Страница 237 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

69.13 [1595] Относительно оптической оси $MN$ линзы $L$ точечный источник света $S$ расположен так, как показано на рисунке IX-54, где $F$ — фокус линзы. Постройте изображение этого источника; определите его положение относительно линзы.

Рис. IX-54

Для построения изображения точечного источника света `S`, создаваемого собирающей линзой `L` (на это указывают стрелки на концах линзы), необходимо проследить ход как минимум двух лучей, исходящих из этого источника, и найти их точку пересечения после прохождения через линзу.

Из рисунка видно, что точечный источник `S` находится в передней фокальной плоскости линзы. Это означает, что его проекция на главную оптическую ось `MN` совпадает с передним фокусом `F`, и расстояние от источника до линзы, измеренное вдоль оси, равно фокусному расстоянию.

Построение изображения основано на следующих правилах для лучей в собирающей линзе:

1. Луч, проходящий через оптический центр линзы (точка пересечения линзы `L` и главной оптической оси `MN`), не преломляется и продолжает свое движение по прямой.
2. Луч, идущий от источника параллельно главной оптической оси, после преломления в линзе проходит через задний главный фокус `F'`.

Применим эти правила к нашей задаче. Однако есть более общее и удобное для данного случая свойство: все лучи, выходящие из любой точки, расположенной в фокальной плоскости, после преломления в линзе образуют пучок параллельных лучей. Направление этого пучка определяется направлением луча, который проходит из этой точки через оптический центр линзы.

Таким образом, для построения достаточно провести один луч из точки `S` через оптический центр линзы. Все остальные лучи, вышедшие из `S` и прошедшие через линзу, будут параллельны этому лучу. Так как лучи после линзы параллельны, они не пересекаются, а это значит, что действительное изображение не формируется. Говорят, что изображение находится в бесконечности.

Этот вывод можно подтвердить с помощью формулы тонкой линзы:

$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $

где `d` — расстояние от источника до линзы, `f` — расстояние от изображения до линзы, а `F` — фокусное расстояние линзы. В нашем случае расстояние от источника до плоскости линзы равно фокусному расстоянию, то есть `d = F`.

Подставим это значение в формулу:

$ \frac{1}{F} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $

Вычитая `1/F` из обеих частей уравнения, получаем:

$ \frac{1}{f} = 0 $

Данное равенство справедливо только в том случае, если знаменатель `f` стремится к бесконечности ($ f \rightarrow \infty $). Это математически подтверждает, что изображение находится на бесконечно большом расстоянии от линзы.

Ответ: Изображение источника `S` находится в бесконечности. Лучи, вышедшие из линзы, образуют параллельный пучок.

69.14 [1596] Постройте изображения светящихся точек $S_1$ и $S_2$ в тонкой линзе с фокусом $F$, расположенных относительно линзы так, как показано на рисунке IX-55.

Рис. IX-55

Решение

На рисунке IX-55 изображена тонкая собирающая линза, так как стрелки на условном обозначении линзы направлены наружу. Для построения изображения светящейся точки в тонкой собирающей линзе необходимо провести как минимум два луча, исходящих из этой точки, и найти точку их пересечения после прохождения через линзу. Для построений удобно использовать следующие два «характерных» луча:

• Луч, идущий от источника параллельно главной оптической оси (линия MN). После преломления в линзе этот луч проходит через её задний фокус (точку F).
• Луч, проходящий через оптический центр линзы (точка пересечения линзы с главной оптической осью). Этот луч не преломляется и не меняет своего направления.

Применим этот метод для построения изображений точек S₁ и S₂.

Построение изображения точки S₁

1. Из точки S₁ проводим луч 1, параллельный главной оптической оси MN, до пересечения с плоскостью линзы. После преломления в линзе этот луч пройдёт через задний фокус F.

2. Из точки S₁ проводим луч 2 через оптический центр линзы O. Этот луч проходит сквозь линзу, не меняя своего направления.

3. Точка S₁', в которой пересекаются эти два луча после прохождения через линзу, является действительным изображением точки S₁.

Построение изображения точки S₂

1. Аналогично, из точки S₂ проводим луч 3, параллельный главной оптической оси MN, до пересечения с линзой. После преломления в линзе этот луч также пройдёт через задний фокус F.

2. Из точки S₂ проводим луч 4 через оптический центр линзы O. Этот луч не меняет своего направления.

3. Точка S₂', в которой пересекаются лучи 3 и 4 после прохождения через линзу, является действительным изображением точки S₂.

Итоговое построение показано на рисунке ниже:

Ответ:

Построение изображений S₁' и S₂' для точек S₁ и S₂ показано на рисунке выше. Оба изображения являются действительными, так как они образованы пересечением самих преломлённых лучей (а не их продолжений). Изображение S₁' (от точки S₁) является перевёрнутым и находится под главной оптической осью. Изображение S₂' (от точки S₂) также является перевёрнутым и находится над главной оптической осью.

69.15 [1597] На рисунке IX-56 схематически показаны 6 различных положений светящейся точки $S$ относительно линзы с фокусным расстоянием $OF$. Найдите изображения светящейся точки в каждом случае. Обозначьте их буквой $S'$. Укажите, в каком случае изображение действительное, а в каком — мнимое.

1 Расположение точки $S$: слева от $2F$. Метки на оси: $2F$, $F$, $F$, $2F$.

2 Расположение точки $S$: на $2F$ слева. Метки на оси: $2F$, $F$, $F$, $2F$.

3 Расположение точки $S$: между $2F$ и $F$ слева. Метки на оси: $2F$, $F$, $F$, $2F$.

4 Расположение точки $S$: на $F$ слева. Метки на оси: $2F$, $F$, $F$, $2F$.

5 Расположение точки $S$: между $F$ и оптическим центром (линзой) слева. Метки на оси: $2F$, $F$, $F$, $2F$.

6 Расположение точки $S$: справа от $2F$. Метки на оси: $2F$, $F$, $F$, $2F$.

Рис. IX-56

Решение

Для нахождения изображения светящейся точки S, даваемого собирающей линзой, и определения его типа (действительное или мнимое) используется построение с помощью характерных лучей. Изображение S' находится в точке пересечения лучей после их прохождения через линзу.

• Изображение называется действительным, если оно образовано пересечением самих преломленных лучей.
• Изображение называется мнимым, если оно образовано пересечением продолжений преломленных лучей, проведенных в обратном направлении.

Для построения изображения S' точки S достаточно найти пересечение двух лучей, вышедших из S после их преломления в линзе. Обычно используют следующие лучи:

1. Луч, параллельный главной оптической оси, который после преломления в линзе проходит через её задний фокус F.
2. Луч, проходящий через оптический центр линзы O, который не меняет своего направления.

Рассмотрим каждый из шести случаев.

1. Светящаяся точка S находится за двойным фокусным расстоянием от линзы (на расстоянии $d > 2F$). Построение с помощью указанных выше лучей показывает, что преломленные лучи пересекаются с другой стороны линзы между фокусом и двойным фокусом. Так как пересекаются сами лучи, изображение является действительным.

Ответ: изображение действительное.

2. Точка S находится в двойном фокусе линзы ($d = 2F$). Преломленные лучи пересекаются на другой стороне линзы также в точке двойного фокуса. Изображение является действительным.

Ответ: изображение действительное.

3. Точка S находится между фокусом и двойным фокусом ($F < d < 2F$). Преломленные лучи пересекаются на другой стороне линзы за точкой двойного фокуса. Изображение является действительным.

Ответ: изображение действительное.

4. Точка S находится в фокусе линзы ($d = F$). Лучи, выходящие из фокуса, после преломления в собирающей линзе становятся параллельными друг другу. Они не пересекаются в конечном пространстве, как и их продолжения. В таком случае говорят, что изображение формируется в бесконечности.

Ответ: изображение формируется в бесконечности.

5. Точка S находится между линзой и фокусом ($d < F$). После преломления в линзе лучи от точки S образуют расходящийся пучок. Однако их продолжения, если их провести в обратную сторону (на ту же сторону, где находится предмет), пересекаются. Поскольку изображение образовано пересечением продолжений лучей, оно является мнимым.

Ответ: изображение мнимое.

6. В этом случае на линзу падает сходящийся пучок света, который сошелся бы в точке S, если бы линзы не было. Такая точка S называется мнимым предметом. Для определения типа изображения воспользуемся формулой тонкой линзы: $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $. Расстояние до мнимого предмета $d$ считается отрицательным. Тогда расстояние до изображения $f$ находится из соотношения $ \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{1}{F} + \frac{1}{|d|} $. Так как фокусное расстояние $F$ собирающей линзы и $|d|$ — положительные величины, то и $f$ будет положительным. Положительное значение $f$ означает, что лучи после линзы действительно пересекаются, образуя действительное изображение.

Ответ: изображение действительное.

69.16 [1598] Постройте изображение предмета $AB$, даваемое линзой с фокусом в точке $F$, для случаев 1–4 (рис. IX-57). Охарактеризуйте каждое изображение.

1 $A$ $B$ $2F$ $F$ $F$ $2F$

2 $A$ $B$ $2F$ $F$ $F$ $2F$

3 $A$ $B$ $2F$ $F$ $F$ $2F$

4 $A$ $B$ $2F$ $F$ $F$ $2F$

Рис. IX-57

1. Решение:

Для построения изображения предмета AB, помещенного между фокусом $F$ и двойным фокусом $2F$ собирающей линзы, воспользуемся построением хода двух лучей, исходящих из точки A. Первый луч направим параллельно главной оптической оси; после преломления в линзе он пройдет через её задний фокус $F$. Второй луч направим через оптический центр линзы O; он пройдет без преломления. Точка пересечения этих двух лучей, A', и будет являться действительным изображением точки A. Опустив перпендикуляр из точки A' на главную оптическую ось, получим изображение B' точки B. Изображение A'B' расположено за двойным фокусом $2F$ с другой стороны линзы.

Характеристики изображения: действительное, так как получено на пересечении самих преломленных лучей; перевернутое, так как изображение находится с противоположной стороны от главной оптической оси по отношению к предмету; увеличенное, так как его размер больше размера предмета.

Ответ: Изображение действительное, перевернутое, увеличенное.

2. Решение:

Для построения изображения предмета AB, помещенного в точке двойного фокуса $2F$ собирающей линзы, используем аналогичное построение. Первый луч из точки А, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе пройдет через её задний фокус $F$. Второй луч из точки А пройдет через оптический центр линзы O без изменения направления. Точка пересечения этих лучей A' будет находиться в точке двойного фокуса $2F$ с другой стороны линзы. Изображение A'B' — перпендикуляр, опущенный из A' на главную оптическую ось.

Характеристики изображения: действительное, так как получено на пересечении преломленных лучей; перевернутое, так как находится по другую сторону от главной оптической оси; равное по размеру предмету (в натуральную величину), так как расстояние от предмета до линзы равно расстоянию от изображения до линзы ($d = f' = 2F$).

Ответ: Изображение действительное, перевернутое, равное по размеру предмету.

3. Решение:

Для построения изображения предмета AB, помещенного за двойным фокусом $2F$ собирающей линзы, снова строим изображение точки A с помощью двух лучей. Первый луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе проходит через её задний фокус $F$. Второй луч проходит через оптический центр линзы O, не меняя своего направления. Точка пересечения A' этих лучей будет находиться между фокусом $F$ и двойным фокусом $2F$ с другой стороны линзы. Изображение A'B' — перпендикуляр из A' на главную оптическую ось.

Характеристики изображения: действительное, так как образовано пересечением самих лучей; перевернутое, так как находится с противоположной стороны от главной оптической оси; уменьшенное, так как его размер меньше размера предмета.

Ответ: Изображение действительное, перевернутое, уменьшенное.

4 Решение:

Для построения изображения предмета AB, помещенного между линзой и её передним фокусом $F$, используем те же два луча из точки A. Первый луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе проходит через задний фокус $F$. Второй луч проходит через оптический центр линзы O без преломления. После прохождения через линзу эти лучи становятся расходящимися и не пересекаются с правой стороны от линзы. Однако их продолжения, построенные в обратном направлении (влево от линзы), пересекутся. Точка их пересечения A' и будет мнимым изображением точки A. Изображение A'B' — перпендикуляр из A' на главную оптическую ось.

Характеристики изображения: мнимое, так как получено на пересечении продолжений преломленных лучей; прямое, так как изображение находится с той же стороны от главной оптической оси, что и предмет; увеличенное, так как его размер больше размера предмета.

Ответ: Изображение мнимое, прямое, увеличенное.

69.17 [1599] Выполнив построение, найдите положение изображения светящейся точки S в рассеивающей линзе L (рис. IX-58), где F — фокус линзы.

Рис. IX-58

Для построения изображения S' светящейся точки S в рассеивающей линзе L необходимо проследить ход как минимум двух лучей, исходящих из точки S, и найти точку пересечения их продолжений после преломления в линзе.

1. Построение первого луча (параллельного главной оптической оси).
Проведем луч из точки S параллельно главной оптической оси MN до пересечения с линзой. После прохождения через рассеивающую линзу этот луч отклоняется так, как будто он вышел из переднего фокуса F. Это означает, что продолжение преломленного луча, проведенное в обратную сторону, проходит через точку F.

2. Построение второго луча (проходящего через оптический центр).
Проведем второй луч из точки S через оптический центр линзы O (точка, где линза пересекает главную оптическую ось MN). Этот луч не преломляется и продолжает свое движение по прямой.

3. Определение положения изображения.
Изображение точки S, обозначаемое как S', находится в точке пересечения продолжения первого преломленного луча и второго (непреломленного) луча. Так как изображение формируется пересечением продолжений лучей, а не самих лучей, оно является мнимым.

На приведенной ниже схеме показан ход построения:

Ответ: Положение изображения S' светящейся точки S найдено путем графического построения хода двух лучей. Изображение S' является мнимым, прямым (неперевернутым) и расположено между главным фокусом F и линзой L, как показано на схеме.

69.18 [1600] Постройте изображение предмета AB, даваемое линзами с фокусом в точке F, для случаев 1–6 на рисунке IX-59. Охарактеризуйте каждое изображение.

Рис. IX-59

1. Для построения изображения предмета AB, расположенного между фокусом F и двойным фокусным расстоянием 2F собирающей линзы, используем два характерных луча, исходящих из точки A:
1) Луч, идущий параллельно главной оптической оси, после преломления в линзе пройдёт через её задний фокус.
2) Луч, проходящий через оптический центр линзы, не изменит своего направления.
Точка пересечения этих лучей A' даст изображение точки A. Изображение B' точки B будет лежать на главной оптической оси под точкой A'. В данном случае (когда $F < d < 2F$), изображение A'B' будет находиться за двойным фокусным расстоянием с другой стороны линзы.
Характеристики изображения:
• действительное (сформировано пересечением самих лучей);
• перевёрнутое (находится с противоположной стороны от главной оптической оси);
• увеличенное (его размер больше размера предмета).
Ответ: Изображение действительное, перевёрнутое, увеличенное.

2. Для построения изображения предмета AB, расположенного в точке двойного фокусного расстояния 2F собирающей линзы, используем те же два луча:
1) Луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе пройдёт через задний фокус F.
2) Луч, проходящий через оптический центр, идёт без преломления.
Точка пересечения лучей A' в этом случае окажется на двойном фокусном расстоянии с другой стороны линзы ($f = 2F$).
Характеристики изображения:
• действительное;
• перевёрнутое;
• равное по размеру предмету (в натуральную величину).
Ответ: Изображение действительное, перевёрнутое, в натуральную величину.

3. Когда предмет AB расположен в фокусе F собирающей линзы ($d=F$), лучи, выходящие из точки A, после преломления в линзе становятся параллельными.
1) Луч, параллельный главной оптической оси, преломившись, пройдёт через задний фокус F.
2) Луч, проходящий через оптический центр, не преломляется.
Эти два луча параллельны друг другу и не пересекаются (или, как говорят, пересекаются в бесконечности). Поэтому чёткое изображение предмета не формируется.
Ответ: Изображение формируется в бесконечности.

4. Для построения изображения в рассеивающей линзе также используем два луча из точки А:
1) Луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе пойдёт так, как будто он вышел из переднего фокуса F (того, что со стороны предмета).
2) Луч, направленный в оптический центр линзы, не преломляется.
Сами лучи после линзы расходятся. Их продолжения, построенные в обратную сторону, пересекутся между линзой и передним фокусом F. Точка пересечения продолжений A' и будет мнимым изображением точки A. Предмет расположен на расстоянии $d > F$.
Характеристики изображения:
• мнимое (сформировано пересечением продолжений лучей);
• прямое (расположено по ту же сторону от главной оптической оси, что и предмет);
• уменьшенное.
Ответ: Изображение мнимое, прямое, уменьшенное.

5. Предмет AB расположен между рассеивающей линзой и её передним фокусом ($d < F$). Построение выполняется аналогично предыдущему случаю.
1) Луч, параллельный главной оптической оси, преломляется так, что его продолжение проходит через передний фокус F.
2) Луч, идущий через оптический центр, не меняет направления.
Продолжения преломлённых лучей пересекаются, давая точку A'. Изображение A'B' будет находиться между предметом и линзой.
Характеристики изображения:
• мнимое;
• прямое;
• уменьшенное.
Ответ: Изображение мнимое, прямое, уменьшенное.

6. Предмет AB расположен в фокусе F рассеивающей линзы ($d=F$). Построение аналогично случаям 4 и 5.
1) Луч, параллельный главной оптической оси, преломляется, и его продолжение проходит через передний фокус F.
2) Луч через оптический центр идёт без отклонения.
Пересечение продолжения первого луча и второго луча даст изображение A'. Используя формулу тонкой линзы для рассеивающей линзы ($1/d + 1/f = -1/F$), при $d=F$ получаем: $1/F + 1/f = -1/F$, откуда $1/f = -2/F$, то есть $f = -F/2$. Изображение находится ровно на половине фокусного расстояния от линзы.
Характеристики изображения:
• мнимое;
• прямое;
• уменьшенное (в 2 раза).
Ответ: Изображение мнимое, прямое, уменьшенное.

69.19* [1601*] На рисунке IX-60 показано положение лампы относительно рассеивающей линзы L и экрана Э (листа белой бумаги). а) Что мы увидим на экране? б) Как изменится видимое ранее на экране, если линзу приподнять (сместить к лампе)?

Рис. IX-60

а) На экране мы увидим тёмное пятно на фоне остальной, более ярко освещённой поверхности. Лампа является источником света, который освещает экран. Рассеивающая линза L и её оправа, находящиеся на пути лучей от лампы к экрану, будут отбрасывать тень. Таким образом, на экране образуется тёмная область, по форме и размеру примерно соответствующая линзе.

Лучи света от лампы, которые проходят через саму линзу, преломляются и расходятся (рассеиваются). Из-за этого рассеяния плотность светового потока за линзой уменьшается. В результате область экрана прямо за линзой будет освещена значительно слабее, чем окружающие участки, на которые свет от лампы падает беспрепятственно. Стоит отметить, что рассеивающая линза не может сфокусировать лучи и создать действительное изображение источника света на экране; она формирует только мнимое изображение, которое нельзя увидеть на экране.

Ответ: На экране будет видно тёмное пятно (тень от линзы) на общем светлом фоне.

б) Если линзу приподнять, то есть сместить ближе к лампе, то изменится геометрия распространения света и, как следствие, вид на экране.

Во-первых, согласно принципам образования тени, при приближении препятствия (в данном случае, линзы) к источнику света, размер тени, отбрасываемой на экран, увеличивается. Это происходит потому, что лучи от источника, огибающие края препятствия, будут расходиться под большим углом и пересекут плоскость экрана на большем расстоянии друг от друга.

Во-вторых, изменится освещённость внутри самой тени. Когда линза смещается к лампе, расстояние от линзы до экрана увеличивается. Свет, прошедший через линзу, будет рассеиваться на большем расстоянии, прежде чем достигнет экрана. Это означает, что тот же самый световой поток будет распределён по большей площади, что приведёт к уменьшению его интенсивности.

Таким образом, при смещении линзы к лампе тёмное пятно на экране станет больше по размеру и ещё менее освещённым (более тёмным).

Ответ: Тёмное пятно на экране увеличится в размерах и станет ещё темнее.