Номер 69.44, страница 241 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 69. Линзы. Глава 9. Оптические явления - номер 69.44, страница 241.

69.44 [1626] Перед собирающей линзой надо поместить горящую свечу так, чтобы расстояние между пламенем и действительным его изображением было наименьшим. Где должна стоять свеча по отношению к линзе?

Дано:
Линза – собирающая, фокусное расстояние $F$.
Изображение – действительное.
$d$ – расстояние от предмета (пламени свечи) до линзы.
$f$ – расстояние от изображения до линзы.
$L$ – расстояние между пламенем и его изображением.

Найти:
$d$, при котором $L$ будет наименьшим ($L \to min$).

Решение:
Поскольку линза собирающая, а изображение действительное, предмет и изображение находятся по разные стороны от линзы. Расстояние между ними $L$ равно сумме расстояний от предмета до линзы ($d$) и от линзы до изображения ($f$):
$L = d + f$
Связь между этими величинами и фокусным расстоянием линзы $F$ описывается формулой тонкой линзы:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$
Для получения действительного изображения в собирающей линзе предмет должен находиться на расстоянии, большем фокусного, то есть $d > F$.
Выразим расстояние $f$ из формулы тонкой линзы:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{dF}$
$f = \frac{dF}{d - F}$
Подставим это выражение в формулу для расстояния $L$:
$L(d) = d + \frac{dF}{d - F}$
Чтобы найти наименьшее значение $L$, нужно исследовать эту функцию на экстремум. Для этого найдем производную функции $L(d)$ по $d$ и приравняем ее к нулю.
$\frac{dL}{dd} = \frac{d}{dd}\left(d + \frac{dF}{d - F}\right) = 1 + \frac{\frac{d}{dd}(dF) \cdot (d-F) - dF \cdot \frac{d}{dd}(d-F)}{(d-F)^2} = 1 + \frac{F(d-F) - dF(1)}{(d-F)^2}$
$\frac{dL}{dd} = 1 + \frac{dF - F^2 - dF}{(d-F)^2} = 1 - \frac{F^2}{(d-F)^2}$
Приравняем производную к нулю:
$1 - \frac{F^2}{(d-F)^2} = 0$
$(d-F)^2 = F^2$
Извлекая квадратный корень, получаем два возможных решения:
1) $d - F = F \Rightarrow d = 2F$
2) $d - F = -F \Rightarrow d = 0$
Второй корень $d=0$ не имеет физического смысла. Условие $d > F$ выполняется для первого корня $d = 2F$.
Таким образом, расстояние между предметом и его действительным изображением будет наименьшим, если предмет поместить на расстоянии, равном двум фокусным расстояниям от линзы. При этом изображение также будет находиться на расстоянии $2F$ от линзы с другой стороны, а минимальное расстояние между предметом и изображением составит $L_{min} = 2F + 2F = 4F$.

Ответ: Свеча должна стоять на расстоянии, равном двум фокусным расстояниям от линзы ($d=2F$).