Страница 234 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

68.29* [1570*] В сосуде с водой находится полый тонкостенный прозрачный коробок (рис. IX-42). Изобразите в тетради примерный ход светового луча SA, проходящего сквозь коробок ко дну сосуда.

Рис. IX-42

Решение

Для того чтобы изобразить ход светового луча SA, проходящего сквозь полый коробок в воде, необходимо применить закон преломления света на границах раздела двух сред. В данном случае луч последовательно проходит через три среды: вода, затем воздух (внутри полого коробка) и снова вода. Поскольку стенки коробка тонкостенные, их толщиной можно пренебречь.

1. Переход из воды в воздух (верхняя граница коробка).

Луч света SA падает в точке A на границу раздела "вода-воздух". Вода является оптически более плотной средой, чем воздух (показатель преломления воды $n_в \approx 1,33$, а воздуха $n_{воздух} \approx 1,0$). При переходе из оптически более плотной среды в менее плотную, световой луч преломляется, отклоняясь от нормали (перпендикуляра), восстановленной в точке падения. Это означает, что угол преломления $\beta$ будет больше угла падения $\alpha$.

2. Переход из воздуха в воду (нижняя граница коробка).

Пройдя через воздух внутри коробка, луч попадает в точку B на нижнюю границу "воздух-вода". Здесь происходит обратный переход: из оптически менее плотной среды в более плотную. Верхняя и нижняя стенки коробка параллельны, поэтому нормаль в точке B будет параллельна нормали в точке A. Угол падения луча на вторую границу будет равен углу преломления $\beta$ на первой границе (как накрест лежащие углы). При переходе из воздуха в воду луч преломится, приблизившись к нормали. Угол преломления $\gamma$ будет меньше угла падения $\beta$.

Так как система представляет собой плоскопараллельную пластину (в данном случае слой воздуха между двумя слоями воды), то луч, вышедший из коробка, будет параллелен первоначальному лучу SA, но смещен в пространстве. Это следует из закона преломления Снеллиуса:
Для первой границы: $n_в \cdot \sin\alpha = n_{воздух} \cdot \sin\beta$
Для второй границы: $n_{воздух} \cdot \sin\beta = n_в \cdot \sin\gamma$
Из этих двух равенств следует, что $n_в \cdot \sin\alpha = n_в \cdot \sin\gamma$, а значит $\alpha = \gamma$. Равенство углов падения и выхода доказывает параллельность входящего и выходящего лучей.

Примерный ход луча изображен на рисунке ниже.

Ответ:

Ход светового луча показан на рисунке. При входе в полый коробок (из воды в воздух) луч преломляется, удаляясь от нормали к поверхности. При выходе из коробка (из воздуха обратно в воду) луч преломляется, приближаясь к нормали. В результате итоговый луч оказывается параллельным первоначальному направлению луча SA, но смещенным относительно него.

68.30 [1580] Световой луч падает на треугольную стеклянную призму так, как показано на рисунке IX-43. Куда отклонится луч, пройдя сквозь призму: к вершине призмы или к её основанию?

Рис. IX-43

Для определения направления отклонения светового луча, прошедшего через призму, необходимо последовательно рассмотреть его преломление на каждой из двух граней призмы, через которые он проходит.

Решение

1. Преломление на первой грани (вход луча в призму).

Световой луч переходит из воздуха (среда с меньшим показателем преломления $n_1$) в стекло призмы (среда с большим показателем преломления $n_2$). При переходе из оптически менее плотной среды в оптически более плотную, согласно закону преломления света, луч отклоняется так, чтобы приблизиться к нормали (перпендикуляру), проведённой к границе раздела сред в точке падения.
На рисунке видно, что правая грань призмы наклонена. Нормаль к этой грани будет отклонена от вертикали. Когда падающий горизонтальный луч преломляется, он изгибается по направлению к этой нормали, что приводит к его отклонению вниз, в сторону основания призмы.
Закон преломления Снеллиуса для этого случая: $n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\beta_1$, где $\alpha_1$ — угол падения, а $\beta_1$ — угол преломления. Поскольку $n_2 > n_1$, то $\sin\beta_1 < \sin\alpha_1$, следовательно, $\beta_1 < \alpha_1$.

2. Преломление на второй грани (выход луча из призмы).

После прохождения через призму луч достигает её левой грани и выходит обратно в воздух. Теперь свет переходит из оптически более плотной среды (стекло) в оптически менее плотную (воздух). В этом случае луч, наоборот, отклоняется так, чтобы удалиться от нормали к поверхности.
Левая грань призмы также наклонена. Нормаль к этой грани направлена перпендикулярно ей. Удаляясь от этой нормали, выходящий луч света преломляется и отклоняется ещё раз вниз, снова по направлению к основанию призмы.
Закон преломления для второй грани: $n_2 \sin\alpha_2 = n_1 \sin\beta_2$, где $\alpha_2$ — угол падения на вторую грань изнутри, а $\beta_2$ — угол преломления при выходе в воздух. Так как $n_2 > n_1$, то $\sin\beta_2 > \sin\alpha_2$, следовательно, $\beta_2 > \alpha_2$.

Таким образом, на обеих гранях призмы световой луч отклоняется в одном и том же направлении — к её более толстой части, то есть к основанию. Суммарное отклонение луча также будет направлено к основанию призмы.

Ответ: луч, пройдя сквозь призму, отклонится к её основанию.

68.31 [1581] Световой луч падает на стеклянную треугольную призму (рис. IX-44). Изобразите в тетради примерный ход этого луча в призме и на выходе из неё.

Рис. IX-44

Для решения задачи проанализируем ход светового луча на каждой границе раздела сред (воздух-стекло и стекло-воздух).

Дано:

Стеклянная прямоугольная равнобедренная призма. Луча света падает перпендикулярно на боковую грань (катет).Показатель преломления воздуха $n_1 \approx 1$.Показатель преломления стекла $n_2 \approx 1.5$.

Найти:

Изобразить ход луча в призме и на выходе из нее.

Решение:

Проследим путь светового луча поэтапно.

1. Вход луча в призму.
   Световой луч падает на левую вертикальную грань призмы перпендикулярно ее поверхности. Это означает, что угол падения $\alpha_1$ равен нулю ($\alpha_1 = 0^\circ$). Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса) $n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \beta_1$, где $\beta_1$ - угол преломления. Так как $\sin 0^\circ = 0$, то и $\sin \beta_1 = 0$, что означает $\beta_1 = 0^\circ$. Таким образом, луч входит в призму, не изменяя своего направления, и распространяется горизонтально внутри нее.
2. Падение луча на наклонную грань (гипотенузу).
   Призма является прямоугольной и равнобедренной, поэтому ее острые углы равны $45^\circ$. Горизонтальный луч внутри призмы достигает наклонной грани. Угол падения $\alpha_2$ на эту грань равен углу призмы при вершине, то есть $\alpha_2 = 45^\circ$. Луч пытается выйти из оптически более плотной среды (стекло) в оптически менее плотную среду (воздух).
3. Проверка условия полного внутреннего отражения.
   При переходе из более плотной среды в менее плотную может наблюдаться явление полного внутреннего отражения, если угол падения превышает так называемый предельный угол $\alpha_c$. Предельный угол определяется соотношением:
   $\sin \alpha_c = \frac{n_1}{n_2}$
   Подставим значения для воздуха и стекла:
   $\sin \alpha_c = \frac{1}{1.5} \approx 0.667$
   Отсюда находим предельный угол:
   $\alpha_c = \arcsin(0.667) \approx 41.8^\circ$
   Сравниваем угол падения луча на гипотенузу с предельным углом:
   $\alpha_2 = 45^\circ > \alpha_c \approx 41.8^\circ$
   Так как угол падения больше предельного угла, луч не выходит в воздух, а испытывает полное внутреннее отражение от гипотенузы.
4. Отражение луча от гипотенузы.
   Согласно закону отражения, угол отражения равен углу падения. Следовательно, луч отражается от гипотенузы под углом $45^\circ$ к нормали. Так как падающий луч был горизонтальным, отраженный луч будет распространяться вертикально вниз, повернув на $90^\circ$.
5. Выход луча из призмы.
   После отражения луч движется вертикально вниз и падает на нижнюю горизонтальную грань призмы. Он падает на эту грань перпендикулярно, то есть угол падения $\alpha_3 = 0^\circ$. Аналогично входу в призму, луч выходит из нее в воздух без преломления, сохраняя свое вертикальное направление.

Примерный ход луча показан на рисунке ниже.

Ответ:

Световой луч входит в призму перпендикулярно боковой грани без преломления, испытывает полное внутреннее отражение от наклонной грани (гипотенузы), поворачивая на $90^\circ$, и выходит из призмы перпендикулярно нижней грани, также без преломления. Ход луча изображен на рисунке выше.

68.32 [1582] Световой луч падает на полую призму, которая находится в сосуде с водой (рис. IX-45). Пренебрегая толщиной граней стекла призмы, изобразите в тетради примерный ход луча в призме и на выходе из неё.

Рис. IX-45

Решение

Ход светового луча в данной системе описывается законом преломления света (законом Снеллиуса) на границе двух сред с различными оптическими плотностями. В задаче рассматривается переход луча из воды в полость призмы, заполненную воздухом, и затем обратно в воду.

Показатель преломления воды ($n_в$) больше показателя преломления воздуха ($n_{воздуха}$). Примем их значения как $n_в \approx 1,33$ и $n_{воздуха} \approx 1,0$. Условие пренебрежения толщиной стенок призмы означает, что мы рассматриваем преломление непосредственно на границах вода-воздух и воздух-вода.

Закон Снеллиуса гласит: $n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$, где $n_1$ и $n_2$ — это показатели преломления сред, $\alpha$ — угол падения, а $\beta$ — угол преломления. Углы измеряются относительно нормали (перпендикуляра), проведенной к границе раздела сред в точке падения луча.

Рассмотрим ход луча поэтапно:

1. Первое преломление (на входе в призму, граница вода-воздух).
   Световой луч переходит из оптически более плотной среды (вода) в оптически менее плотную (воздух). В этом случае, согласно закону преломления ($n_в \sin \alpha_1 = n_{воздуха} \sin \beta_1$), поскольку $n_в > n_{воздуха}$, угол преломления $\beta_1$ будет больше угла падения $\alpha_1$. Это означает, что луч отклоняется от нормали. Для левой грани призмы, изображенной на рисунке, это приводит к отклонению луча вверх, в сторону вершины призмы.
2. Второе преломление (на выходе из призмы, граница воздух-вода).
   Пройдя через воздушную полость, луч падает на вторую грань и выходит обратно в воду. Здесь происходит переход из оптически менее плотной среды (воздух) в более плотную (воду). Согласно закону преломления ($n_{воздуха} \sin \alpha_2 = n_в \sin \beta_2$), так как $n_{воздуха} < n_в$, угол преломления $\beta_2$ будет меньше угла падения $\alpha_2$. Луч отклоняется к нормали. На второй грани такое преломление также вызывает отклонение луча вверх, еще дальше от основания.

Таким образом, полая призма, погруженная в воду, отклоняет свет к своей вершине, а не к основанию, как это делала бы сплошная стеклянная призма в воздухе.

Примерный ход луча показан на схеме ниже. Красной линией показан ход луча, а пунктирными линиями — нормали к граням призмы в точках падения.

Ответ: Световой луч, проходя через полую призму в воде, на первой границе (вода-воздух) преломляется, отклоняясь от нормали, а на второй (воздух-вода) — отклоняясь к нормали. Оба преломления приводят к тому, что луч отклоняется вверх, в сторону вершины призмы.

68.33 [н] На рисунках IX-30 и IX-31 изображены лучи, падающие на границу раздела двух сред — воздуха и воды. Предельный угол полного внутреннего отражения для этих сред равен $49^{\circ}$. Выберите рисунок, соответствующий принципиальной возможности получения полного внутреннего отражения. Измерьте с помощью транспортира угол падения лучей и определите, достигнуто ли это состояние.

Дано:

Среды: воздух и вода.

Предельный угол полного внутреннего отражения $ \alpha_{пр} = 49° $.

Найти:

1. Выбрать рисунок, на котором принципиально возможно полное внутреннее отражение.

2. Измерить угол падения $ \alpha $.

3. Определить, достигнуто ли состояние полного внутреннего отражения.

Решение:

Выберите рисунок, соответствующий принципиальной возможности получения полного внутреннего отражения.

Явление полного внутреннего отражения происходит, когда свет переходит из оптически более плотной среды в оптически менее плотную (в данном случае из воды в воздух) и угол падения превышает некоторое критическое значение, называемое предельным углом.

Показатель преломления воды ($ n_{воды} \approx 1,33 $) больше показателя преломления воздуха ($ n_{воздуха} \approx 1,00 $). Следовательно, для наблюдения полного внутреннего отражения луч света должен падать из воды на границу раздела с воздухом.

На предполагаемом рисунке IX-30 луч идет из воздуха в воду, что не соответствует условию возникновения полного внутреннего отражения.

На рисунке IX-31 луч света идет из воды в воздух. Только в этом случае возможно полное внутреннее отражение.

Ответ: Рисунок, соответствующий принципиальной возможности получения полного внутреннего отражения, – это рисунок IX-31.

Измерьте с помощью транспортира угол падения лучей и определите, достигнуто ли это состояние.

Угол падения ($ \alpha $) – это угол между падающим лучом и нормалью к границе раздела сред в точке падения. На рисунке IX-31, измерив угол падения с помощью транспортира, получаем его значение: $ \alpha \approx 60° $.

Состояние полного внутреннего отражения достигается, если угол падения $ \alpha $ больше предельного угла полного внутреннего отражения $ \alpha_{пр} $. По условию $ \alpha_{пр} = 49° $.

Сравним измеренное значение угла падения с предельным углом:

$ 60° > 49° $, или $ \alpha > \alpha_{пр} $.

Так как угол падения больше предельного угла, луч света не преломится в воздух, а полностью отразится обратно в воду. Таким образом, состояние полного внутреннего отражения достигнуто.

Ответ: Угол падения лучей на рисунке IX-31 равен примерно 60°. Поскольку $ 60° > 49° $, состояние полного внутреннего отражения достигнуто.

68.34 [н] Луч света падает под углом $\alpha$ на границу двух сред, абсолютные показатели преломления которых равны $n_1$ и $n_2$ (рис. IX-32). При каком условии будет наблюдаться полное внутреннее отражение?

Дано:

Угол падения луча на границу раздела сред: $\alpha$

Абсолютный показатель преломления первой среды: $n_1$

Абсолютный показатель преломления второй среды: $n_2$

Найти:

Условие наблюдения полного внутреннего отражения.

Решение:

Полное внутреннее отражение — это явление, при котором световой луч, падающий на границу раздела двух сред, не преломляется во вторую среду, а полностью отражается обратно в первую. Для наблюдения этого явления необходимо одновременное выполнение двух условий.

Первое условие: свет должен распространяться из оптически более плотной среды в оптически менее плотную. Оптическая плотность среды характеризуется ее абсолютным показателем преломления. Следовательно, показатель преломления первой среды, из которой падает луч ($n_1$), должен быть больше показателя преломления второй среды ($n_2$), то есть $n_1 > n_2$.

Второе условие: угол падения луча $\alpha$ должен превышать так называемый предельный (или критический) угол полного внутреннего отражения $\alpha_{пр}$. То есть, должно выполняться неравенство $\alpha > \alpha_{пр}$.

Предельный угол падения $\alpha_{пр}$ — это такой угол падения, при котором угол преломления $\beta$ равен $90^\circ$. В этом случае преломленный луч скользит вдоль границы раздела сред. Для нахождения этого угла воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса):

$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$

Подставив в него значения для предельного случая, то есть $\alpha = \alpha_{пр}$ и $\beta = 90^\circ$, получим:

$n_1 \sin \alpha_{пр} = n_2 \sin 90^\circ$

Поскольку $\sin 90^\circ = 1$, выражение принимает вид $n_1 \sin \alpha_{пр} = n_2$. Отсюда можно выразить синус предельного угла:

$\sin \alpha_{пр} = \frac{n_2}{n_1}$

Теперь вернемся ко второму условию: $\alpha > \alpha_{пр}$. Так как функция синуса на интервале углов от $0^\circ$ до $90^\circ$ является возрастающей, из неравенства для углов следует такое же неравенство для их синусов: $\sin \alpha > \sin \alpha_{пр}$. Подставив найденное выражение для $\sin \alpha_{пр}$, получаем итоговый вид второго условия:

$\sin \alpha > \frac{n_2}{n_1}$

Таким образом, для наблюдения полного внутреннего отражения необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно.

Ответ: полное внутреннее отражение будет наблюдаться при одновременном выполнении двух условий: $n_1 > n_2$ и $\sin \alpha > \frac{n_2}{n_1}$.

68.35 [н] Предельный угол полного внутреннего отражения алмаза на границе с воздухом равен 24°. Чему равен относительный показатель преломления алмаза?

Дано:

Предельный угол полного внутреннего отражения алмаза на границе с воздухом: $\alpha_{пр} = 24^\circ$

Показатель преломления воздуха: $n_2 \approx 1$

Найти:

Относительный показатель преломления алмаза $n_1$

Решение:

Явление полного внутреннего отражения наблюдается при переходе света из оптически более плотной среды (алмаз) в оптически менее плотную (воздух). Предельный угол полного внутреннего отражения $\alpha_{пр}$ — это угол падения, при котором преломленный луч скользит по границе раздела сред, то есть угол преломления $\beta$ равен $90^\circ$.

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta)$

где $n_1$ — показатель преломления алмаза (искомая величина), $n_2$ — показатель преломления воздуха, $\alpha$ — угол падения, $\beta$ — угол преломления.

При предельном угле падения $\alpha = \alpha_{пр} = 24^\circ$, а угол преломления $\beta = 90^\circ$. Показатель преломления воздуха $n_2$ принимаем равным 1. Подставим эти значения в закон Снеллиуса:

$n_1 \sin(\alpha_{пр}) = n_2 \sin(90^\circ)$

Учитывая, что $\sin(90^\circ) = 1$, формула упрощается до:

$n_1 \sin(\alpha_{пр}) = n_2$

Относительный показатель преломления алмаза по отношению к воздуху это и есть $n_1$. Выразим его из полученного уравнения:

$n_1 = \frac{n_2}{\sin(\alpha_{пр})}$

Теперь подставим известные числовые значения и произведем расчет:

$n_1 = \frac{1}{\sin(24^\circ)}$

Вычислим значение синуса:

$\sin(24^\circ) \approx 0.4067$

Тогда показатель преломления алмаза равен:

$n_1 \approx \frac{1}{0.4067} \approx 2.4586$

Округлим результат до сотых:

$n_1 \approx 2.46$

Ответ: относительный показатель преломления алмаза равен примерно 2.46.

68.36 [н] Каким допустимо большим может быть угол при вершине трёхгранной равнобедренной призмы (см. рис. IX-43), чтобы при нормальном падении на боковую грань луч света испытывал полное отражение от нижней грани призмы? (Предельный угол полного внутреннего отражения для сред стекло—воздух равен $42^\circ$.) Поворотной или оборачивающей является призма такого типа?

Рис. IX-43

Каким допустимо большим может быть угол при вершине трёхгранной равнобедренной призмы, чтобы при нормальном падении на боковую грань луч света испытывал полное отражение от нижней грани призмы?

Дано:

Предельный угол полного внутреннего отражения для сред стекло-воздух $\alpha_{пр} = 42^\circ$.

Найти:

Максимальный угол при вершине призмы $\phi_{max}$.

Решение:

Пусть угол при вершине равнобедренной призмы равен $\phi$, а углы при основании равны $\beta$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому для сечения призмы справедливо соотношение:

$\phi + 2\beta = 180^\circ$

Отсюда выразим угол при основании $\beta$ через угол при вершине $\phi$:

$\beta = \frac{180^\circ - \phi}{2} = 90^\circ - \frac{\phi}{2}$

По условию, луч света падает на боковую грань нормально, то есть перпендикулярно этой грани. Следовательно, угол падения на первую грань равен $0^\circ$, и луч входит в призму без преломления, сохраняя свое направление.

Далее луч падает на нижнюю грань (основание) призмы. Угол падения $\alpha$ на эту грань равен углу между лучом и нормалью к основанию. Из геометрии треугольника, образованного лучом, боковой гранью и основанием, следует, что угол между лучом (перпендикулярным боковой грани) и основанием равен $90^\circ - \beta$. Тогда угол падения $\alpha$ на основание, как угол между лучом и нормалью к основанию, равен:

$\alpha = 90^\circ - (90^\circ - \beta) = \beta$

Для того чтобы на нижней грани произошло полное внутреннее отражение (ПВО), необходимо, чтобы угол падения $\alpha$ был не меньше предельного угла ПВО $\alpha_{пр}$:

$\alpha \ge \alpha_{пр}$

Заменяя $\alpha$ на $\beta$, а $\beta$ на выражение через $\phi$, получаем неравенство для угла $\phi$:

$90^\circ - \frac{\phi}{2} \ge \alpha_{пр}$

Чтобы найти максимальное значение $\phi$, решим это неравенство относительно $\phi$:

$\frac{\phi}{2} \le 90^\circ - \alpha_{пр}$

$\phi \le 2(90^\circ - \alpha_{пр})$

Максимально допустимый угол при вершине $\phi_{max}$ соответствует знаку равенства:

$\phi_{max} = 2(90^\circ - \alpha_{пр})$

Подставим заданное значение предельного угла $\alpha_{пр} = 42^\circ$:

$\phi_{max} = 2(90^\circ - 42^\circ) = 2 \cdot 48^\circ = 96^\circ$

Ответ: Допустимо больший угол при вершине призмы может быть $96^\circ$.

Поворотной или оборачивающей является призма такого типа?

Решение:

Проследим дальнейший ход луча после отражения от основания. Угол отражения равен углу падения, то есть $\beta$. Геометрический анализ показывает, что отраженный от основания луч падает на вторую боковую грань перпендикулярно. Следовательно, он выходит из призмы без преломления.

Таким образом, ход луча в призме характеризуется одним полным внутренним отражением. Оптические системы, которые формируют изображение с помощью нечетного числа отражений (в данном случае одного), создают зеркально-обращенное, или инвертированное, изображение. Системы с четным числом отражений являются поворотными, то есть они поворачивают изображение, но не меняют его хиральность (не превращают "правое" в "левое").

Поскольку в данной призме происходит однократное отражение, она инвертирует изображение.

Ответ: Призма такого типа является оборачивающей.