Номер 69.49, страница 241 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 69. Линзы. Глава 9. Оптические явления - номер 69.49, страница 241.

69.49⁰ [1631⁰] С помощью собирающей линзы можно получить два действительных изображения источника света, помещая источник на расстоянии $r_1$, а затем на расстоянии $r_2$ от фокуса линзы. У какой линзы расстояние между этими изображениями больше — у короткофокусной или у длиннофокусной?

Дано:
Собирающая линза с фокусным расстоянием $F$.
Два положения источника света, дающие действительные изображения.
Расстояние от фокуса до источника в первом положении: $r_1$.
Расстояние от фокуса до источника во втором положении: $r_2$.

Найти:
Сравнить расстояние между изображениями $Δf$ для короткофокусной ($F$ мало) и длиннофокусной ($F$ велико) линз.

Решение:
Формула тонкой собирающей линзы имеет вид: $$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $$ где $d$ — расстояние от источника до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения, $F$ — фокусное расстояние линзы.
В задаче указано, что изображения действительные. Для собирающей линзы это означает, что источник света должен находиться на расстоянии от линзы, большем фокусного ($d > F$). Расстояния $r_1$ и $r_2$ отсчитываются от фокуса, поэтому расстояния от источника до линзы в двух случаях будут: $$ d_1 = F + r_1 $$ $$ d_2 = F + r_2 $$ Найдем расстояния от линзы до изображений ($f_1$ и $f_2$) для каждого случая, выразив $f$ из формулы линзы: $$ \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{dF} $$ $$ f = \frac{dF}{d-F} $$ Подставим в эту формулу выражения для $d_1$ и $d_2$:
Для первого положения: $$ f_1 = \frac{(F + r_1)F}{(F + r_1) - F} = \frac{F^2 + Fr_1}{r_1} = \frac{F^2}{r_1} + F $$ Для второго положения: $$ f_2 = \frac{(F + r_2)F}{(F + r_2) - F} = \frac{F^2 + Fr_2}{r_2} = \frac{F^2}{r_2} + F $$ Расстояние между этими двумя изображениями $Δf$ равно модулю разности $f_1$ и $f_2$: $$ Δf = |f_1 - f_2| = |\left(\frac{F^2}{r_1} + F\right) - \left(\frac{F^2}{r_2} + F\right)| = |\frac{F^2}{r_1} - \frac{F^2}{r_2}| $$ Вынесем $F^2$ за скобки: $$ Δf = F^2 \left|\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right| $$ Величины $r_1$ и $r_2$ являются заданными постоянными, следовательно, множитель $\left|\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right|$ является константой. Из полученной формулы видно, что расстояние между изображениями $Δf$ прямо пропорционально квадрату фокусного расстояния $F^2$.
Это означает, что чем больше фокусное расстояние $F$ (длиннофокусная линза), тем больше расстояние $Δf$ между изображениями. И наоборот, чем меньше фокусное расстояние $F$ (короткофокусная линза), тем меньше расстояние $Δf$.
Следовательно, расстояние между изображениями будет больше у длиннофокусной линзы.

Ответ: расстояние между изображениями больше у длиннофокусной линзы.