соприкосновения с ней. Куда при этом будет перемещаться изображение лампы? Как будет меняться изображение?

Решение

Положение и характеристики изображения, создаваемого собирающей линзой, зависят от расстояния $d$ от предмета (лампы) до линзы. Эта зависимость описывается формулой тонкой линзы: $$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $$ где $F$ – фокусное расстояние линзы (для собирающей линзы $F > 0$), $d$ – расстояние от предмета до линзы, $f$ – расстояние от линзы до изображения.

Увеличение линзы $\Gamma$ определяется как: $$ \Gamma = \frac{H'}{H} = -\frac{f}{d} $$ где $H$ и $H'$ – размеры предмета и изображения соответственно.

Рассмотрим процесс приближения лампы к линзе, разбив его на два этапа.

1. Лампа движется от очень большого расстояния ($d \to \infty$) до фокуса линзы ($d = F$).

В начальный момент, когда лампа очень далеко ($d \to \infty$), лучи от нее падают на линзу практически параллельным пучком. Из формулы линзы следует, что $1/f \approx 1/F$, то есть $f \approx F$. Изображение находится в задней фокальной плоскости линзы. Оно действительное ($f > 0$), перевернутое ($\Gamma \approx -F/d \to 0$, знак минус указывает на перевернутость) и очень маленькое (в пределе – точка).

По мере приближения лампы к линзе (уменьшения $d$), расстояние до изображения $f$ можно найти из выражения: $$ f = \frac{dF}{d - F} $$ Когда $d$ уменьшается от $\infty$ до $F$ (причем $d > F$), знаменатель $(d - F)$ является положительным и уменьшается от $\infty$ до $0$. Следовательно, расстояние $f$ увеличивается от $F$ до $+\infty$. Это означает, что действительное изображение удаляется от линзы в бесконечность.

Увеличение $\Gamma = -f/d = -F/(d-F)$. Так как $d > F$, то $d-F > 0$, и увеличение $\Gamma$ отрицательно, то есть изображение перевернутое. По модулю $|\Gamma| = F/(d-F)$ увеличивается от $0$ до $\infty$. Таким образом, по мере движения лампы от бесконечности к фокусу, ее действительное, перевернутое изображение движется от фокуса в бесконечность, непрерывно увеличиваясь в размерах.

2. Лампа движется от фокуса ($d = F$) до соприкосновения с линзой ($d = 0$).

Когда лампа находится в фокусе ($d=F$), изображение уходит в бесконечность (лучи выходят из линзы параллельным пучком).

Как только лампа пересекает фокус и оказывается между фокусом и линзой ($0 < d < F$), знаменатель в формуле для $f$ становится отрицательным ($d - F < 0$). Это означает, что $f$ становится отрицательным, то есть изображение становится мнимым. Оно располагается с той же стороны от линзы, что и сама лампа.

Когда $d$ стремится к $F$ со стороны меньших значений ($d \to F^-$), $f = dF/(d-F) \to -\infty$. То есть мнимое изображение появляется "из минус бесконечности". По мере дальнейшего приближения лампы к линзе ($d$ уменьшается от $F$ до $0$), расстояние $|f|$ до мнимого изображения уменьшается от $\infty$ до $0$. Когда лампа касается линзы ($d=0$), ее изображение также оказывается на линзе ($f=0$).

Рассмотрим характер изображения. Увеличение $\Gamma = -F/(d-F)$. При $0 < d < F$ знаменатель $(d-F)$ отрицателен, поэтому $\Gamma > 0$. Это означает, что изображение прямое (неперевернутое). Когда $d \to F^-$, увеличение $\Gamma \to +\infty$. Когда $d \to 0$, увеличение $\Gamma = -F/(-F) = 1$. Таким образом, при движении лампы от фокуса к линзе ее мнимое, прямое изображение движется из бесконечности к линзе, уменьшаясь в размерах от бесконечно большого до размера самой лампы.

Куда при этом будет перемещаться изображение лампы?

Сначала, пока лампа движется от бесконечности до фокуса линзы, ее действительное изображение перемещается от заднего фокуса линзы в бесконечность, удаляясь от линзы. Затем, когда лампа пересекает фокус и движется к линзе, ее мнимое изображение появляется с той же стороны линзы, что и предмет, и перемещается из бесконечности к линзе, пока не совпадет с ней в момент соприкосновения.

Ответ: Изображение сначала удаляется от линзы (от фокуса до бесконечности), а затем, став мнимым и появившись с той же стороны, приближается к линзе (от бесконечности до соприкосновения с ней).

Как будет меняться изображение?

Пока лампа движется от бесконечности до фокуса, ее изображение является действительным и перевернутым, а его размер увеличивается от нуля (точки) до бесконечности. После прохождения фокуса изображение становится мнимым и прямым, а его размер уменьшается от бесконечности до исходного размера лампы.

Ответ: Сначала изображение действительное, перевернутое и его размер увеличивается от точки до бесконечности. Затем оно становится мнимым, прямым и его размер уменьшается от бесконечности до размера самой лампы.

69.49⁰ [1631⁰] С помощью собирающей линзы можно получить два действительных изображения источника света, помещая источник на расстоянии $r_1$, а затем на расстоянии $r_2$ от фокуса линзы. У какой линзы расстояние между этими изображениями больше — у короткофокусной или у длиннофокусной?

Дано:
Собирающая линза с фокусным расстоянием $F$.
Два положения источника света, дающие действительные изображения.
Расстояние от фокуса до источника в первом положении: $r_1$.
Расстояние от фокуса до источника во втором положении: $r_2$.

Найти:
Сравнить расстояние между изображениями $Δf$ для короткофокусной ($F$ мало) и длиннофокусной ($F$ велико) линз.

Решение:
Формула тонкой собирающей линзы имеет вид: $$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $$ где $d$ — расстояние от источника до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения, $F$ — фокусное расстояние линзы.
В задаче указано, что изображения действительные. Для собирающей линзы это означает, что источник света должен находиться на расстоянии от линзы, большем фокусного ($d > F$). Расстояния $r_1$ и $r_2$ отсчитываются от фокуса, поэтому расстояния от источника до линзы в двух случаях будут: $$ d_1 = F + r_1 $$ $$ d_2 = F + r_2 $$ Найдем расстояния от линзы до изображений ($f_1$ и $f_2$) для каждого случая, выразив $f$ из формулы линзы: $$ \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{dF} $$ $$ f = \frac{dF}{d-F} $$ Подставим в эту формулу выражения для $d_1$ и $d_2$:
Для первого положения: $$ f_1 = \frac{(F + r_1)F}{(F + r_1) - F} = \frac{F^2 + Fr_1}{r_1} = \frac{F^2}{r_1} + F $$ Для второго положения: $$ f_2 = \frac{(F + r_2)F}{(F + r_2) - F} = \frac{F^2 + Fr_2}{r_2} = \frac{F^2}{r_2} + F $$ Расстояние между этими двумя изображениями $Δf$ равно модулю разности $f_1$ и $f_2$: $$ Δf = |f_1 - f_2| = |\left(\frac{F^2}{r_1} + F\right) - \left(\frac{F^2}{r_2} + F\right)| = |\frac{F^2}{r_1} - \frac{F^2}{r_2}| $$ Вынесем $F^2$ за скобки: $$ Δf = F^2 \left|\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right| $$ Величины $r_1$ и $r_2$ являются заданными постоянными, следовательно, множитель $\left|\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right|$ является константой. Из полученной формулы видно, что расстояние между изображениями $Δf$ прямо пропорционально квадрату фокусного расстояния $F^2$.
Это означает, что чем больше фокусное расстояние $F$ (длиннофокусная линза), тем больше расстояние $Δf$ между изображениями. И наоборот, чем меньше фокусное расстояние $F$ (короткофокусная линза), тем меньше расстояние $Δf$.
Следовательно, расстояние между изображениями будет больше у длиннофокусной линзы.

Ответ: расстояние между изображениями больше у длиннофокусной линзы.

69.50 [1632] Как на ощупь (в темноте) можно отличить собирающую линзу от рассеивающей?

Решение

Отличить собирающую линзу от рассеивающей на ощупь можно, сравнивая их толщину в центре и у краев. Это различие обусловлено их геометрической формой, которая и определяет их оптические свойства.

Нужно взять линзу и провести по ней пальцами от центра к краю (или наоборот).

• Если линза в средней части окажется толще, чем у краев, то это собирающая линза (она выпуклая).
• Если линза в средней части окажется тоньше, чем у краев, то это рассеивающая линза (она вогнутая).

Этот метод основан на определении кривизны поверхностей линзы. Собирающие линзы имеют по крайней мере одну выпуклую поверхность и в целом "выпуклы" к центру. Рассеивающие линзы имеют по крайней мере одну вогнутую поверхность и "вогнуты" к центру.

Ответ: Собирающая линза на ощупь толще в центре, чем у краев, а рассеивающая — наоборот, тоньше в центре и толще у краев.

69.51° [1633°] При каком условии собирающая стеклянная линза даст в воздухе расходящийся пучок лучей, идущих от предмета?

Решение

Чтобы определить условие, при котором собирающая линза создает расходящийся пучок лучей, воспользуемся формулой тонкой линзы. Эта формула связывает расстояние от предмета до линзы $d$, расстояние от линзы до изображения $f$ и фокусное расстояние линзы $F$.

Формула тонкой линзы имеет вид:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Рассмотрим знаки величин в этой формуле согласно правилам знаков для линз:

• Линза является собирающей, поэтому ее фокусное расстояние считается положительным: $F > 0$.
• Предмет, от которого исходят лучи, является действительным, поэтому расстояние от него до линзы также положительное: $d > 0$.
• Расходящийся пучок лучей после прохождения через линзу означает, что лучи не пересекаются в действительной точке, а их продолжения пересекаются. Это соответствует формированию мнимого изображения. Для мнимого изображения расстояние $f$ по определению является отрицательным: $f < 0$.

Наша задача — найти условие для $d$, при котором $f$ будет отрицательным. Выразим $1/f$ из формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{1}{f} = \frac{d - F}{d \cdot F}$

Чтобы величина $f$ была отрицательной ($f < 0$), необходимо, чтобы и величина $1/f$ была отрицательной. Следовательно, должно выполняться неравенство:

$\frac{d - F}{d \cdot F} < 0$

Так как $d > 0$ (действительный предмет) и $F > 0$ (собирающая линза), их произведение в знаменателе $d \cdot F$ всегда положительно.

Чтобы вся дробь была отрицательной при положительном знаменателе, необходимо, чтобы ее числитель был отрицательным:

$d - F < 0$

Из этого неравенства следует искомое условие:

$d < F$

Таким образом, собирающая линза формирует расходящийся пучок лучей (и, соответственно, мнимое изображение) от действительного предмета, если этот предмет расположен между главным фокусом и оптическим центром линзы. Этот принцип используется, например, в лупе.

Ответ: Собирающая стеклянная линза в воздухе даст расходящийся пучок лучей, если предмет будет расположен на расстоянии от линзы, меньшем её фокусного расстояния ($d < F$).